人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算教案

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第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算（一）教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会　　　　　　用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程： Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：　　　①用有向线段表示；　　　②用字母a、b等表示；　　　③用有向线段的起点与终点字母：．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：　　　　实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：　　　　　(1)|λa|＝|λ||a|　　　　　(2)当λ＞0时，λa与a同向；　　　　　　 当λ＜0时，λa与a反向；　　　　　　 当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律　　　　　加法交换律：a＋b＝b＋a　　　　　加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）　　　　　数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：=a+b，（指向被减向量），λa 　　［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：　　　　⑴加法交换律：a + b = b + a；　　　　⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）　　　　⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：　　　　说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.课堂练习课本P92　　练习Ⅳ.课时小结平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本P106 1、2、　⒉预习课本P92～P96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？板书设计：教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2） 二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：1．空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：．2．共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）．推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则①式可化为或②当时，点是线段的中点，此时③①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段的中点公式．3．向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．说明：空间任意的两向量都是共面的．4．共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使．推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①上面①式叫做平面的向量表达式．（三）例题分析：例1．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？解：由题意：，∴，∴，即，所以，点与共面．说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？解：∵，∴，∴，∴点与点共面．例2．已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面．解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴共面；（2）∵，又∵，∴所以，平面平面．五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．七、作业：1．已知两个非零向量不共线，如果，，，求证：共面．2．已知，，若，求实数的值。3．如图，分别为正方体的棱的中点，求证：（1）四点共面；（2）平面平面．4．已知分别是空间四边形边的中点，（1）用向量法证明：四点共面；（2）用向量法证明：平面．3.1.3．空间向量的数量积（1）教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教学过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论；（二）新课讲解：1．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：；2．向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；3．向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即．已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度．4．空间向量数量积的性质： （1）．（2）．（3）．5．空间向量数量积运算律：（1）．（2）（交换律）．（3）（分配律）．（三）例题分析：例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且求证：．证明：在内作不与重合的任一直线，在上取非零向量，∵相交，∴向量不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对，使，∴，又∵，∴，∴，∴，所以，直线垂直于平面内的任意一条直线，即得．例2．已知空间四边形中，，，求证：．证明：（法一） ．（法二）选取一组基底，设，∵，∴，即，同理：，，∴，∴，∴，即．说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。例3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。解：∵，∴ ∴，所以，与的夹角的余弦值为．说明：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成，切记！五．课堂练习：课本第99页练习第1、2、3题。六．课堂小结：空间向量数量积的概念和性质。七．作业：课本第106页第3、4题补充：1．已知向量，向量与的夹角都是，且，试求：（1）；（2）；（3）．向量的数量积（2）一、教学目标：①向量的数量积运算②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角二、教学重点：①向量的数量积运算②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法四、教学过程：考点一：向量的数量积运算（一）、知识要点：1）定义：① 设<>=,则 （的范围为 ）②设，则 。注：①不能写成，或 ②的结果为一个数值。2）投影：在方向上的投影为 。3）向量数量积运算律： ① ② ③ 注：①没有结合律二）例题讲练1、下列命题：①若，则，中至少一个为②若且，则③④中正确有个数为 （ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个2、已知中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b=1,C=30°,则= 。3、若，，满足，且，则= 。4、已知，且与的夹角为，则在上的投影为 。考点二：向量数量积性质应用一）、知识要点： ①（用于判定垂直问题）②（用于求模运算问题）③（用于求角运算问题）二）例题讲练1、已知，，且与的夹角为，，，求当m为何值时2、已知，，，则 。3、已知和是非零向量，且==，求与的夹角4、已知，，且和不共线，求使与的夹角是锐角时的取值范围课堂练习1、已知和是两个单位向量，夹角为，则（）等于（ ）A.-8 B. C. D.82、已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ ） A. B. C. D. 3、在中，设，，，若，则（ ） 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 无法判定4、已知和是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。5、已知、、是非零的单位向量，且++=，求证： 为正三角形。3.1.5空间向量运算的坐标表示一、向量在轴上的投影1．几个概念(1) 轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，记做AB，即。设e是与轴同方向的单位向量，则设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，，规定不超过的称为向量和b的夹角，记为空间一点A在轴上的投影：通过点A作轴的垂直平面，该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。向量在轴上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记做。2．投影定理性质1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即 性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。 设a =是以为起点、为终点的向量，i、j、k分别表示 图7－5沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：i + j+k或 a = ax i + ayj + azk上式称为向量a按基本单位向量的分解式。 有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为 a ＝ {ax，ay，az}。上式叫做向量a的坐标表示式。 于是，起点为终点为的向量可以表示为特别地，点对于原点O的向径 注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az， 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk.2．向量运算的坐标表示 设，即，则加法： 减法： 乘数： 或 平行：若a≠0时，向量相当于，即也相当于向量的对应坐标成比例即三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 设，可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式称为方向余弦。 图 7－6模 方向余弦由性质1知，当时，有任意向量的方向余弦有性质：与非零向量a同方向的单位向量为：例子：已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-} ，， ，， 设为与同向的单位向量，由于 即得3.2立体几何中的向量方法空间距离利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．解：如图，设4i，4j，2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．∴　，，　　　　 ，，．设平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得，∴　＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．由平面EFG，得，，于是　　，．∴　整理得：，解得．∴　＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝．∴　故点B到平面EFG的距离为．说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．例2已知正方体ABCD－的棱长为1，求直线与AC的距离．分析：设异面直线、AC的公垂线是直线l，则线段在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．解：如图，设i，j，k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系－xyz，则有，，，．∴　，，．设n是直线l方向上的单位向量，则．∵　n，n，∴　，解得或．取n，则向量在直线l上的投影为　　　n··．由两个向量的数量积的几何意义知，直线与AC的距离为．向量的内积与二面角的计算 在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式： (1)其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内。，， 。为二面角P-MN-Q（见图1）。图1 公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系。 记xOz平面与平面P的交线为射线OD，则，得，，。分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量，，则。由计算知，的坐标分别为，，于是，。公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。例1．立方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。 求面EFG和面GHI的夹角的大小（用反三角函数表示）。解 由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。这样就使平面EFG平移至平面。而就是二面角G-IH-（见图3）。利用公式（1），只要知道了，和的大小，我们就能求出。图2由已知条件，和均为等边三角形，所以，而。因此，图3，即。解得， 。当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角来。例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小。解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕。设P和Q是两个相邻的面，MN是它们的交线（如图4），则公式（1）中的，，分别为：， ， ，因此它们均为正五边形的内角。所以。图4所以，由公式（1）知，或。因此，，或。 如果不使用公式（1），要求出例2中的夹角的大小在计算上要复杂很多。利用例2的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V。设单位棱长正十二面体的中心为O，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O为其顶点。设该正五棱锥为，从而可知：。再设的底面积为S、高为h，设为单位边长正五边形（即的底）的中心，A、B为该五边形的两个相邻的顶点，H为AB的中点，，则， ， 。仍设为正十二面体两相邻面的夹角，则。所以。但是，，从而 ，或§3.1 空间向量及其运算（一）平面向量复习 二、空间向量 三、例1⒈定义及表示方法 ⒈定义及表示⒉加减与数乘运算 ⒉加减与数乘向量 小结⒊运算律 ⒊运算律课题向量的坐标 教学目的要求1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系 2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示主要内容与时间分配1．投影与投影定理 25分钟2．分向量与向量的坐标 30分钟3．模与方向余弦的坐标表示 35分钟重点难点1．投影定理2．分向量3．方向余弦的坐标表示教学方法和手段启发式教学法，使用电子教案