数学必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和集体备课课件ppt

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一、等比数列的前n项和公式一般地，对于等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn＝①________根据等比数列的通项公式，上式可写成Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.
由错位相减法知：当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为Sn＝②________.因为an＝a1qn－1，所以上面的公式还可以写成Sn＝③________.显然，当q＝1时，数列{an}变为a1，a1，…，a1，…，易得它的前n项和Sn＝④________.
(2)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有⑦________五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量；
(4)在含字母参数的等比数列求和时，应分⑪________与⑫________两种情况进行讨论．
(2)对于形如{xn·yn}的数列的和，其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列，也可以这样求和：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题．(3)利用这种方法时，要注意到公式及其他应用问题中对公比的分类讨论．若已知q≠1，求等比数列前n项和的方法一般是利用Sn的表达式的特点，当q＝1时，求和就简单得多了，这时数列的每一项都相等，直接把n个相等的数相加即可得．
若公比q＝1，则数列为非零常数数列，因此在进行等比数列的前n项和的计算中对公比q是否为1进行讨论是分类讨论思想在数列这一章中的一个重要体现，也是高考的重要知识点．此类题型主要应用等比数列的前n项和公式及其性质，得到有关的方程(组)来进行求解．[例1]　在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64.求{an}前8项的和S8.
解析：解法1：设数列{an}的公比为q，根据通项公式为an＝a1qn－1，由已知条件得a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24，(*)a3a5＝(a1q3)2＝64.∴a1q3＝±8.将a1q3＝－8代入(*)式，得q2＝－2，没有实数q满足此式，故舍去．将a1q3＝8代入(*)式，得q2＝4，∴q＝±2.
[变式训练1]　在等比数列{an}中， a1＋an＝66，a2·an－1＝128，且前n项和Sn＝126，求n及公比q.解析：∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，∴a1、an是方程x2－66x＋128＝0的两根，解方程得x1＝2，x2＝64，∴a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1.
[例2]　已知等比数列{an}中前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30.求S30.
[变式训练2]　等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4可为(　　)A．28　　　　　　　　　　B．32C．35 D．49
解析：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列．∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28，故选A.答案：A
[例3]　一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求出数列的公比和项数．
解法2：设项数为n.∵等比数列的项数为偶数，Sn＝S奇＋S偶，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋an－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋an＝a1q＋a3q＋a5q＋…＋an－1q＝q(a1＋a3＋a5＋…＋an－1)＝q·S奇，∴85q＝170，∴q＝2.又∵Sn＝85＋170＝255，∴n＝8，故公比q＝2，项数n＝8.
在推导等差数列的前n项和公式时引入了倒序相加法，在推导等比数列的前n项和公式时，介绍了错位相减法，而对于既不是等比数列也不是等差数列的数列，应先分析它的通项公式，抓住特点，将数列求和问题转化成已知的等差、等比数列或是常数数列的求和问题，因此同学们必须掌握一些简单数列求和的方法：(1)公式法求和：对于等差数列或是等比数列的求和．
(2)错位相减法求和：对于一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}的对应项的积构成的数列{anbn}采用错位相减法，解题步骤为：①写出Sn＝c1＋c2＋…＋cn；②等式两边同乘等比数列的公比：qSn＝qc1＋qc2＋…＋qcn；③两式错位相减转化成等比数列的和；④两边同除以1－q，求出Sn，在此须对q是否为1进行讨论．(3)倒序相加法：这是推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．
(4)分组求和法：有一类数列，既不是等差数列也不是等比数列，观察通项公式，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(5)裂项法：分析通项公式，通项可分解为两项之差，然后相加相消，最后只剩下有限项的和．常见的拆项公式有：
[变式训练4]　已知数列{an}，a1，a2，a3，…，an，…，构造一个新数列：a1，(a2－a1)，(a3－a2)，…，(an－an－1)，…，此数列是首项为1，公比为 的等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{an}的前n项和Sn.分析：通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为 的等比数列的前n项和．数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了．
[例5]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝2,3Sn＝5an－an－1＋3Sn－1(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.
整理得an＋2n＝4(an－1＋2n－1)，n＝2,3，….因而数列{an＋2n}是首项为a1＋2＝4，公比为4的等比数列，即an＋2n＝4×4n－1＝4n，n＝1,2,3，….因而an＝4n－2n，n＝1,2,3，….
在对等比数列的前n项和的实际应用中，应学会审明题意，抓住关键，把实际问题“转化”为等比数列问题，利用相关知识解决问题．[例7]　据报道，我国森林覆盖率在逐年提高，现已达到国土面积的14%，某林场去年年底森林木材储存量为a万m3.若树木以每年25%的增长率增长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为x万m3，为了实现经过20年使木材储存量翻两番的目标，问：每年砍伐的木材量x的最大值是多少？(lg2取0.3)
[变式训练7]　某制糖厂第1年制糖5万t，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年内可使总产量达到30万t(精确到个位)?分析：根据题意得出从第一年起，每年的产量组成一个等比数列{an}，运用等比数列前n项和公式求总产量．
分析：证明一个数列是等差或等比数列，最先考虑的应是等差和等比数列的定义，对于存在性的问题，应先假设其存在然后来推导，证明．