期末复习模拟六（选择性必修一、选择性必修第二册数列）（含答案）

高二期末模拟试题六 高二数学期末模拟六

范围(选择性必修一 +  数列)

一、单选题

1．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．已知等差数列的公差为正数，且，，则为（    ）

A． B． C．90 D．

3．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（    ）．

A． B． C． D．

4．已知、两点，则直线与空间直角坐标系中的平面的交点坐标为（    ）

A． B． C． D．

5．已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（    ）

A． B．

C． D．

6．已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为（     ）

A． B． C． D．

7．已知数列的前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于、两点，若是等腰三角形，且．则的周长为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（多选题）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（    ）

A． B．是等比数列

C． D．

10．记数列{an}的前n项和为Sn，若存在实数H，使得对任意的n∈N+，都有<H，则称数列{an}为“和有界数列”.下列说法正确的是（    ）

A．若{an}是等差数列，且公差d=0，则{an}是“和有界数列”

B．若{an}是等差数列，且{an}是“和有界数列”，则公差d=0

C．若{an}是等比数列，且公比<l，则{an}是“和有界数列”

D．若{an}是等比数列，且{an}是“和有界数列”，则{an}的公比<l

11．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ）

A．

B．

C．

D．若，，则

12．已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（    ）

A．C的焦距为 B．C的离心率为

C．圆D在C的内部 D．的最小值为

第II卷（非选择题）

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三、填空题

13．已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为______．

14．一条光线从点射出，经x轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为________.

15．如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是______．

16．已知数列与前项和分别为，，且，，，，对任意的，恒成立，则的取值范围是______.

四、解答题

17．已知直线.

（1）若直线过点，且，求直线的方程；

（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.

18．已知圆和

(1)求证：圆和圆相交；

(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．

19．记为等差数列的前项和．已知．

（1）若，求的通项公式；

（2）若，求使得的的取值范围．

20．设等比数列的公比为，是的前项和，已知，，成等差数列，且，．

(1)求的通项公式；

(2)记数列的前项和为，若成立，求．

21．如图，在长方体中，，，点在线段上．

（1）求异面直线与所成的角；

（2）若二面角的大小为，求点到平面的距离．

22．已知椭圆的离心率为，且椭圆的右顶点到直线的距离为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值为坐标原点）．

参考答案

1．C

【详解】

直线方程变形得：.

由得，∴直线恒过点，

，，

由图可知直线的斜率的取值范围为：或，

又，

∴或，即或，

又时直线的方程为，仍与线段相交，

∴的取值范围为.

故选：C.

2．D

解：由等差数列的公差为正数可得等差数列为递增数列，

，

，与联立，由于公差为正数，∴解方程组可得，

，，

.

故选：D.

【点睛】

本题考查等差数列性质的应用，考查等差数列基本量的计算及前项和的计算，是基础题.

3．C

【详解】

如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，

为的重心，可得，

而，

，

所以，，

所以，，因此，.

故选：C.

4．B

解：设直线与平面的交点为，

（方法一）∵、、三点共线，则，

∵、，

∴，，

则，解得，

则，

（方法二）∵、、三点共线，则，

则，

则，解得，

则，

故选：B．

5．B

【详解】

圆心在上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；

验证：A中圆心到两直线的距离是；

圆心到直线的距离是．故A错误．

故选：B．

6．B

【解析】

过点倾斜角为的直线方程为：，即，

则圆心到直线的距离：，

由弦长公式可得：，

整理可得：

则：.

本题选择B选项.

7．B

【详解】因为，所以，

即，且，

所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列，

所以，

故选：B.

8．A

【详解】双曲线的焦点在轴上，则；
设，由双曲线的定义可知：，
由题意可得：，
据此可得：，又 ，∴，
由正弦定理有:,即

所以，解得：，

所以的周长为：

=

故选：A

9．BD

【详解】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，，

由题意可得，解得，

，

，（非零常数），

则数列是等比数列，选项正确；

，，，选项错误；

，，选项错误；

，，

所以，，选项正确.

故选：BD

10．BC

【详解】是等差数列，公差为，则，

A．，则，若，则时，，{an}不是“和有界数列”，A错；

B．若{an}是“和有界数列”，则由知，即，B正确；

C．{an}是等比数列，公比是，则，若，则时，，根据极限的定义，一定存在，使得，对于任意成立，C正确；

D．若，，则，∴，{an}是“和有界数列”，D错．   故选：BC．

11．BD

解：对于A：，，

故不会恒成立；

对于B，，，故恒成立；

对于C，若，且，，

，

显然不会恒成立；

对于D，，，

即有

.

则恒成立.

故选：BD.

12．BC

【详解】

由可知，，则焦距，离心率；

设，圆心，半径为，

则，故圆D在C的内部；

当取最小值时，的最小值为，

综上所述，选项BC正确，

故选：BC

13．

【详解】

由题意可知，直线的斜率存在且不为零，

可设直线的方程为，即.

在直线的方程中，令，可得；令，可得.

即点、，由题意可得，解得，

的面积为，

当且仅当时，即当时，等号成立，

所以，直线的方程为，即.

故答案为：.

14．或

【详解】点关于轴的对称点为，则反射光线过点，

设反射光线所在直线为，即，

圆心到直线距离，解得：或，

反射光线所在直线的斜率为或.

故答案为：或.

15．

【详解】由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度.

如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则点、、、，

所以，，，，

设向量满足，，

由题意可得，解得，取，则，，

可得，

因此，.

故答案为：.

16．

【详解】

因为，

所以当时，，

两式相减得: ，

整理得，，

由 知，，

从而，

即当时，，

当时，，解得或（舍），

则首项为1，公差为1的等差数列，

则.

所以，

则

所以.

故答案为：.

17．【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.

因为，所以直线的斜率为.

因为直线过点，所以直线的方程为，即.

（2）因为直线与直线之间的距离为，所以可设直线的方程为，

所以，解得或.

故直线的方程为或.

18．【详解】(1)圆的圆心，半径，

圆的圆心，半径

两圆圆心距

所以，圆和相交；

(2)圆和圆的方程相减，得，

所以两圆的公共弦所在直线的方程为，

圆心到直线的距离为：

故公共弦长为

19．【详解】（1）设的公差为．

由得：，，解得：，

；

（2）由（1）知：，即，，又，，

，，

由得：，由得：，

解得：，又，的取值范围为.

20．【详解】因为，，成等差数列，

所以，即，①

由可得，即，②

联立①②及解得，，

所以．

(2)由(1)知，

所以，

，

两式相减得

所以，所以．

又因为，

所以可化为，即，

可变形为，整理得，解得．

21．【详解】分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

（1）由，得，

设，又，则，

，，则异面直线与所成的角为；

（2）平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，设点，其中，则，

，，

由，令，则，，，

，，解得，

所以，平面的一个法向量为，

又，所以，点到平面的距离．

22．【详解】（1）由椭圆的方程可得右顶点，所以右顶点到直线的距离为，可得：，

由离心率，可得，所以，

所以椭圆的方程为：；

（2）由题意显然直线的斜率不为0，设直线的方程为：，设，，，，

联立直线与椭圆的方程可得：，整理可得：，，

所以，

设，

取等号时，，即斜率不存在，

这时，

当，，则，

所以

令，，则恒成立，

所以在单调递增，无最小值，也无最大值，

所以无最大值，

综上所述当且仅当，即时，所以面积的最大值为2．