高中数学人教版新课标A选修1-23.2复数代数形式的四则运算单元测试课时训练

第三章综合素质检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2010·安徽文，2)已知i2＝－1，则i(1－i)＝(　　)

A.－i　　　　　　　 B.＋i

C．－－i     D．－＋i

[答案]　B

[解析]　该题考查复数的四则运算

i(1－i)＝－i2＋i＝＋i，故选B.

2．复数z＝＋1在复平面内所对应的点在(　　)

A．第一象限　　　　　 B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

[答案]　A

[解析]　z＝＋1＝1＋i，故复数z所对应的点为(1,1)，在第一象限．

3．复数10的值是(　　)

A．－1      B．1

C．－32      D．32

[答案]　A

[解析]　本题主要考查复数的基本运算，＝－i，(－i)10＝－1，故选A.

4．若z1＝(x－2)＋yi与z2＝3x＋i(x、y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在(　　)

A．第一象限     B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

[答案]　C

[解析]　由已知得∴

∴z1＝－3－i，故选C.

5．对于复平面，下列命题中真命题的是(　　)

A．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的

B．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的

C．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的

D．实轴上侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的

[答案]　D

[解析]　复数的几何意义是平面内的点与复数建立一一对应关系，其中实数对(a，b)对应复数的实部与虚部．

6．设复数z满足z＋||＝2＋i，那么z等于(　　)

A．－＋i      B.－i

C．－－i      D.＋i

[答案]　D

[解析]　方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则x＋yi＋|x－yi|＝2＋i，

即x＋＋yi＝2＋i，

∴

把y＝1代入x＋＝2中，

得＋x＝2，

∴x＝，∴z＝＋i.

方法二：代入法验证答案易得．

7．复数z满足方程|z＋|＝4，那么复数z的对应点P组成的图形为(　　)

A．以(1，－1)为圆心，4为半径的圆

B．以(1，－1)为圆心，2为半径的圆

C．以(－1,1)为圆心，4为半径的圆

D．以(－1,1)为圆心，2为半径的圆

[答案]　C

[解析]　|z＋|＝|z＋(1－i)|

＝|z－(－1＋i)|＝4，

设－1＋i的对应点为C(－1,1)，

则|PC|＝4，因此动点P的轨迹是以C(－1,1)为圆心，4为半径的圆．

8．若x是纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，则x＋y等于(　　)

A．1＋i      B．－1＋i

C．1－i      D．－1－i

[答案]　D

[解析]　设x＝it(t∈R且t≠0)，

于是2ti－1＋i＝y－(3－y)i，

∴－1＋(2t＋1)i＝y－(3－y)i，

∴∴

∴x＋y＝－1－i.

9．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是(　　)

A.       B.

C.       D.

[答案]　D

[解析]　因为|(x－2)＋yi|＝，所以(x－2)2＋y2＝3，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－≤≤.

10．设复数z为虚数，条件甲：z＋是实数，条件乙：|z|＝1，则(　　)

A．甲是乙的必要非充分条件

B．甲是乙的充分非必要条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件

[答案]　C

[解析]　本题考查复数的运算和充要条件的判断．设z＝a＋bi(b≠0且a，b∈R)，则z＋＝a＋bi＋＝＋i.因为z＋为实数，所以b＝.因为b≠0，所以a2＋b2＝1，所以|z|＝1.而当|z|＝1，a2＋b2＝1，条件甲显然成立．

11．如果复数z满足条件|2z＋1|＝|z－i|，那么在复平面内z对应的点的轨迹是(　　)

A．圆       B．椭圆

C．双曲线      D．抛物线

[答案]　A

[解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|(2a＋1)＋2bi|＝|a＋(b－1)i|，所以(2a＋1)2＋4b2＝a2＋(b－1)2，化简，得3a2＋3b2＋4a＋2b＝0，此为圆的方程．

12．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是(　　)

A．z对应的点在第一象限

B．z一定不为纯虚数

C.对应的点在实轴的下方

D．z一定为实数

[答案]　C

[解析]　∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，

∴z对应的点在实轴的上方．

又∵z与对应的点关于实轴对称．

∴C项正确．

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)

13．(2010·上海文，4)若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z＝________.

