期末复习模拟七（选择性必修一、选择性必修第二册数列）（含答案）

 高二数学期末复习模拟七

范围(选择性必修一 +选择性必修二数列)

一、单选题(共40分)

1．若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（    ）

A． B． C． D．

2．等差数列中，已知，，则公差等于(    )

A．3 B．-6 C．4 D．-3

3．如果，，那么直线不通过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是 (　 　)

A．(1,2,3)           B．(－1，－2,3)       C．(－1,2，－3)      D．(1，－2，－3)

5．平面的一个法向量，在内，则到的距离为（    ）

A．10 B．3 C． D．

6．已知直线，动直线 ，则下列结论中正确的是（    ）

①存在，使得的倾斜角为90°

②对任意的，与都有公共点

③对任意的，与都不重合

④对任意的，与都不垂直

A．①②④           B．①③            C．①②③          D．②④

7．在正方体中，是底面的中心，是棱上的点，且，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（    ）

A． B． C． D．

8．为等差数列的前项和，且，．记，其中表示不超过的最大整数，如，．数列的前项和为（     ）

A． B． C． D．

二、多选题(共20分)

9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ）

A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则

B．直线的方向向量，平面的法向量是，则

C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则

D．直线的方向向量，平面的法向量是，则

10．已知等比数列中，满足，公比q＝﹣2，则（    ）

A．数列是等比数列 B．数列是等比数列

C．数列是等比数列 D．数列是递减数列

11．已知分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则（    ）

A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为

C． D．直线与双曲线有两个公共点

12．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线就是其中之一.曲线C对应的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A．直线AB的方程为：；

B．曲线C与圆有2个交点；

C．曲线C所围成的“心形”区域的面积大于12；

D．曲线C恰好经过4个整点(即横､纵坐标均为整数的点).

三、填空题(共20分)

13．已知平行六面体，所有棱长都等于l，,则的长__________

14．已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________．

15．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆都相切，则双曲线C的离心率是_________；

16．数列的前项和为，定义的“优值”为，现已知的“优值”，则___________，___________．

四、解答题(共70分)

17．已知数列是公差不为0的等差数列,首项,且成等比数列.

(1)求数列的通项公式.  

 (2)设数列满足求数列的前项和为.

18．已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为.

（1）求圆C的方程；

（2）若直线l过原点且垂直于直线，直线l交圆C于M，N，求的面积.

19．平面上动点到点的距离比它到直线的距离小1

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若过点的直线与交于两点，若的面积为，求直线的方程.

20．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，为数列的前项和，求证：．

21．在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点，在线段上，且满足.

（1）求证：平面；

（2）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

22．已知平面上的动点及两定点，，直线，的斜率分别是，且.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设直线与曲线C交于不同的两点M，N.

①若（O为坐标原点），证明点O到直线的距离为定值，并求出这个定值.

②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点.

参考答案

1．【答案】D【解析】依题意，设抛物线的标准方程为，又，所以，故抛物线的标准方程为.故选：D

2．【答案】B【解析】由等差数列的性质，得，所以.故选：B.

3．【答案】B【解析】把直线化为．因为，，

假设，则，．所以，，则直线不通过第二象限．

假设，则，．所以，，则直线不通过第二象限．故选：．

4．【答案】B【解析】点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是(－1，－2,3)，故选B．

5．【答案】D【解析】，则点到平面的距离.故选：D

6．【答案】A【解析】对于动直线，当时，斜率不存在，倾斜角为，故①正确；

由方程组可得，对任意的，此方程有解，可得与有交点，故②正确；

因为当时，成立，此与重合，故③错误；

由于直线的斜率为1，动直线l2的斜率为，故对任意的，与都不垂直，故④正确．故选：A.

7．【答案】C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为4，则，，，＝＝，

平面的法向量，∴＝，

∴＝，

，，设平面的法向量，则，取，得，

＝，∵，∴.故选：C.

