高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数学案及答案

学校： 临清一中 学科：数学 编写人：陈振静

函数的极值和导数教案

一、教材分析

利用上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.

二、教学目标[来源:高考学习网XK]

知识目标：〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

          〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值。

能力目标：结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

情感目标：感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

三、教学重点难点

教学重点：利用导数求函数的极值。

教学难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件。

四、教学方法：探究法

五、课时安排：1课时

六、教学过程

教学基本流程

回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系

提出问题，激发求知欲

组织学生自主探索，获得函数的极值定义

通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解

〈一〉、创设情景，导入新课

1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？

（提问学生回答）

2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题

（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在t=a处的导数是多少呢？

（2）在点t=a附近的图象有什么特点？

（3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？

共同归纳:  函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数单调递增, ＞0;当t＞a时,函数单调递减, ＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 先正后负,且连续变化,于是h/(a)=0.

3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？

<二>、探索研讨

1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：

[来源:高考学习网

（1）函数y=f(x)在a，b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?

（2） 函数y=f(x)在a，b点的导数值是多少?

（3）在a，b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?

2、极值的定义:

我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；

点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。

极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.

3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗？

充要条件：f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反

4、引导学生观察图1.3.10，回答以下问题：

[来源:高考学习网

（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？

（2）极大值一定大于极小值吗？

5、随堂练习:

  如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=的图象?

<三>、讲解例题

例1               求函数的极值

教师分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点； ②由函数单调性确定在极点x0附近f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.

学生动手做,教师引导

解:∵∴=x2-4=(x-2)(x+2)

令=0,解得x=2,或x=-2.

下面分两种情况讨论:

(1)    当＞0,即x＞2,或x＜-2时;

(2)      当＜0,即-2＜x＜2时.

当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:

因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= ;当x=2时,f(x)有极

小值,且极小值为f(2)=

函数的图象如右图。

归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:

1求,解方程=0,当=0时:

(1)    如果在x0附近的左边＞0,右边＜0,那么f(x0)是极大值.[来源:高考学习网如果在x0附近的左边＜0,右边＞0,那么f(x0)是极小值

<四>、课堂练习

1、求函数f(x)=3x-x3的极值

2、思考：已知函数f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1处取得极值,

求函数f（x）的解析式及单调区间。

3、已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a的范围。

<五>、课堂小结:

1、               函数极值的定义

2、               函数极值求解步骤

3、               一个点为函数的极值点的充要条件。

七 ：教学反思:

本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,为了说明这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练.