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    高中数学人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系教学设计

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    这是一份高中数学人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系教学设计,共6页。教案主要包含了教学目标,知识要点等内容,欢迎下载使用。

    空间中的垂直关系

    . 教学内容:

    空间中的垂直关系

    二、学目标

    1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理,并能运用它们进行论证和解决有关的问题;

    2掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理,并能运用它们进行推理论证和解决有关问题;

    3、在研究垂直问题时,要善于应用转化降维的思想,通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化,从而使问题获得解决。

     

    三、知识要点

    1、直线与平面垂直的定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么就称这条直线和这个平面垂直。

    2、直线与平面垂直的判定:常用方法有:

    判定定理 .

    bα, abaα(线面垂直性质定理)

    αβ,aβaα(面面平行性质定理)

    αβα∩β=lalaβaα(面面垂直性质定理)

    3、直线与平面垂直的性质定理:

    如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。( aαbαab

    直线和平面垂直时,那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线(

    4、点到平面的距离的定义: 从平面外一点引这个平面的垂线,这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。

    特别注意:点到面的距离可直接向面作垂线,但要考虑垂足的位置,如果垂足的位置不能确定,往往采取由点向面上某一条线作垂线,再证明此垂足即为面的垂足。

    5、平面与平面垂直的定义及判定定理:

    1)定义:如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就说这两个平面互相垂直。

    记作:平面α平面β

    2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

    (简称:线面垂直,面面垂直)

    6、两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。(简称:面面垂直,线面垂直。)

    思维方式:判定两相交平面垂直的常用方法是线面垂直,面面垂直;有时用定义也是一种办法。

     

    【典型例题】

    1、(1)对于直线mn和平面αβαβ的一个充分条件是(

    Amnmαnβ            Bmnα∩β=mnα

    Cmnnβmα            Dmnnβmα

    2)设ab是异面直线,给出下列命题:

    经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b

    经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b

    存在分别经过直线ab的两个平行平面;

    存在分别经过直线ab的两个平面互相垂直。

    其中错误的命题为(

    A       B        C           D、仅

    3)已知平面α平面βmα内一条直线,nβ内一条直线,且mn,那么,

    甲:mβ;乙:nα丙:mβnα;丁:mβnα。这四个结论中,不正确的三个是( 

    解:1)对于A,平面αβ可以平行,也可以相交,但不垂直。

    B,平面α内直线n垂直于两个平面的交线m,直线n与平面β不一定垂直,平面αβ也不一定垂直。

    Dmαmnnα,又nβ,所以αβ

    只有C正确,mnnβmβmα,由平面与平面垂直的判定定理得αβ

    故选C

    2正确,过a上任一点作b的平行线b′,则ab′确定唯一平面。

    错误,假设成立则b该平面,而a该平面,ab,但ab异面却不一定垂直。

    正确,分别过ab上的任一点作ba的平行线,由各自相交直线所确定的平面即为所求。

    正确,换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式,综上所述:仅错误

    D

    3)丙正确。举反例:在任一平面中作平行于交线的直线m(或n),在另一平面作交线的垂线n(或m)即可推翻甲、乙、丁三项。

    思维点拨:解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。

     

    2、如图,ABCD 为直角梯形,DAB=ABC=90°AB=BC=aAD=2aPA平面ABCDPA=a

    1)求证:PCCD

    2)求点B到直线PC的距离。

    1证明:AD的中点E,连ACCE

    ABCE为正方形,ΔCED为等腰直角三角形,

     AC CD

    PA平面ABCD

    ACPC在平面ABCD上的射影,

     PCCD 

    2解:BE,交ACO,则BEAC

    BEPAAC∩PA= A

    BE平面PAC

    OOHPCH,则BHPC

    PA=aAC=a,PC=a

    OH=

    BO=a

    BH=即为所求。

     

    3、在斜三棱柱A1B1C1ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面BB1C1C底面ABC 

    1)若DBC的中点,求证  ADCC1

    2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证  截面MBC1侧面BB1C1C

    3AM=MA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要条件吗?