8．【答案】D【解析】为等差数列的前项和，且，，．

可得，则公差．，

，则，，，

．数列的前项和为：．故选：．

9．【答案】AC【解析】对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，,且，所以，选项正确；

对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是且

，所以或，选项错误；

对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且

，所以，选项C正确；

对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，

所以，选项D错误.故选：AC

10．【答案】BC【解析】因为是等比数列，所以，，故A错；，，于是，故是等比数列，故B正确；，故C正确；，是递增数列，故D错。故选:BC.

11．【答案】ABD【解析】A．因为，，所以，，

又因为，所以，

所以，所以，所以，故结论正确；

B．，所以，所以，所以渐近线方程为，故结论正确；

C．因为，所以，所以，

又因为，所以，所以，所以结论不成立；

D．因为，所以，所以，

所以，

所以直线与双曲线有两个公共点，所以结论正确.  故选：ABD.

12．【答案】B C【解析】对于A，曲线，

令，则；令，则；所以点，，所以直线AB的方程为：即，故A错误；

对于B，由可得或，所以曲线C与圆有2个交点，，故B正确；

对于C，在曲线上取点，，，，顺次连接各点，如图，则，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于12，故C正确；

对于D，曲线经过的整点有：，，，有6个，故D错误.故答案为：BC.

13．【答案】【解析】因为平行六面体的棱长都为1，，

，所以的长为，故答案为.

14．【答案】【解析】由题意得直线与直线y＝kx＋b垂直，且线段A B的中点在直线y＝kx＋b上，故解得k＝－，b＝，所以直线方程为y＝－x＋.令y＝0，即－x＋＝0，解得x＝，故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为.  故答案为：.

15．【答案】【解析】设是圆的切线，则，解得，

即切线方程为，这也是双曲线的渐近线方程．

若双曲线为，则，，，∴．

若双曲线为，则，，，∴．

故答案为或2．

16．【答案】    【解析】由题意，

∴时，，

两式相减得：，，

又，满足，∴，．故答案为：；．

17．【解析】（1）设数列的公差为，由题设,得,即化简,得

又,所以,所以.

（2）由（1）得,   

18．【解析】（1）线段的中垂线方程为：，圆与x轴的交点分别为，则圆心在线段的中垂线上.由，得，∴圆心C为，

又半径，∴圆C的方程为.

（2）直线l垂直于直线，则，又直线l过原点，则直线l的方程为：，

所以点C到直线l的距离为：，，

.

19．【解析】（1）设点，由已知平面动点到点的距离等于它到直线距离，

点满足抛物线定义，点的轨迹为焦点在轴正半轴的抛物线，，

动点的轨迹的方程：

 （2）设直线方程为，代入抛物线的方程可得，

设，则，，

，

的面积为，到直线的距离为，

，

，

直线的方程

20． 【解析】（Ⅰ）当时，，即.

当时，，

又，

两式相减，得．

因为，所以．

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，即（）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，①

，②

①②，得

．所以．

21．【解析】（1）方法一：证明：取的中点，的中点，连接和，

∴且，∴，分别为，的中点.  且

∴且，四边形为平行四边形，

∴，平面，平面，

∴平面.

（1）方法二：由题意可得，，两两互相垂直，如果，以为原点，，，分别是，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，

设平面的法向量为，，

∴，令∴

又，∴，∴，平面，∴ 平面

（2）设点坐标为，则，，由得，∴

设，，∴

∴，∴

∵与平面所成角的余弦值是∴其正弦值为

∴，整理得：，解得：，（舍）

∴存在满足条件的点，，且

22．【解析】（1）根据题意可得，.

∵，∴，即.

∴动点的轨迹的方程为.

（2）设点，，联立，

化为，

则.

∴，.

∴.

①若，则. 

∴

∴，

化为，此时点到直线的距离.

②∵直线BM，BN的斜率都存在并满足，∴，

∴

∴，化为，即，解得或.

当时，直线恒过原点；

当时，直线恒过点，此时直线与曲线最多有一个公共点，不符合题意.

综上可知，直线恒过定点.