高中数学人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算教案

第五课时3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

教学要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．

教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．

教学难点：理解空间向量基本定理．

教学过程：

一、新课引入

1. 回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算，

2. 复习：平面向量基本定理.

二、讲授新课

1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量，均可分解为不共线的两个向量和，使. 如果时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量，则存在一对实数x、y，使得，即得到平面向量的坐标表示.

推广到空间向量，结论会如何呢？

(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使. 如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.

(2)空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把叫做空间的一个基底（base），都叫做基向量.

2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．

单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．

选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，

3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使a＝i＋j＋k．

空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？

向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A，B，则＝－＝－＝．

4. 向量的直角坐标运算：设a＝，b＝，则

⑴a＋b＝；　　⑵a－b＝；

⑶λa＝； 　　⑷a·b＝

证明方法：与平面向量一样，将a＝i＋j＋k和b＝i＋j＋k代入即可．

5. 两个向量共线或垂直的判定：设a＝，b＝，则

⑴a//ba＝λb，；

⑵a⊥ba·b=0．

6. 练习：已知a＝，b＝，求a＋b，a－b，8a，a·b．解：略．

7. 出示例：课本P101 例4 . （解略）

三、巩固练习  作业：课本P102 练习2、3题 .