高中数学人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系教学设计
展开空间中的垂直关系
一. 教学内容:
空间中的垂直关系
二、教学目标
1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理,并能运用它们进行论证和解决有关的问题;
2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理,并能运用它们进行推理论证和解决有关问题;
3、在研究垂直问题时,要善于应用“转化”和“降维”的思想,通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化,从而使问题获得解决。
三、知识要点
1、直线与平面垂直的定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么就称这条直线和这个平面垂直。
2、直线与平面垂直的判定:常用方法有:
①判定定理: .
② b⊥α, a∥ba⊥α;(线面垂直性质定理)
③α∥β,a⊥βa⊥α(面面平行性质定理)
④α⊥β,α∩β=l,a⊥l,aβa⊥α(面面垂直性质定理)
3、直线与平面垂直的性质定理:
①如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。( a⊥α,b⊥α⇒a∥b)
②直线和平面垂直时,那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线()
4、点到平面的距离的定义: 从平面外一点引这个平面的垂线,这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。
特别注意:点到面的距离可直接向面作垂线,但要考虑垂足的位置,如果垂足的位置不能确定,往往采取由点向面上某一条线作垂线,再证明此垂足即为面的垂足。
5、平面与平面垂直的定义及判定定理:
(1)定义:如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就说这两个平面互相垂直。
记作:平面α⊥平面β
(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
(简称:线面垂直,面面垂直)
6、两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。(简称:面面垂直,线面垂直。)
思维方式:判定两相交平面垂直的常用方法是:线面垂直,面面垂直;有时用定义也是一种办法。
【典型例题】
例1、(1)对于直线m、n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是( )
A、m⊥n,m∥α,n∥β B、m⊥n,α∩β=m,nα
C、m∥n,n⊥β,mα D、m∥n,n⊥β,m⊥α
(2)设a、b是异面直线,给出下列命题:
①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b;
②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b;
③存在分别经过直线a和b的两个平行平面;
④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。
其中错误的命题为( )
A、①与② B、②与③ C、③与④ D、仅②
(3)已知平面α⊥平面β,m是α内一条直线,n是β内一条直线,且m⊥n,那么,
甲:m⊥β;乙:n⊥α丙:m⊥β或n⊥α;丁:m⊥β且n⊥α。这四个结论中,不正确的三个是( )
解:(1)对于A,平面α与β可以平行,也可以相交,但不垂直。
对B,平面α内直线n垂直于两个平面的交线m,直线n与平面β不一定垂直,平面α、β也不一定垂直。
对D,m⊥α,m∥n则n⊥α,又n⊥β,所以α∥β。
只有C正确,m∥n,n⊥β则m⊥β又mα,由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β。
故选C。
(2)①正确,过a上任一点作b的平行线b′,则ab′确定唯一平面。
②错误,假设成立则b⊥该平面,而a该平面,∴a⊥b,但a、b异面却不一定垂直。
③正确,分别过a、b上的任一点作b、a的平行线,由各自相交直线所确定的平面即为所求。
④正确,换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式,综上所述:仅②错误
选D
(3)丙正确。举反例:在任一平面中作平行于交线的直线m(或n),在另一平面作交线的垂线n(或m)即可推翻甲、乙、丁三项。
思维点拨:解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。
例2、如图,ABCD 为直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥平面ABCD。PA=a。
(1)求证:PC⊥CD。
(2)求点B到直线PC的距离。
(1)证明:取AD的中点E,连AC、CE,
则ABCE为正方形,ΔCED为等腰直角三角形,
∴AC⊥ CD,
∵PA⊥平面ABCD,
∴AC为PC在平面ABCD上的射影,
∴PC⊥CD
(2)解:连BE,交AC于O,则BE⊥AC,
又BE⊥PA,AC∩PA= A,
∴ BE⊥平面PAC
过O作OH⊥PC于H,则BH⊥PC,
∵PA=a,AC=a,PC=a,
∴ OH=,
∵BO=a,
∴BH=即为所求。
例3、在斜三棱柱A1B1C1—ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面BB1C1C⊥底面ABC
(1)若D是BC的中点,求证 AD⊥CC1;
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证 截面MBC1⊥侧面BB1C1C;
(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗?
