苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数教案及反思

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本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1.2节《无理指数幂及其运算》第１课时。从内容上看它是上节指数由整数指数幂推广到了分数指数幂，从而将指数幂的运算法则推广到了有理数的范围，本节从有理数指数幂出发，进一步推广到了无理数，从而再整个实数范围内，都可以进行指数幂的运算。体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。
重点：分数指数幂和无理指数幂的概念；
难点：根式与分数指数幂的互化；指数幂的运算性质；
多媒体
课程目标
学科素养
1. 理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则，会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法则进行计算分数指数幂；
2.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。
3.培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。
a.数学抽象：指数幂的概念；
b.逻辑推理：无理数指数幂的含义；
c.数学运算：指数幂的运算；
d.直观想象：指数幂的运算法则；
e.数学建模：将指数幂的运算性质推广到实数的范围；
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
（一）、温故知新
1．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：aeq \s\up12(eq \f(m,n))＝————
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：aeq \s\up12(－\f(m,n))＝eq \f(1,a\f(m,n))＝————
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义.
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3.小试牛刀
1．思考辨析
(1)0的任何指数幂都等于0.( ) (2)5eq \s\up12(eq \f(2,3))＝eq \r(53).( )
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如eq \r(4,a2)＝aeq \s\up12(eq \f(1,2)).( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．4eq \s\up12(eq \f(2,5))等于( )
A．25 B.eq \r(5,16) C.eq \r(4eq \s\up12(eq \f(1,5))) D.eq \r(5,4)
B [4eq \s\up12(eq \f(2,5))＝eq \r(5,42)＝eq \r(5,16)，故选B.]
3．已知a>0，则aeq \s\up12(－\f(2,3))等于( )
A.eq \r(a3) B．eq \f(1,\r(3,a2)) C.eq \f(1,\r(a3)) D．－eq \r(3,a2)
B [aeq \s\up12(－\f(2,3))＝eq \f(1,aeq eq \f(2,3))＝eq \f(1,\r(3,a2)).]
4．(meq \s\up12(eq \f(1,2)))4＋(－1)0＝________.
m2＋1 [(meq \s\up12(eq \f(1,2)))4＋(－1)0＝m2＋1.]
（二）、探索新知
无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂；
观察下表：的是 否表示一个确定的实数？
的过剩近似值
的近似值
1.5
11.180 339 89
1.42
9.829 635 328
1.415
9.750 851 808
1.414 3
9.739 872 62
1.414 22
9.738 618 643
1.414 214
9.738 524 602
1.414 213 6
9.738 518 332
1.414 213 57
9.738 517 862
1.414 213 563
9.738 517 752
…
…
由上可以看出： 可以由的不足近似值和过剩近似值进行无限逼近。
（三）典例解析
题型1 根式与分数指数幂的互化
例1 将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)eq \r(a\r(a))(a>0)；(2)eq \f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))；(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(4,beq \s\up12(－\f(2,3)))))eq \s\up25(－\f(2,3))(b>0).
规律方法]根式与分数指数幂互化的规律
1)根指数分数指数的分母被开方数(式)的指数分数指数的分子
2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题
跟踪训练1．将下列根式与分数指数幂进行互化．
(1)a3·eq \r(3,a2)；(2)eq \r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．
题型2、利用分数指数幂的运算性质化简求解
例2、化简求值
规律方法]指数幂运算的常用技巧
1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算
2负指数幂化为正指数幂的倒数
3.底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质
跟踪训练2．(1)计算：0.064eq \s\up12(－\f(1,3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,8)))0＋[(－2)3]eq \s\up12(－\f(4,3))＋16－0.75＋|－0.01|eq \s\up12(eq \f(1,2))；
(2)化简：eq \r(3,aeq \s\up12(eq \f(9,2)))\r(a－3))÷eq \r(\r(3,a－7)·\r(3,a13))(a>0)．
题型3 指数幂运算中的条件求值
1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))2和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))2存在怎样的等量关系？
提示：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))2＋4.
2．已知eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))的值，如何求a＋eq \f(1,a)的值？反之呢？
提示：设eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝m，则两边平方得a＋eq \f(1,a)＝m2－2；反之若设a＋eq \f(1,a)＝n，则n＝m2－2，∴m＝eq \r(n＋2).即eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝eq \r(n＋2).
例3、已知aeq \s\up12(eq \f(1,2))＋a－eq \s\up12(eq \f(1,2))＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[解] (1)将aeq \s\up12(eq \f(1,2))＋a－eq \s\up12(eq \f(1,2))＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
母题探究：1.在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．
2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．
[解] 1、由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq \r(3)×14＝±112eq \r(3).
[解] 2、令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq \r(3)，即a－a－1＝±8eq \r(3).
规律方法] 解决条件求值的思路
1．在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值
2．在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用
通过温故知新，帮助学生正确理解根式与分数指数幂的概念，进一步熟悉它们之间的转化，培养和发展数学抽象和数学运算的核心素养。
合作探究：
探究.无理指数幂的概念，通过有理指数幂不断逼近，体会无理指数幂的含义。发展学生数学推理能力；
通过典例问题的分析，让学生观察分析，归纳根式与分数指数幂的互化。感受由特殊到一般的思想方法，发展逻辑推理能力；
三、当堂达标
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(eq \r(a)－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6
[答案]A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(eq \r(a)－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]
把根式aeq \r(a)化成分数指数幂是( )
A．(－a) eq \s\up12(eq \f(3,2)) B．－(－a) eq \s\up12(eq \f(3,2)) C．－aeq \s\up12(eq \f(3,2)) D．aeq \s\up12(eq \f(3,2))
[答案]D [由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]
答案：
4．若10m＝2,10n＝3，则103m－n＝________.
[答案]eq \f(8,3) [∵10m＝2，∴103m＝23＝8，又10n＝3，
所以103m－n＝eq \f(103m,10n)＝eq \f(8,3).]

通过练习巩固本节所学知识，提高解决根式的化简及根式与分数指数幂的互化能力，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。
四、小结
1.利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的 指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算。
2.指数幂运算性质
五、作业
1. 课时练 2. 预习下节课内容
学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；