人教版八年级下册数学第十九章一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

一次函数的图象和性质一、知识要点： 1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。  注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1； 　  　（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0） （2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质： 　(1)图象的位置:
　 　　　　 　(2)增减性 　　k>0时，y随x增大而增大 　　k<0时，y随x增大而减小 4．求一次函数解析式的方法 　　求函数解析式的方法主要有三种 　　(1)由已知函数推导或推证 　　(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 　　(3)用待定系数法求函数解析式。 　　“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： 　　①利用一次函数的定义　　    　　构造方程组。 　　②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向 。　　③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程 。二、例题举例： 　　例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：∵与成正比例， 　　设=a(a≠0的常数), 　　∵y=, =(k≠0的常数), 　　∴y=·a=akx， 　　其中ak≠0的常数， 　　∴y与x也成正比例。 　　例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 　　解：依题意，得 　　解得 n=-1， 　　∴=-3x-1, 　　=(3-)x, 　是正比例函数； 　　=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，随x的增大而减小； 　　=(3-)x的图象经过第一、三象限，随x的增大而增大。 　　说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。 　　例3．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。 　　分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。 　　解：∵y=kx+b与y=5-4x平行， 　　∴k=-4, 　　∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴， 　　∴b=18， 　　∴y=-4x+18。 　　说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。 　　例4．直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。 　　解：∵点B到x轴的距离为2， 　　∴点B的坐标为（0，±2）， 　　设直线的解析式为y=kx±2, 　　∵直线过点A（-4，0）， 　　∴0=-4k±2, 　　解得：k=±, 　　∴直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2. 　　说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。
　　（1）图象是直线的函数是一次函数；
　　（2）直线与y轴交于B点，则点B（0，）；
　　（3）点B到x轴距离为2，则||=2；
　　（4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=；
　　（5）已知直线与y轴交点的纵坐标，可设y=kx+，
　　下面只需待定k即可。 　　例5．已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。 　　分析：自画草图如下： 　　解：设正比例函数y=kx， 　　一次函数y=ax+b， 　　∵点B在第三象限，横坐标为-2， 　　设B（-2，），其中<0， 　　∵=6， 　　∴AO·||=6， 　　∴=-2， 　　把点B（-2，-2）代入正比例函数y=kx，得k=1 　　把点A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b， 　　得 　　解得： 　　∴y=x, y=-x-3即所求。 　　说明：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示； 　　（2）此例需要把条件（面积）转化为点B的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式AO·BD=6（过点B作BD⊥AO于D）计算出线段长BD=2，再利用||=BD及点B在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化？（答：有两种可能，点B可能在第二象限（-2，2），结果增加一组y=-x, y=(x+3). 　　例6．已知正比例函数y=kx (k<0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。 　　分析：画草图如下：
　　
　　则OA=13，=30， 　　则列方程求出点A的坐标即可。 　　解法1：设图象上一点A（x, y）满足 　　 　　解得：；；； 　　代入y=kx (k<0)得k=-, k=-. 　　∴y=-x或y=-x。 　　解法2：设图象上一点A（a, ka）满足 　　 　　由（2）得=-, 　　代入（1），得(1+)·(-)=. 　　整理，得60+169k+60=0. 　　解得 k=-或k=-. 　　∴ y=-x或y=-x. 　　说明：由于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx，其中k为待定系数，故解此例的关键是构造关于k的方程。此例给出的两个解法代表两种不同的思路：解法1是把已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标，构造方程解出，再求k；解法2是引进辅助未知数a，利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于a、k的方程组，解题时消去a，求出k值。　 　　例7．在直角坐标系x0y中，一次函数y=x+的图象与x轴，y轴，分别交于A、B两点，点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B、D两点的一次函数的解析式。 　　分析：由已知可得A点坐标（-3，0），B点坐标（0，），点C是确定的点（1，0），解题的关键是确定点D的坐标，由点D在x轴上，以∠BCD=∠ABD的条件，结合画草图可知∠BCD的边BC确定，顶点C确定，但边CD可以有两个方向，即点D可以在C点右侧，也可以在C点左侧，因此解此题要分类讨论。 　　解：∵点A、B分别是直线y=x+与x轴和y轴交点， 　　∴A（-3，0），B（0，）， 　　∵点C坐标（1，0）由勾股定理得BC=，AB=， 　　设点D的坐标为（x, 0）， 　　（1）当点D在C点右侧，即x>1时， 　　∵∠BCD=∠ABD， 　　∠BDC=∠ADB， 　　∴△BCD∽△ABD， 　　∴= 　　∴=- - - - ① 　　∴= 　　∴8-22x+5=0 　　∴x1=, x2=, 　　经检验：x1=, x2=,都是方程①的根。 　　∵x=,不合题意，∴舍去。∴x=， 　　∴D点坐标为（, 0）。 　　设图象过B、D两点的一次函数解析式为y=kx+b， 　　∴ 　　∴所求一次函数为y=-x+　　（2）若点D在点C左侧则x<1， 　　可证△ABC∽△ADB， 　　∴ 　　∴- - - - ② 　　∴8-18x-5=0 　　∴x1=-, x2=, 　　经检验x1=-, x2=,都是方程②的根。 　　∵x2=不合题意舍去，∴x1=-, 　　∴D点坐标为（-, 0）， 　　∴图象过B、D（-, 0）两点的一次函数解析式为y=4x+综上所述，满足题意的一次函数为y=-x+或y=4x+. 　　例8．已知：如图一次函数y=x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C（4，0）作AB的垂线交AB于点E，交y轴于点D，求点D、E的坐标。 　　解：直线y=x-3与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，-3）， 　　∴OA=6，OB=3， 　　∵OA⊥OB，CD⊥AB， 　　∴∠ODC=∠OAB， 　　∴cot∠ODC=cot∠OAB,即 　　∴OD===8. 　　∴点D的坐标为（0，8）， 　　设过CD的直线解析式为y=kx+8,将C( 4,0)代入 　　0=4k+8, 解得 k=-2 　　∴直线CD：y=-2x+8, 　　由　解得 　　∴点E的坐标为（，-） 　　说明：由于点E既在直线AB上，又在直线CD上，所以可以把两直线的解析式联立，构成二元一次方程组，通过解方程组求得。