[答案]　6－2i

[解析]　本题考查了复数的基本运算．

∵z·＝|z|2＝5，∴原式＝5＋(1－2i)＝6－2i.

14．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，则复数z1·z2的实部是__________

[答案]　cos(α＋β)

[解析]　z1·z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)

cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i

＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i

故z1·z2的实部为cos(α＋β)．

15．实数m满足等式|log3m＋4i|＝5，则m＝________.

[答案]　27或

[解析]　本题考查有关复数模的运算．由|log3m＋4i|＝5，得(log3m)2＋16＝25，(log3m)2＝9，所以log3m＝±3，m＝27或m＝.

16．设θ∈[0,2π]，当θ＝________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．

[答案]　或π

[解析]　本题主要考查复数的概念．z为实数，则cosθ＝sinθ，即tanθ＝1.因为θ∈[0,2π]，所以θ＝或π.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)已知复数z满足z－i()＝1－，求z.

[解析]　将方程两边化成a＋bi的形式，根据复数相等的充要条件来解．

设z＝x＋yi(x，y∈R)，则

x2＋y2－i[]＝1－()，

即x2＋y2－3y－3xi＝1＋3i，

由复数相等得

解得或

∴z＝－1或z＝－1＋3i.

18．(本题满分12分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是复数4－20i的共轭复数，求实数x的值．

[解析]　因为复数4－20i的共轭复数为4＋20i，由题意得

x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i，

根据复数相等的充要条件，得

方程①的解为x＝－3或x＝2.

方程②的解为x＝－3或x＝6.

所以实数x的值为－3.

[点评]　本题主要考查共轭复数的概念和复数相等的充要条件．

19．(本题满分12分)已知z＝1＋i，

(1)求w＝z2＋3－4

(2)如果＝1－i，求实数a、b.

[解析]　(1)w＝－1－i

(2)＝

＝

＝(a＋2)－(a＋b)i

∴(a＋2)－(a＋b)i＝1－i

∴a＝－1　b＝2

20．(本题满分12分)设a、b为共轭复数，且(a＋b)2－3abi＝4－6i，求a和b.

[解析]　∵a、b为共轭复数，∴设a＝x＋yi(x，y∈R)

则b＝x－yi，

由(a＋b)2－3abi＝4－6i，得

(2x)2－3(x2＋y2)i＝4－6i，

即

∴　∴

∴a＝1＋i，b＝1－i；a＝－1＋i，b＝－1－i；

a＝1－i，b＝1＋i；a＝－1－i，b＝－1＋i.

21．(本题满分12分)证明：在复数范围内，方程|z|2＋(1－i)－(1＋i)z＝无解．

[证明]　原方程可化简为|z|2＋(1－i)－(1＋i)z＝1－3i.

设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入上述方程，整理得

x2＋y2－2xi－2yi＝1－3i，根据复数相等的充要条件，

得

将②代入①，消去y整理，得8x2－12x＋5＝0.

因为Δ＝－16<0，所以上述方程无实数解．

所以原方程在复数范围内无解．

[点评]　本题主要考查复数代数形式的运算，解决本题的关键是将复数问题转化为实数问题来求解．

22．(本题满分14分)复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋1＋i|的最大值与最小值．

[解析]　在复平面内，|z＋i|＋|z－i|＝2表示复数z对应的点Z到点A(0，－1)，B(0,1)的距离之和为2，而|AB|＝2，所以点Z的轨迹为以A，B为端点的线段(包括两端点)．而|z＋1＋i|＝|z－(－1－i)|表示点Z到点C(－1，－1)的距离，因而，问题的几何意义是求线段AB上的点到点C的距离的最大值与最小值，如右图．

易知|z＋1＋i|max＝|BC|＝，

|z＋1＋i|min＝|AC|＝1.

[点评]　本题主要考查复数|z－z1|的几何意义，即|z－z1|表示复数z与z1对应的两点之间的距离．利用数形结合法是求解本题的关键．