数学选修2-13.1空间向量及其运算导学案及答案

学习目标

1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

学习过程

一、课前准备

（预习教材P86~ P87，找出疑惑之处）

复习1：化简：

⑴ 5（）+4（）；

⑵ .

复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？

在平面上有两个向量， 若是非零向量，则与平行的充要条件是                

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：空间向量的共线

问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？

新知：空间向量的共线：

1. 如果表示空间向量的                所在的直线互相       或     ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.

2. 空间向量共线：

定理：对空间任意两个向量（）， 的充要条件是存在唯一实数，使得           

推论：如图， l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是                   

试试：已知 ，求证: A,B,C三点共线.

反思：充分理解两个向量共线向量的充要条件中的，注意零向量与任何向量共线.

※ 典型例题

例1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？

变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若，那么t＝      

例2 已知平行六面体，点M是棱AA的中点，点G在对角线AC上，且CG:GA=2:1,设=，，试用向量表示向量.

变式1：已知长方体，M是对角线AC中点，化简下列表达式：

⑴ ;⑵ ⑶

变式2：如图，已知不共线，从平面外任一点，作出点,使得：

⑴

⑵

⑶

⑷.

小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向. 

※ 动手试试

练1. 下列说法正确的是（   ）

A. 向量与非零向量共线，与共线，则与 共线；

B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；

C. 任意两个共线向量相等；

D. 若向量与共线，则.

2. 已知，，若，求实数

三、总结提升

※ 学习小结

1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；

2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.

※ 知识拓展

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 下列说法正确的是（  ）

A.与非零向量共线,与共线，则与共线

B. 任意两个相等向量不一定共线

C. 任意两个共线向量相等

D. 若向量与共线，则

2. 正方体中，点E是上底面的中心，若,

则x＝   ，y＝   ，z＝   .

3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则   +   .

4. 平行六面体, O为AC与BD的交点,则   

5. 已知平行六面体，M是AC与BD交点，若，则与相等的向量是（  ）

A. ；     B.  ；

C. ；      D.  .