高中数学人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系教案

空间中的垂直关系

一. 教学内容：

空间中的垂直关系

二、教学目标

1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；

2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；

3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。

三、知识要点

1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：

①判定定理： .

② b⊥α, a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理）

③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）

④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，aβa⊥α（面面垂直性质定理）

3、直线与平面垂直的性质定理：

①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ a⊥α，b⊥α⇒a∥b）

②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）

4、点到平面的距离的定义： 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。

特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。

5、平面与平面垂直的定义及判定定理：

（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。

记作：平面α⊥平面β

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（简称：线面垂直，面面垂直）

6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。）

思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。

【典型例题】

例1、（1）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（ ）

A、m⊥n，m∥α，n∥β            B、m⊥n，α∩β=m，nα

C、m∥n，n⊥β，mα            D、m∥n，n⊥β，m⊥α

（2）设a、b是异面直线，给出下列命题：

①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；

②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；

③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；

④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。

其中错误的命题为（ ）

A、①与②      B、②与③        C、③与④           D、仅②

（3）已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，

甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；丁：m⊥β且n⊥α。这四个结论中，不正确的三个是（  ）

解：（1）对于A，平面α与β可以平行，也可以相交，但不垂直。

对B，平面α内直线n垂直于两个平面的交线m，直线n与平面β不一定垂直，平面α、β也不一定垂直。

对D，m⊥α，m∥n则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β。

只有C正确，m∥n，n⊥β则m⊥β又mα，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β。

故选C。

（2）①正确，过a上任一点作b的平行线b′，则ab′确定唯一平面。

②错误，假设成立则b⊥该平面，而a该平面，∴a⊥b，但a、b异面却不一定垂直。

③正确，分别过a、b上的任一点作b、a的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求。

④正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅②错误

选D

（3）丙正确。举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m（或n），在另一平面作交线的垂线n（或m）即可推翻甲、乙、丁三项。

思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。

例2、如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面ABCD。PA=a。

（1）求证：PC⊥CD。

（2）求点B到直线PC的距离。

（1）证明：取AD的中点E，连AC、CE，

则ABCE为正方形，ΔCED为等腰直角三角形，

 ∴AC⊥ CD，

∵PA⊥平面ABCD，

∴AC为PC在平面ABCD上的射影，

 ∴PC⊥CD 

（2）解：连BE，交AC于O，则BE⊥AC，

又BE⊥PA，AC∩PA= A，

∴ BE⊥平面PAC

过O作OH⊥PC于H，则BH⊥PC，

∵PA=a，AC=a,PC=a，

∴ OH=，

∵BO=a，

∴BH=即为所求。

例3、在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC 

（1）若D是BC的中点，求证  AD⊥CC1；

（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证  截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

（3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？

请你叙述判断理由。

命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。 

知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质。

错解分析：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出。

技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的

思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线。

（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC

∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，

∴AD⊥侧面BB1C1C

∴AD⊥CC1 

（2）证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N

∵AM=MA1，

∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，

∴A1C1=A1N=A1B1

∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，

∴C1N⊥侧面BB1C1C

∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C

∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C 

（3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，

下面证必要性。

过M作ME⊥BC1于E，

∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C

∴ME⊥侧面BB1C1C，

又∵AD⊥侧面BB1C1C 

∴ME∥AD，

∴M、E、D、A共面

∵AM∥侧面BB1C1C，

∴AM∥DE

∵CC1⊥AD，

∴DE∥CC1

∵D是BC的中点，

∴E是BC1的中点

∴AM=DE=AA1，

∴AM=MA1

即是截面的充要条件

例4、如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H 

（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由 

（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，

平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明  

（1）证明：∵AD//面EFGH,

面ACD∩面EFGH＝HG，AD面ACD

    ∴ AD//HG.

同理EF∥HG，

∴EFGH是平行四边形

∵A—BCD是正三棱锥，

∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，

∴DO⊥BC，

∴AD⊥BC，

∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形 

（2）作CP⊥AD于P点，连结BP，

∵AD⊥BC，

∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，

∴HG⊥面BCP，HG面EFGH  面BCP⊥面EFGH，

在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=AB=a,

∴AP=a 

例5、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。求证：

（1）A1B1⊥平面BB1C1C；

（2）A1C⊥BC1；

（3）DE⊥平面BB1C1C。

证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，

∴侧面与底面垂直，

即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，

又∵AB⊥BC，

∴A1B1⊥B1C1

从而A1B1⊥平面BB1C1C。

（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，

∴BC1⊥B1C，

而A1B1⊥平面BB1C1C，

∴ A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，

由三垂线定理得A1C⊥BC1

（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，

而D、E分别为所在侧面对角线的交点，

∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，

∴DE∥A1B1，

而由（1）知A1B1⊥平面BB1C1C，

∴DE⊥平面BB1C1C。

思维点拨：选择恰当的方法证明线面垂直。

本讲涉及的主要数学思想方法

1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的

定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。

2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化。

3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤。

4、在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加。在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直。解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直” “线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用。