期末复习模拟八（选择性必修一、选择性必修第二册数列）（含答案）

高二数学期末复习模拟八

范围(选择性必修一 +选择性必修二数列)

一、单选题

1．如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，试用，，表示（    ）

A． B． C． D．

2．双曲线的渐近线方程是（    ）

A．y=4x B． C．y=±2x D．

3．若数列的前4项分别是，，，，则此数列一个通项公式为（    ）

A． B． C． D．

4．我国东南沿海一台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，若城市在地正北处，则城市处于危险区内的时间为（    ）小时.        A．                    B．1                   C．                    D．2

5．存在过椭圆左焦点的弦，使得，则椭圆C的离心率的最小值是（    ）     A．    B．    C．                 D．

6．已知点是圆上任意一点，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，四边形是矩形，是的中点，与交于点平面若，则直线与平面所成角的正弦值（    ）

   A．     B．      C．     D．

8．有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2020个数字为（    ）    A．5979                B．5980                 C．5981                D．以上都不对

二、多选题

9．已知向量，则与共线的单位向量（    ）

A． B． C． D．

10．（多选题）方程表示的曲线不可能为（    ）

A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆

11．等差数列的前项和为，若，公差，则（    ）

A．若，则 B．若，则是中最大的项

C．若， 则             D．若则

12．某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（    ）   A．函数在区间上单调递减，上单调递增

B．函数的最小值为，没有最大值           C．存在实数，使得函数的图象关于直线对称              D．方程的实根个数为2

三、填空题

13．将正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角为___________.

14．直线与圆交于A、B两点，O为坐标原点，则面积的最大值为__________.

15．已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为_____. 

16．记数列的前项和为，已知，且．若对任意的，都有，则实数的取值范围为______．

四、解答题

17．已知中心在原点的双曲线C的右顶点为，离心率为．

（1）求双曲线C的标准方程和渐近线方程；           （2）若双曲线C上存在一点P使得（其中为双曲线的两个焦点），求的面积．

18．如果数列满足，，且.

（1）求数列的通项公式；     （2）令，求数列的前项和.

19．如图，已知圆及点.

（1）若点在圆上，求直线的斜率以及直线与圆的相交弦的长度；

（2）若是直线上任意一点，过作圆的切线，切点为，当切线长最小时，求点的坐标，并求出这个最小值；

（3）若是圆上任意一点，求的最大值和最小值.

20．正项数列{}的前n项和Sn满足：

(1)求数列{} 的通项公式；

(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.

21．如图，在四棱锥中，，，（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.

22．已知椭圆中，短轴的一个端点与两个焦点的连线互相垂直，且焦距为.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）如图，已知椭圆的左顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且的面积是的面积的2倍，求直线的方程

参考答案

1．A    2．C   3．B   4．B   5．D   6．B   7．B  8．B 由题可得第次报数的个数为，则第次报完数后总共报数的个数为，再代入正整数，使的最小值为37，得，而第37次报时，3人总共报数为次，当第次报完数3人总的报数个数为，即报出的第2035个数字为，故报出的第2020个数字为.本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，主要考查了学生的观察分析能力，逻辑推理能力.   

9．AC   10．BCD   11．BC   12．ABD

13．  14．3  15．8  16．           依题意，，则，两式相减，可得，所以为等差数列，由，得，又，解得，

所以，则，所以.令，，当时，，数列单调递减，

而，，，故．故答案为：．

17．（1）设双曲线C的方程为由已知得：，解得，，.双曲线C的方程为，渐近线方程为：．

（2）不妨设点P在双曲线的右支上，则由可知在中，，∴

所以的面积.

18．（1）由题易知.当时，由已知得，

∴，∴，∴当时，数列是等差数列.

设的公差为.又∵，，∴，，，

∴，∴.       （2）由（1）可得.

∴数列的前项和，①

.②

②①可得

.

19．（1）点在圆上，代入圆的方程，解得，，

故直线的斜率.因此直线的方程为.

即，而圆心到直线的距离，

所以.

（2），当最小时，最小，又知当时，最小，由题得过且与直线垂直的直线方程为，    （3），题目所求即为直线的斜率的最值，且当直线为圆的切线时，斜率取最值.设直线的方程为，即.当直线与圆相切时，圆心到直线的距.

两边平方，即，解得，或.

所以的最大值和最小值分别为和.

20．解：(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.

由于数列{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上可知，数列{an}的通项公式an＝2n.

(2)证明：由于an＝2n，bn＝，则bn＝

＝.Tn＝＝<＝.（能看懂）.

21．解：（Ⅰ）因为，，所以，所以.取的中点，连接，，所以，，

又,所以平面.又平面，所以.

（Ⅱ）在中，根据余弦定理得，所以，

又因为，所以，，所以，即.

又因为，，，平面，所以平面.

如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，.设平面的法向量为，则即令，则，，

所以.设与平面所成角为，，所以与平面所成角的正弦值为.

22．（1）由短轴的一个端点与两个焦点的连线互相垂直且焦距为，易得：，，即椭圆的方程为.（2）因为，所以，即为的中点，方法一：根据椭圆的方程，有，设，则，∴①，②，得，解得，(舍去)，把代入①，得，有.

因此，直线的方程为，即或.

方法二： 设直线的方程为，由，得，∴，解得，∴，，

代入，得，化简得，即，解得，

所以，直线的方程为，即或.