2022年九年级中考数学一轮复习：平方差公式 同步测评卷

这是一份2022年九年级中考数学一轮复习：平方差公式 同步测评卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2022届中考数学一轮复习：平方差公式同步测评卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分     一、选择题（本大题共13小题，共39分）A.  B.  C.  D. 下列各数中与的积是有理数的是A.  B.  C.  D. 若，则，分别为    A. ， B. ， C. ， D. ，从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加米，相邻的另一边减少米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会A. 没有变化 B. 变大了 C. 变小了 D. 无法确定若，满足，则的值为    A.  B.  C.  D. 如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形阴影部分，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式
A.  B.
C.  D. 下列计算正确的是A.  B.
C.  D. 若，则A.  B.  C.  D. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”下列数中为“幸福数”的是A.  B.  C.  D. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是A.  B.  C.  D. 如图，分别沿长方形纸片和正方形纸片的对角线，剪开，拼成如图所示的，若中间空白部分四边形恰好是正方形，且的面积为，则正方形的面积为
A.  B.  C.  D. 数能被以内的两位整数整除的是A. ， B. ， C. ， D. ，设的整数部分为，小数部分为，则的值是A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共3小题，共9分）已知，，则______．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形不重叠，无缝隙，则拼成的长方形的另一边长是________。
计算： ______ ． 三、计算题（本大题共1小题，共12分）计算：            ．



 四、解答题（本大题共6小题，共40分）先化简，再求值：，其中．





 探究活动：如图，可以求出阴影部分的面积是________写成两数平方差的形式；如图，若将图中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是____________写成多项式乘法的形式；比较图、图阴影部分的面积，可以得到公式___________________________．知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：计算：；若，，求的值．






 张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
请你再写出另外两个符合上述规律的算式；
验证规律：设两个连续奇数为，其中为正整数，则它们的平方差是的倍数；
拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是的倍数”，这个结论正确吗？






 阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整：
；
；
．
由此，我们可以解决下面问题：，请求出的整数部分．
解：
；
______ ．
的整数部分是______ ．






  阅读下列材料，然后解答问题．学会从不同的角度思考问题学完平方差公式后，小军展示了以下例题：例：求的值的末尾数字．解：．由为正整数的末尾数字的规律，可得的末尾数字是．爱动脑筋的小明，想出了一种新的解法：因为，而，，，均为奇数，几个奇数与相乘，末尾数字是，这样原式的末尾数字是．在数学学习中，要像小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题．这样才能学好数学．请解答下列问题：计算为正整数的值的末尾数字是__________；计算：的值的末尾数字是________．计算：__________．






 利用平方差公式可以进行简便计算：
例：；
例：．
请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算：
；
 答案和解析1.【答案】【解析】【分析】
此题主要考查了平方差公式，正确运用公式是解题关键．
直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】
解：．
故选C．  2.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．
利用平方差公式可知与的积是有理数的为．
【解答】
解：；
故选：．  3.【答案】
 【解析】解：，
所以，．
本题考查了平方差公式，根据平方差公式可知，据此确定、即可．
 4.【答案】
 【解析】解：矩形的面积为，
矩形的面积比正方形的面积小了平方米，
故选：．
矩形的长为米，矩形的宽为米，矩形的面积为，根据平方差公式即可得出答案．
本题考查了平方差公式的几何背景，列出矩形的面积的代数式，根据平方差公式计算是解题的关键．
 5.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查的是绝对值的非负性以及偶次方的非负性根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】
解：，
，，
解得，，
，
故选D．  6.【答案】
 【解析】解：由图可知，
图的面积为：，
图的面积为：，
所以．
故选：．
根据图形可以用代数式表示出图和图的面积，由此得出等量关系即可．
本题考查列代数式平方差公式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
 7.【答案】
 【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意，
故选：．
根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则，平方差公式计算后，得出结果，作出判断．
此题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟知公式和运算法则．
 8.【答案】
 【解析】解：方程两边都乘以，得
，
，
，
．
经检验是原方程的解．
故选：．
根据平方差公式和分式方程的解法，即可得到的值．
此题考查了平方差公式和解分式方程，熟练掌握平方差公式和解分式方程的方法是解本题的关键．
 9.【答案】
 【解析】解：设较小的奇数为，较大的为，
根据题意得：，
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，符合题意．
故选：。
设较小的奇数为，较大的为，根据题意列出方程，求出解判断即可。
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键。
 10.【答案】
 【解析】解：除外，所有的奇数都是智慧数，所以，，选项都是智慧数，不符合题意；
除外，所有的能被整除的偶数都是智慧数，所以选项是智慧数，不符合题意，选项不是智慧数，符合题意．
故选：．
除外，所有的奇数都是智慧数；除外，所有的能被整除的偶数都是智慧数．
本题考查了平方差公式的应用，牢记智慧数的规律是解题的关键．
 11.【答案】
 【解析】解：如图，设，正方形的边长为．