请你叙述判断理由。
命题意图:本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。
知识依托:线面垂直、面面垂直的判定与性质。
错解分析:(3)的结论在证必要性时,辅助线要重新作出。
技巧与方法:本题属于知识组合题类,关键在于对题目中条件的
思考与分析,掌握做此类题目的一般技巧与方法,以及如何巧妙地作辅助线。
(1)证明:∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC
∵底面ABC⊥侧面BB1C1C,
∴AD⊥侧面BB1C1C
∴AD⊥CC1
(2)证明:延长B1A1与BM交于N,连结C1N
∵AM=MA1,
∴NA1=A1B1
∵A1B1=A1C1,
∴A1C1=A1N=A1B1
∴C1N⊥C1B1
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C,
∴C1N⊥侧面BB1C1C
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C
(3)解:结论是肯定的,充分性已由(2)证明,
下面证必要性。
过M作ME⊥BC1于E,
∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C
∴ME⊥侧面BB1C1C,
又∵AD⊥侧面BB1C1C
∴ME∥AD,
∴M、E、D、A共面
∵AM∥侧面BB1C1C,
∴AM∥DE
∵CC1⊥AD,
∴DE∥CC1
∵D是BC的中点,
∴E是BC1的中点
∴AM=DE=AA1,
∴AM=MA1
即是截面的充要条件
例4、如图,在正三棱锥A—BCD中,∠BAC=30°,AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H
(1)判定四边形EFGH的形状,并说明理由
(2)设P是棱AD上的点,当AP为何值时,
平面PBC⊥平面EFGH,请给出证明
(1)证明:∵AD//面EFGH,
面ACD∩面EFGH=HG,AD面ACD
∴ AD//HG.
同理EF∥HG,
∴EFGH是平行四边形
∵A—BCD是正三棱锥,
∴A在底面上的射影O是△BCD的中心,
∴DO⊥BC,
∴AD⊥BC,
∴HG⊥EH,四边形EFGH是矩形
(2)作CP⊥AD于P点,连结BP,
∵AD⊥BC,
∴AD⊥面BCP
∵HG∥AD,
∴HG⊥面BCP,HG面EFGH 面BCP⊥面EFGH,
在Rt△APC中,∠CAP=30°,AC=AB=a,
∴AP=a
例5、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ΔABC是直角三角形,∠ABC=90°,2AB=BC=BB1=a,且A1C∩AC1=D,BC1∩B1C=E,截面ABC1与截面A1B1C交于DE。求证:
(1)A1B1⊥平面BB1C1C;
(2)A1C⊥BC1;
(3)DE⊥平面BB1C1C。
证明:(1)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
∴侧面与底面垂直,
即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C,
又∵AB⊥BC,
∴A1B1⊥B1C1
从而A1B1⊥平面BB1C1C。
(2)由题设可知四边形BB1C1C为正方形,
∴BC1⊥B1C,
而A1B1⊥平面BB1C1C,
∴ A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C,
由三垂线定理得A1C⊥BC1
(3)∵直三棱柱的侧面均为矩形,
而D、E分别为所在侧面对角线的交点,
∴D为A1C的中点,E为B1C的中点,
∴DE∥A1B1,
而由(1)知A1B1⊥平面BB1C1C,
∴DE⊥平面BB1C1C。
思维点拨:选择恰当的方法证明线面垂直。
本讲涉及的主要数学思想方法
1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况,应熟练掌握直线与平面垂直的
定义、判定定理、性质定理,并能依据条件灵活运用。
2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化。
3、距离离不开垂直,因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系(平行与垂直)与解三角形的过程,值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤。
4、在证明两平面垂直时,一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线;若没有这样的直线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明,不能随意添加。在有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直。解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”,“面面垂直”间的转化条件和转化应用。
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