数学必修21.2.3空间中的垂直关系导学案

这是一份数学必修21.2.3空间中的垂直关系导学案，共5页。学案主要包含了典型例题等内容，欢迎下载使用。

空间中的平行关系
课型
新课
主备人
上课教师
上课时间
45 分钟
学习目标
以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
教学重点
平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定。
教学难点
自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。
教师准备
多媒体教学
教学过程
集备修正
两个平面的位置关系
同平面内两条直线的位置关系相类似；可以从有无公共点来区分：
① 如果两个平面有不共线的三个公共点，那么由公理3可知：这两个平面必然重合；
② 如果两个平面有一个公共点，那么由公理2可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；
③ 如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行。
由此可知两个不重合的平面的位置关系：
（1）平行——没有公共点；
（2）相交——至少有一个公共点（或有一条公共直线）。

7. 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
已知：、，，∥，∥（如图所示）
求证：∥
证明：用反证法
假设
∥，，∥
同理有∥
由公理4知∥，这与相矛盾。
∥
注意：（1）此定理用符号表示为
（2）应用本定理的关键是：要证面面平行，转化为证线面平行，即在内找两条相交直线、都平行于。
（3）这个定理有推论：“若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。”
8. 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
已知：，平面，（如图所示）
求证：
证明：
没有公共点，而，，、没有公共点
又、，
注意：（1）本定理可作为线线平行的判定定理使用。
（2）面面平行的性质还有：
①
这条性质同时是线面平行的一种判定方法。
②夹在两平行平面间的两条平行线段相等。
③对三个平面
这是平面平行的传递性。
9. 两平面平行问题常常转化为线面平行，而线面平行又可以转化为线线平行。所以注意转化思想的应用，两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好。

【典型例题】
例1. 用符号表示下列语句，并画出图形。
（1）三个平面相交于一点P，且平面与平面交于PA，平面与平面交于PB，平面与平面交于PC。
（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC。
（3）直线a和b相交于平面内一点M。
解析：（1）符号语言表示：
，，
图形表示：如图①
（2）符号语言表示：
平面ABD平面BDC=BD，
平面ABC平面ADC=AC
图形表示：如图②
（3）符号语言表示：，。图形表示：（如下图中三个图）。
点评：理解数学符号的含义，学会并养成用符号语言和图形语言表示文字叙述语句的习惯，这在解题中会带来许多方便。

例2. 一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面。
解析：
已知：，，
求证：直线，，，共面。
方法一：，、确定一个平面
，
，，故
又，、确定一个平面，同理可证
且，
过两条相交直线、有且只有一个平面，故与重合
即直线，，，共面。
方法二：由方法一得，，共面，也就是说在、确定的平面内
同理可证在、确定的平面内
过和只能确定一个平面
，，，共面
点评：先将已知和求证改写成符号语言，要证明诸线共面，一种方法是先由、确定一个平面，由公理1证明、也在此平面内；另一种方法是先由、确定一个平面，、确定另一平面，再证两平面重合。
作业
板书
课后反思