选择性必修第二册 第4章（3）等差、等比数列 能力提升卷（含答案）

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等差、等比数列能力提升复习

范围：选择性必修二数列  

第I卷（选择题）

一、单选题

1．等比数列满足，且，，成等差数列，则该数列公比为（    ）

A． B． C．4 D．2

2．设等差数列的前n项和为．若，则当取最小值时，n等于（ ）

A．6    B．7    C．8    D．9

3．已知等差数列，，，则数列的前项和为（   ）

A．                 B．                 C．                 D．

4．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（    ）

A．只 B．只 C．只 D．只

5．已知数列：，即此数列第一项是，接下来两项是，再接下来三项是，依此类推，……，设是此数列的前项的和，则（    ）

A． B． C． D．

6．等差数列的前n项和为，且满足，则　　

A．1 B．2 C．3 D．4

7．设等差数列的前项和为，若，，则＝（   ）

A．63              B．45                 C．43            D．81

8．设等差数列{an}的前n项和为,若，, 则当取最大值等于（ ）

A．4    B．5    C．6    D．7

二、多选题

9．在等差数列中，公差，前项和为，则（    ）

A． B．，，则

C．若，则中的最大值是 D．若，则

10．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（    ）

A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件

B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件

C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态

D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列

第II卷（非选择题）

三、填空题

11．已知4，，，25成等差数列，4，，，25成等比数列，则______．

12．设等差数列的前项和为，且满足，对任意，都有，则的值为__________．

13．已知数列满足，，若，则的前项和_____．

14．已知等比数列的前项和为，且，，则_______.

四、解答题

15．已知数列中，，.

（1）求，；

（2）求证：是等比数列，并求的通项公式；

（3）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求λ的取值范围.

16．已知公差不为零的等差数列满足，，成等比数列，；数列满足，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

17．已知数列满足

（1）若数列满足，求证：是等比数列；

（2）求数列的前项和

18．已知递增的等差数列的首项，且、、成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列对任意，都有成立，求的值．

（3）若，求证：数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积．

参考答案

1．D   2．A   3．A  4．D   5．A   6．A  7．D    8．B

9．AD     10．ABC   11．129    12．1009   13．    14． 

 15．（1），（2）见解析，（3）

（1）根据递推公式依次求出，即可得解；

（2）转化条件得，结合可得即可得解；

（3）由题意，利用错位相减法可得，则条件可转化为，根据为偶数、为奇数分类讨论即可得解.

【详解】

（1）由得，.

（2）由得，即，

又，所以是以是为首项，为公比的等比数列.

所以，即.

（3），

，

.

两式相减得，

，所以.

令，易知单调递增，

若为偶数，则，所以；

若为奇数，则，所以，所以.

所以.

【点睛】

本题考查了递推公式的应用、等比数列的证明、数列通项的求解、错位相减求数列前项和，考查了恒成立问题的处理方法和分类讨论的思想，属于中档题.

16．(I) .（II）.

试题分析：（1）第（1）问，先直接利用已知求出,得到数列的通项公式再利用累加法求出数列的通项公式.(2)第（2）问，利用裂项相消求数列的前项和.

试题解析：(I)设数列的公差为d则:,

, 又 ,

.

当时

，又满足上式.

（II）

.

17．(1) 见解析；(2) .

【解析】

试题分析：（1）通过恒等变形，得到即，结论得证;

（2）由(1)可得，分成一个等比数列，一个常数列求和即可.

试题解析： (1) 由题可知，从而有，，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.                

    (2) 由(1)知，从而，

有.

点晴：本题考查的是数列中的递推关系和数列求和问题.第一问中关键是根据得到，即证得是等比数列;第二问中的通项由，比较明显地可以分成一个等比数列，一个常数列求和即可.

18．（1）；（2）；（3）见解析.

【分析】

（1）根据解出公差，即可得到通项公式；

（2）当时，由①，及②，两式作差求出，即可求解；

（3）通过数列通项公式关系对数列中的任意一项，都存在和使得，即可得证.

【详解】

（1）∵是递增的等差数列，设公差为

、、成等比数列，∴

由    及得  

∴   

（2）∵，  对都成立

当时，得 

当时，由①，及②

①－②得，得 

∴

∴

（3）对于给定的，若存在，使得

∵，只需，

即，即

即，  取，则

∴对数列中的任意一项，都存在和

使得

【点睛】

此题考查求数列通项公式以及数列求和，考查对数列通项公式的理解认识，证明相关结论.