由题意：，
，
正方形的面积，
故选：．
如图，设，正方形的边长为，构建方程即可解决问题；
本题考查图形的拼剪，正方形的性质，平方差公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
 12.【答案】
 【解析】【分析】
本题主要考查的是因式分解的应用的有关知识，由题意将给出的数用平方差公式进行因式分解求解即可．
【解答】
解：
，
数能被以内的两位整数整除的是，．
故选B．  13.【答案】
 【解析】解：，
，
的整数部分为，小数部分为，
，，
，
故选：．
根据算术平方根得到，所以，于是可得到，，然后把与的值代入中计算即可．
本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
 14.【答案】
 【解析】解：因为，，，
所以，
所以，
故答案为：．
由平方差公式得出，代入计算即可得出结果．
本题考查了平方差公式，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题的关键．
 15.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键。根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解。
【解答】
解：拼成的长方形的面积：
拼成的长方形一边长为
另一边长是
故答案为。  16.【答案】
 【解析】解：
故答案为：．
利用平方差公式进行简便运算即可．
本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序．
 17.【答案】解：原式
 原式
 原式
 原式．
 【解析】见答案
 18.【答案】解：原式
．
，
．
 【解析】本题主要考查整式的混合运算化简求值．同时也考查了平方差公式和完全平方差公式的灵活应用．这题属于简单题型，但是学生在化简时候容易忘记添括号，和去括号变符号．
由题意可知，在化简的过程中可以运用平方差公式和完全平方差公式快速计算，再把代入化简后得到的式子中求值．
 19.【答案】解：；；；知识应用：原式；，，，．
 【解析】【分析】本题考查了平方差公式的几何表示，利用不同的方法表示图形的面积是解题的关键．中的面积大正方形的面积小正方形的面积；中的长方形，宽为，长为，面积长宽；
中的答案可以由、得到，；知识应用：先把原式变形为，再根据得到的公式进行计算；先根据得到的公式把变形为，再求解，代入进行计算．【解答】解：阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积；故答案为；
长方形的宽为，长为，面积长宽；故答案为；
由、得到，；故答案为；知识应用见答案   20.【答案】解：，；
验证规律：设两个连续奇数为，其中为正整数，
则它们的平方差是的倍数；
故两个连续奇数的平方差是的倍数．
拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是的倍数”，这个结论正确吗？
不正确．
解法一：举反例：，
因为不是的倍数，故这个结论不正确．
解法二：设这两个偶数位和，
因为不是的倍数，故这个结论不正确．
 【解析】此题主要考查了平方差公式的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
根据已知算式写出符合题意的答案；
利用平方差公式计算得出答案；
利用举例法分析得出答案．
 21.【答案】；．
 【解析】解：，
，
的整数部分是，
故答案为：，．
根据题中给出的计算方法进行计算求解即可．
此题考查了估算无理数的大小，正确估算出的整数部分是是解题的关键．
 22.【答案】解：；；．
 【解析】【分析】此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
根据题意以及平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式，末尾数字是，末尾数字是，
故答案为；原式，末尾数字是，末尾数字是，
故答案为；原式．故答案为．  23.【答案】解：原式
；

原式
．
 【解析】原式变形为，再利用平方差公式计算即可；
原式变形为，再利用平方差公式计算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算和平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式．