苏教版必修13.4.2 函数模型及其应用教案设计

函数模型及其应用（1）

教学目的：使学生了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型：指数函数、

　　　　　对数函数以及幂函数，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。

教学重难点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生

理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。建立实际问题的函数模型是难点。

教学过程

一、复习提问

　　写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？

二、新课

　　例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的

回报如下：

　　方案一：每天回报40元；

　　方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

　　方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

　　请问，你会选择哪种投资方案？

方案一：y＝40（x∈N＋）

方案二：y＝10x（x∈N＋）

方案三：y＝0.4×（x∈N＋）

方案一是常数函数，方案二是增函数，呈直线型

增长，方案三也是增函数，呈指数型增长，增长速度

比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。

　　投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。

　　再看累计回报数表P114。投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，

投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第

三种方案。

　　例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方

案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销

售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过

利润的25%。现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝＋1，y＝1.002x。其中哪个模型

能符合公司的要求？

　　分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数

不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，

所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，

检验三个模型是否符合公司要求即可。

　　不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，

确认结果。

函数模型及其应用（2）

教学目的：使学生进一步了解三种函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数的增长

　　　　　情况，通过函数图象对比它们的增长速度。

教学重难点：观察指数函数、对数函数、幂函数模型的图象，对比它们的增长速度，

了解它们的增长情况。

教学过程

一、复习提问

指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？，哪个函数的增长速度最快？

二、新课

　　探究函数y＝，y＝，y＝的增长速度。

　　教学中，用电子表格Excel列出下列表格，并画出函数图象：

在区间（2,4），有＜＜

在区间（0,2）和（4，＋∞）有＜＜

　　可以在更大范围内观察函数y＝，y＝的图象的增长情况。

　　一般地，对于指数函数y＝（a＞1）和幂函数y＝（n＞0），通过探索可以发

现，在区间（0，＋∞）上，无论n比a大多少，尽管x在一定范围内，会小于

但由于的增长速度快于，因此总存在一个，当x＞时，就会有＞。

　　同样地，对于对数函数y＝（a＞1）和幂函数y＝（n＞0），在区间

（0，＋∞）上，随着x的增大，增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平

行一样。尽管x在一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于，

因此总存在一个，当x＞时，就会有＜。

　　综上所述，在区间（0，＋∞）上，尽管函数y＝（a＞1）、y＝（a＞1）

和y＝（n＞0）都是增函数。但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上

随着x的增大，y＝（a＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝（n＞

0）的增长速度，而y＝（a＞1）的增长速度越来越慢。因此总存在一个，当x

＞时，＜＜。