期末复习模拟三（选择性必修一、选择性必修第二册数列） （含答案）

高二数学期末复习模拟三

范围(选择性必修一 +选择性必修二数列)

一、单选题

1．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有(    )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于，若，，则的值为（ ）

A．    B．    C．    D．3

3．设等差数列的前n项和为，首项，公差，，则最大时，n的值为(   )

A．11 B．10 C．9 D．8

4．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，＝（   ）

A．5 B．3 C．7 D．3或7

5．已知数列的前项和为，且是和的等差中项.用表示不超过的最大整数，设，则数列的前项和（    ）

A． B． C． D．

6．椭圆x2+4y2＝36的弦被（4，2）平分，则此弦所在直线方程为（　　）

A．x﹣2y＝0 B．x+2y﹣4＝0 C．2x+3y﹣14＝0 D．x+2y﹣8＝0

7．焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上，在中，，则的值是（    ）

A． B．4 C．2 D．1

8．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．两直线，与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有（    ）

A． B． C． D．

10．下列说法正确的是（    ）

A．直线必过定点（2，1）

B．直线在轴上的截距为－2

C．直线的倾斜角为120°

D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为

11．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（    ）

A． B．

C．是平面ABCD的一个法向量 D．

12．（多选题）下列说法正确的是（    ）

A．方程表示两条直线

B．椭圆的焦距为4，则

C．曲线关于坐标原点对称

D．双曲线的渐近线方程为

三、填空题

13．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，若,且l1与l2的距离为5，则l1与l2的方程分别是______.

14．古希腊数学家同波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，动点满足（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.若，，动点满足，则该圆的圆心坐标为_______.

15．已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，且，则____.

16 ．已知点在抛物线上，点在圆，点，令，则的最小值为______，此时点的横坐标为______.

四、解答题

17．已知圆的圆心在上，点在圆上，且圆与直线相切.

（1）求圆的标准方程；

（2）过点和点的直线交圆于、两点，求弦的长.

18．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长和焦距都等于2，是椭圆上的一点，且在第一象限内，过且斜率等于的直线与椭圆交于另一点，点关于原点的对称点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：直线的斜率为定值；

（3）求面积的最大值．

19．已知{an}是递增的等差数列，且满足a2a4=21，a1+a5=10．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{cn}前n项和Cn=an+1，数列{bn}满足bn=2ncn（n∈N*），求{bn}的前n项和．

20．在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率．

（1）求椭圆G 的标准方程；

（2）已知直线 与椭圆 交于 两点，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，如图所示．

①证明： ；

②求四边形 的面积 的最大值．

21．已知正项数列的前项和为，.

（1）求、；

（2）求证：数列是等差数列.

22．已知椭圆：的长轴长为4，离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线：分别交于两点，求线段的长度的最小值.

参考答案

1．B  2．D    3．B       4．D

5．D   6．D       7．A           8．C

9．ABD       10．ACD

11．ABC      12．ACD

13．，或，.

14．      15．3       16.         

17．【解析】

（1）设圆的标准方程为：

由题意得：

解得：，

所以圆的标准方程为：；

（2）因为直线过点和点，

所以直线的斜率为，

所以直线为：即

设圆心到直线的距离为，

所以，

所以弦的长为.

18【解析】（1）由题意可设椭圆的方程为，，则，

所以的方程为；

（2）设，，，，则，，直线的斜率，

由，两式相减，，

由直线，所以，

直线的斜率为定值；

（3）因为，关于原点对称，所以，

由（1）可知的斜率，设方程为且，

到的距离

由，整理得：，

所以，

所以，

，

，

当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.

19.【解析】

（1）设等差数列{an}的公差为d，则依题设知d＞0，

由a1+a5=10，可得2a3=10，即a3=5，

由a2a4=21，得（5-d）（5+d）=21，可得d=±2，

∵{an}是递增的等差数列，

∴d=2，a1=5-2d=1，    ∴an=2n-1；

（2）由（1）知Cn=an+1=2n，可得c1=2，Cn-1=2（n-1），

两式相减可得cn=2（n∈N*），   ∴bn=2n+1，

所以数列{bn}是首项为4、公比为2的等比数列，

所以前n项和Sn==2n+2-4．

20解析：（1）设椭圆G的方程为（a＞b＞0）

∵左焦点为F1（﹣1，0），离心率e=．∴c=1，a=，

b2=a2﹣c2=1

椭圆G 的标准方程为：．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）

①证明：由消去y得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2=0

，

x1+x2=，x1x2=；

|AB|==2；

同理|CD|=2，

由|AB|=|CD|得2=2，

∵m1≠m2，∴m1+m2=0

②四边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d=

∵m1+m2=0，∴

∴s=|AB|×d=2×

=.

所以当2k2+1=2m12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2

21【解析】（1）由已知条件得：.∴.

又有，即.

解得（舍）或.

（2）由得

时：，

∴，

即，

∴，

∴，

∴即，

经过验证也成立，

所以数列是首项为1，公差为2的等差数列.

22【解析】（1）由题意得：，故

    ，

所求的椭圆方程为：

（2）依题意，直线的斜率存在，且

故可设直线的方程为：，可得：

由得：

设，则，得：，从而

即

又由可得直线的方程为：

化简得：

由得：   

故

又   

当且仅当，即时等号成立

时，线段的长度取最小值

22．

【分析】

设抛物线的焦点，点坐标为，，利用两点间距离公式表示出，而要使取得最小值，则应取最大值，利用抛物线的定义可知，于是被表示成关于的函数，在运算求解的过程中，使用分离常数和均值不等式，即可求得的最小值以及取得最小值时的值．

【解析】

解：

设抛物线的焦点，点，，则，，

又抛物线的焦点与圆心重合，故要使取得最小值，则应取最大值，

由抛物线的定义可知，

，，

当且仅当，即时，等号成立．

故答案为：；．

【点睛】

本题考查抛物线的定义与性质，还借助均值不等式求最值，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．