    请你叙述判断理由。

    命题意图:本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。 

    知识依托:线面垂直、面面垂直的判定与性质。

    错解分析:3)的结论在证必要性时,辅助线要重新作出。

    技巧与方法:本题属于知识组合题类,关键在于对题目中条件的

    思考与分析,掌握做此类题目的一般技巧与方法,以及如何巧妙地作辅助线。

    1)证明:AB=ACDBC的中点,

    ADBC

    底面ABC侧面BB1C1C

    AD侧面BB1C1C

    ADCC1 

    2)证明:延长B1A1BM交于N,连结C1N

    AM=MA1

    NA1=A1B1

    A1B1=A1C1

    A1C1=A1N=A1B1

    C1NC1B1

    底面NB1C1侧面BB1C1C

    C1N侧面BB1C1C

    截面C1NB侧面BB1C1C

    截面MBC1侧面BB1C1C 

    3解:结论是肯定的,充分性已由(2)证明,

    下面证必要性。

    MMEBC1E

    截面MBC1侧面BB1C1C

    ME侧面BB1C1C

    AD侧面BB1C1C 

    MEAD

    MEDA共面

    AM侧面BB1C1C

    AMDE

    CC1AD

    DECC1

    DBC的中点,

    EBC1的中点

    AM=DE=AA1

    AM=MA1

    是截面的充要条件

     

    4、如图,在正三棱锥ABCD中,BAC=30°AB=a,平行于ADBC的截面EFGH分别交ABBDDCCA于点EFGH 

    1)判定四边形EFGH的形状,并说明理由 

    2)设P是棱AD上的点,当AP为何值时,

    平面PBC平面EFGH,请给出证明  

     

    1证明:AD//EFGH,

    ACD∩EFGHHGADACD

        AD//HG.

    同理EFHG

    EFGH是平行四边形

    ABCD是正三棱锥,

    A在底面上的射影OBCD的中心,

    DOBC

    ADBC

    HGEH,四边形EFGH是矩形 

    2)作CPADP点,连结BP

    ADBC

    ADBCP

    HGAD

    HGBCPHGEFGH  BCPEFGH

    RtAPC中,CAP=30°AC=AB=a,

    AP=a 

    5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ΔABC是直角三角形,ABC=90°2AB=BC=BB1=a,且A1C∩AC1=DBC1∩B1C=E,截面ABC1与截面A1B1C交于DE。求证:

    1A1B1平面BB1C1C

    2A1CBC1

    3DE平面BB1C1C

    证明:1三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,

    侧面与底面垂直,

    即平面A1B1C1平面BB1C1C

    ABBC

    A1B1B1C1

    从而A1B1平面BB1C1C

    2)由题设可知四边形BB1C1C为正方形,

    BC1B1C

    A1B1平面BB1C1C

    A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C

    由三垂线定理得A1CBC1

    3直三棱柱的侧面均为矩形,

    DE分别为所在侧面对角线的交点,

    DA1C的中点,EB1C的中点,

    DEA1B1

    而由(1)知A1B1平面BB1C1C

    DE平面BB1C1C

    思维点拨:选择恰当的方法证明线面垂直。

    本讲涉及的主要数学思想方法

    1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况,应熟练掌握直线与平面垂直的

    定义、判定定理、性质定理,并能依据条件灵活运用。

    2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化。

    3、距离离不开垂直,因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系(平行与垂直)与解三角形的过程,值得注意的是作、证、算、答是立体几何计算题不可缺少的步骤。

    4、在证明两平面垂直时,一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线;若没有这样的直线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明,不能随意添加。在有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直。解决这类问题的关键是熟练掌握线线垂直”“线面垂直面面垂直间的转化条件和转化应用。

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