期末复习模拟一（选择性必修一、选择性必修第二册数列） （含答案）

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期末复习模拟一

范围：选择性必修一  +  数列     

第I卷（选择题）

一、单选题

1．若圆关于直线对称的圆的方程是则等于（  ）

A．4 B．2 C．6 D．8

2．在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（   ）

A． B． C． D．

3．平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（　　）

A． B．

C． D．

4．抛物线的准线方程为（ ）

A． B． C． D．

5．等差数列的前项和为20，前项和为70，则它的前的和为（      ）

A．130 B．170 C．150 D．210

6．已知两点，若点是圆上的动点，则面积的最大值为（    ）

A．13 B．3 C． D．

7．已知数列满足，，则等于（    ）

A． B． C． D．

8．正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．对于任意非零向量，，以下说法错误的有(    )

A．若，则

B．若，则

C．

D．若，则为单位向量

10．设，用表示不超过的最大整数，则函数称为高斯函数，也叫取整函数，如：，，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．

C．的解集为

D．当，时，函数的值域中元素个数为

11．四棱柱中，为正方形的中心，，分别为线段，的中点，下列结论正确的是（    ）

A．平面 B．平面平面

C．直线与直线所成的角为 D．

12．关于递增等比数列，下列说法不正确的是（    ）

A．当 B． C． D．

第II卷（非选择题）

三、填空题

13．若直线截半圆所得的弦长为，则             ．

14．数列的前项和为，则它的通项公式为________.

15．已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.

① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；

② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；

③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；

④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.

其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）

16．在平面直角坐标系中，双曲线：的左、右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的渐近线方程为_______.

四、解答题

17．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.

(1)求点关于直线对称点的坐标；

(2)求反射光线所在直线的一般式方程．

18．已知数列是等比数列，为数列的前项和，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，且为递增数列，若，求证：.

19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为线段上的点．

（1）证明：平面；

（2）若是的中点，求与平面所成的角的正切值．

20．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．

（1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；

（2）写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围．

21．已知数列中，，.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若为数列的前项和，求的最大值.

22．如图已知抛物线的焦点为，圆，直线：与抛物线和圆从下至上顺次交于四点，，，.

（1）若，求的值；

（2）若直线于点，直线与抛物线交于点，，设，的中点分别为，求证：直线过定点.

参考答案

1．A  2．C  3．A  4．D  5．C  6．C  7．C  8．D

9．BD     10．ABD    11．BD    12．BCD

13．  14．  15．②④    16．

17．（1）；（2）．

【详解】

（Ⅰ）设点关于直线l的对称点为，则 

解得，即点关于直线l的对称点为．

（Ⅱ）由于反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为即.

【点睛】

本题考查点关于直线对称点问题，考查基本求解能力.

18．（1）或.（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）设数列的公比为，从而可得，从而解得；（2）讨论可知，从而，利用裂项求和即可.

试题解析：（1）设数列的公比为，

当时，符合条件，，，

当时，，所以，解得，.

，

综上：或.

注：列方程组求解可不用讨论.

（2）证明：若，则，与题意不符；

，，

，

.

19．（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）推导出PA⊥BD，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．
（2）由PA⊥平面ABCD，得GO⊥面ABCD，∠DGO为DG与平面PAC所成的角，由此能求出DG与平面APC所成的角的正切值．

试题解析：

（1）证明：∵在四棱锥中，平面，

∴.∵，.

设与的交点为，则是的中垂线，

故为的中点，且.

而，∴面；

（2）若是的中点，为的中点，则平行且等于，

故由面，可得面，

∴，故平面，故为与平面所成的角．

由题意可得，中，由余弦定理可得， ，

∴，.

∵直角三角形中，，

∴直角三角形中，.

点睛：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

20．(1)相似;相似比为;(2);.

【详解】

(1)由题意知:椭圆的特征三角形是腰长为=2,底边长2=2的等腰三角形; 椭圆的特征三角形是腰长为=4,底边长2=4的等腰三角形,则由,得两个三角形相似,所以可得椭圆与椭圆相似,且相似比为;

(2)由椭圆和椭圆相似,且短半轴长分别为1和,可得相似比为1:,则可得椭圆的长半轴长为2,所以椭圆的方程为:;

由题意设直线为,点M,N,中点坐标为(),

联立消元化简得:

∴∴,, ∴中点坐标为(,)

由中点在直线上,可得=+1,解得=,

由直线与椭圆有两个不同的交点得,

代入=解得.

故实数的取值范围为

【点睛】

本题借助于新型概念考查了椭圆方程的求法以及利用直线与椭圆的位置关系求参数范围的问题,考查了学生的综合运算能力, 在解决直线与椭圆位置关系的问题时通常联立解直线与椭圆方程组成的方程组,消元利用韦达定理根的判别式来解决，运算过程常常采用设而不求,整体代入等解法,是高考常考题型.

21．（1）证明见解析；（2）

【详解】

（1）设，

因为，

所以数列以为公比的等比数列.

（2）由于，故，又是以为公比的等比数列，可得，又得到.

由，得，

所以，

，

当时，单调递减，当时，取最大值；

，

当时，单调递减，当时，取最大值；

综上，的最大值为.

【点睛】

本题考查等比数列求和公式，数列的通项公式，数列的单调性等知识，是一道较难的综合题.

22．（1）；（2）

详解：

（Ⅰ）由题意可得，∴圆心为，圆的半径为1，

设，，由

得，，，

，

(Ⅱ) ∵，

 ∴,用替换可得，∴

∴的直线方程为，化简得，

∴直线过定点.

点睛：解析几何“定元素”问题在近几年高考中频频出现，所谓的定，就是当一部分几何元素按某种规律在一定范围内变动时，与它有关的量始终保持不变，解决此类问题的策略往往是要利用特殊与一般的关系，可先在特殊情况下求出这个可能的定值，再通过逻辑推理证明这个定值即为所求.