数学 上海市长宁区2022届高三上学期数学一模试卷

长宁区2021-2122学年高三年级第一学期教学质量检测试卷

 2021.12.14

考生注意：

1.答题前，务必在答题纸上将姓名，学校,班级等信息填写清楚，并贴好条形码；

2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷，草稿纸上的答案一律不予评分；

3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答

题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合,则           

2.的二项展开式中的系数为           

3.           

4.若线性方程组的增广矩阵为，解为，则            

5.在直角坐标系中，角的始边为正半轴，顶点为坐标原点，若角的终边经过点,则            

6.位同学被推荐担任进博会个指定展馆服务志愿者，每人负责个展馆，每个展馆只需位同学，则共有            种不同的安排方法.

7.已知双曲线的左，右焦点为,过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若Δ为等边三角形，则Δ的边长为           

8.在复平面内，复数所对应的点分别为,对于下列四个式子：

；；；

其中恒成立的是            （写出所有恒成立式子的序号）

9.设,若，则的最大值为           

10.已知公差不为的等差数列的前项和为,若,则的最小植为           

11.已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线

上，设直线与轴交于点,则的最小值为            ．

12.设曲线与函数的图像关于直线对称，若曲线仍然为

某函数的图像，则实数的取值范围为           

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.“”是“”的（     )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件  C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

14.给定一组数据,设这组数据的平均数为,中位数为,众数为,则（    ）

A.        B.     C.     D.

15.已知平面经过圆柱的旋转轴，点是在圆柱的侧面上，但不在平面上，

则下列个命题中真命题的个数是（     ）

①总存在直线且与异面；    ②总存在直线且；

③总存在平面且；      ④总存在平面且.

A.l        B.2         C.3            D.4

16.若函数的值域为，则的取值范围为（  ）

1.        B.          C.         D.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）．

在直三棱柱中，.

（1)求四棱锥的体积；

（2)求直线与平面所成角的正切值.

18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知三个内角所对的边分别为

（1)若,求的面积；

（2)设线段的中点为,若,求外接圆半经的值.

19.(本题满分14分，第1小题滑分6分，第2小题滴分8分），

随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；

购置费、燃油费、养护保险费、某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.

（1)若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，

求的表达式；

（2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，

每一年的养护保险费都比前一年增加,设使用年后年平均费用为,当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）

20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知函数.

（1)求证：函数是上的减函数；

（2)已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点

中心对称，判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；

（3)若对任意，都存在及实数,使得,

求实数的最大值.

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）。

城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系中，定义点的“直角距离”

为：,设.

（1)写出一个满足的点的坐标；

（2)过点作斜率为的直线,点分别是直线上的动点，

求的最小值；

（3)设,记方程的曲线为，类比椭圆研究曲线的性质

（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；

长宁区2021-2122学年高三年级第一学期教学质量检测试卷（参考答案） 2021.12.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.已知集合,则           

【答案】

【解析】

2.的二项展开式中的系数为           

【答案】

【解析】

3.           

【答案】【解析】

4.若线性方程组的增广矩阵为，解为，则            

【答案】

【解析】

5.在直角坐标系中，角的始边为正半轴，顶点为坐标原点，若角的终边经过点,则            

【答案】

【解析】

6.位同学被推荐担任进博会个指定展馆服务志愿者，每人负责个展馆，每个展馆只需位同学，则共有            种不同的安排方法.

【答案】

【解析】

7. 已知双曲线的左，右焦点为,过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若Δ为等边三角形，则Δ的边长为           

【答案】

【解析】

8.在复平面内，复数所对应的点分别为,对于下列四个式子：

；；；

其中恒成立的是            （写出所有恒成立式子的序号）

【答案】 

【解析】,

9.设,若，则的最大值为           

【答案】

【解析】,

,

10.已知公差不为的等差数列的前项和为,若,则的最小值为           

【答案】

【解析】取得最小值，则公差，

（1）当

；

当

（2）当,

综上所述：

11.已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线

上，设直线与轴交于点,则的最小值为            ．

【答案】

【解析】设

；同理

12. 设曲线与函数的图像关于

直线对称，若曲线仍然为某函数的图像，

则实数的取值范围为           

【答案】

【解析】设是，

设曲线与函数的图像关于

直线对称，对称后的直线必为直线，

此时曲线才能是某函数的图像，

如图所示直线与成角，推出的倾斜角为，

所以的方程为

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）

13.“”是“”的（     )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件  C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

【答案】B

14.给定一组数据,设这组数据的平均数为,中位数为,众数为,则（    ）A.        B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

15.已知平面经过圆柱的旋转轴，点是在圆柱的侧面上，但不在平面上，

则下列个命题中真命题的个数是（     ）

①总存在直线且与异面； ②总存在直线且；

③总存在平面且； ④总存在平面且.

A.l       B.2       C.3        D.4

【答案】 C

【解析】

16.若函数的值域为，则的取值范围为（  ）

       B.          C.         D.

【答案】A

【解析】

，

，

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）．

在直三棱柱中，.

（1)求四棱锥的体积；

（2)求直线与平面所成角的正切值.

【答案】（1）；（2）；

【解析】（1）；（2）；

18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知三个内角所对的边分别为

（1)若,求的面积；

（2)设线段的中点为,若,求外接圆半经的值.

【答案】（1）；（2）；

【解析】（1）；（2）；

19.(本题满分14分，第1小题滑分6分，第2小题滴分8分），

随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；

购置费、燃油费、养护保险费、某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.

（1)若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，

求的表达式；

（2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，

每一年的养护保险费都比前一年增加,设使用年后年平均费用为,当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）

【答案】（1）；（2）；

【解析】（1）；（2）；

20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知函数.

（1)求证：函数是上的减函数；

（2)已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点

中心对称，判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；

（3)若对任意，都存在及实数,使得,

求实数的最大值.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】（1）；（2）；（3）

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）。

城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系中，定义点的“直角距离”

为：,设.

（1)写出一个满足的点的坐标；

（2)过点作斜率为的直线,点分别是直线上的动点，

求的最小值；

（3)设,记方程的曲线为，类比椭圆研究曲线的性质

（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；

【答案】

（1）；（2）；

（3）对称性：关于轴、轴成轴对称；关于原点成中心对称；

顶点：

范围：

【解析】

（1）；

（2）；

（3）