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高中数学人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系学案
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这是一份高中数学人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系学案，共23页。PPT课件主要包含了一平行直线，公理4的符号表述为，等角定理，所以AC∥A1C1，练习题等内容，欢迎下载使用。
1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
2. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.
3. 公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行，此性质又叫做空间平行线的传递性.
公理4反映了两条直线的位置关系.公理4主要用来证明两条直线平行，它是证明两直线平行的重要依据.
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
已知：如图所示，∠BAC和∠B1A1C1的边AB//A1B1，AC//A1C1，且射线AB与A1B1同向，射线AC与A1C1同向，
求证：∠BAC=∠B1A1C1.
证明：对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形，在初中几何中已经证明，
下面证明两个角不在同一平面内的情形。
分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1的两边上截取线段AD=A1D1和AE=A1E1.
所以DD1E1E是平行四边形。
在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1，AE=A1E1，DE=D1E1，
于是△ADE≌△A1D1E1，
所以∠BAC=∠B1A1C1.
5. 空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形；（2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；（3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；（4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
6． 异面直线所成的角：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线a’//a，b’//b，由于a’、b’所成的角的大小与点O的选择无关，我们就把a’与b’所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角.
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。
异面直线a与b垂直也记作a⊥b
异面直线所成角θ的取值范围：
空间两条直线的位置关系有三种：
例1.已知：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：在△ABD中，因为E，H分别是AB，AD的中点，所以
所以EH//FG，EH=FG，
所以四边形EFGH是平行四边形。
例2．如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB , BC 的中点，求证：EF∥A1C1.
证明:连结AC.在△ABC中, E, F分别是AB, BC 的中点.所以 EF ∥ AC
又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1
所以 AA1∥CC1 且 AA1∥CC1
即四边形AA1C1C是平行四边形
从而 EF∥A1C1.
例3. 如图,已知E,E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD, A1D1的中点.求证：∠C1E1B1 = ∠CEB.
分析：设法证明E1C1∥EC, E1B1∥EB.
(1) 下列结论正确的是（ ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
(2) 下面三个命题, 其中正确的个数是（ ）①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形A. 1个B. 2个C. 3个D. 一个也不正确
(4)若空间四边形的对角线相等,则以它的四条边的中点为顶点的四边形是（ ）A.空间四边形B.菱形C.正方形D.梯形
(3).空间两个角α、β, α与β的两边对应平行, 且α＝600, 则β等（ ）A. 60°B. 120°C. 30°D. 60°或120°
5. 设AA1是正方体的一条棱，这个正方体中与AA1 平行的棱共有＿＿＿条．
7.如图，已知 AA1, BB1, CC1 ,不共面且AA1∥BB1, BB1∥CC1 ,AA1=BB1, BB1= CC1.求证：△ABC ≌ △A1B1C1.
1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
2. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.
3. 公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行，此性质又叫做空间平行线的传递性.
公理4反映了两条直线的位置关系.公理4主要用来证明两条直线平行，它是证明两直线平行的重要依据.
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
已知：如图所示，∠BAC和∠B1A1C1的边AB//A1B1，AC//A1C1，且射线AB与A1B1同向，射线AC与A1C1同向，
求证：∠BAC=∠B1A1C1.
证明：对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形，在初中几何中已经证明，
下面证明两个角不在同一平面内的情形。
分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1的两边上截取线段AD=A1D1和AE=A1E1.
所以DD1E1E是平行四边形。
在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1，AE=A1E1，DE=D1E1，
于是△ADE≌△A1D1E1，
所以∠BAC=∠B1A1C1.
5. 空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形；（2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；（3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；（4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
6． 异面直线所成的角：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线a’//a，b’//b，由于a’、b’所成的角的大小与点O的选择无关，我们就把a’与b’所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角.
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。
异面直线a与b垂直也记作a⊥b
异面直线所成角θ的取值范围：
空间两条直线的位置关系有三种：
例1.已知：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：在△ABD中，因为E，H分别是AB，AD的中点，所以
所以EH//FG，EH=FG，
所以四边形EFGH是平行四边形。
例2．如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB , BC 的中点，求证：EF∥A1C1.
证明:连结AC.在△ABC中, E, F分别是AB, BC 的中点.所以 EF ∥ AC
又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1
所以 AA1∥CC1 且 AA1∥CC1
即四边形AA1C1C是平行四边形
从而 EF∥A1C1.
例3. 如图,已知E,E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD, A1D1的中点.求证：∠C1E1B1 = ∠CEB.
分析：设法证明E1C1∥EC, E1B1∥EB.
(1) 下列结论正确的是（ ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
(2) 下面三个命题, 其中正确的个数是（ ）①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形A. 1个B. 2个C. 3个D. 一个也不正确
(4)若空间四边形的对角线相等,则以它的四条边的中点为顶点的四边形是（ ）A.空间四边形B.菱形C.正方形D.梯形
(3).空间两个角α、β, α与β的两边对应平行, 且α＝600, 则β等（ ）A. 60°B. 120°C. 30°D. 60°或120°
5. 设AA1是正方体的一条棱，这个正方体中与AA1 平行的棱共有＿＿＿条．
7.如图，已知 AA1, BB1, CC1 ,不共面且AA1∥BB1, BB1∥CC1 ,AA1=BB1, BB1= CC1.求证：△ABC ≌ △A1B1C1.
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