高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列教案设计

等比数列·例题解析

【例1】  已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．

[    ]

A．是等比数列

B．当p≠0时是等比数列

C．当p≠0，p≠1时是等比数列

D．不是等比数列

分析  由Sn＝pn(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时，

an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝(p－1)pn-1

但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D．

说明  数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N*)，还要注

【例2】  已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．

解  ∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q

∴2＝1·q2n+1

x1x2x3…x2n＝q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n

式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

∴a4＝2

【例4】  已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求

证明  设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aqn+1

【例5】   设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．

证法一  ∵a、b、c、d成等比数列

∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc

∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2

=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)

＝a2－2ad＋d2

＝(a－d)2＝右边

证毕．

证法二  ∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：

b＝aq，c＝aq2，d=aq3

∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2

＝a2－2a2q3＋a2q6

=(a－aq3)2

＝(a－d)2=右边

证毕．

说明  这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．

【例6】  求数列的通项公式：

(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2

(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0

思路：转化为等比数列．

∴{an＋1}是等比数列

∴an＋1=3·3n-1  ∴an=3n－1

∴{an+1－an}是等比数列，即

an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1

再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，an－an-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到

说明  解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{an＋1}是等比数列，(2)中发现{an+1－an}是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．

证  ∵a1、a2、a3、a4均为不为零的实数

∴上述方程的判别式Δ≥0，即

又∵a1、a2、a3为实数

因而a1、a2、a3成等比数列

∴a4即为等比数列a1、a2、a3的公比．

【例8】  若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．

解  设a、b、c分别为b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d与b－d、b、b＋d＋2都成等比数列，有

整理，得

∴b＋d=2b－2d  即b=3d

代入①，得

9d2=(3d－d＋1)(3d＋d)

9d2=(2d＋1)·4d

解之，得d=4或d=0(舍)

∴b=12

【例9】  已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d≠1，且a4=b4，a10=b10：

(1)求a1与d的值；

(2)b16是不是{an}中的项？

思路：运用通项公式列方程

(2)∵b16=b1·d15=－32b1

∴b16=－32b1=－32a1，如果b16是{an}中的第k项，则

－32a1=a1＋(k－1)d

∴(k－1)d=－33a1=33d

∴k=34即b16是{an}中的第34项．

解  设等差数列{an}的公差为d，则an=a1＋(n－1)d

解这个方程组，得

∴a1=－1，d=2或a1=3，d=－2

∴当a1=－1，d=2时，an=a1＋(n－1)d=2n－3

当a1=3，d=2时，an=a1＋(n－1)d=5－2n

【例11】  三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．

解法一  按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2

由已知：a，aq＋4，aq2成等差数列

即：2(aq＋4)=a＋aq2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

a，aq＋4，aq2＋32成等比数列

即：(aq＋4)2=a(aq2＋32)

解法二  按等差数列设三个数，设原数列为b－d，b－4，b＋d

由已知：三个数成等比数列

即：(b－4)2=(b－d)(b＋d)

b－d，b，b＋d＋32成等比数列

即b2=(b－d)(b＋d＋32)

解法三  任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3

由已知：a1，a2，a3成等比数列

a1，a2＋4，a3成等差数列

得：2(a2＋4)=a1＋a3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

a1，a2＋4，a3＋32成等比数列

得：(a2＋4)2=a1(a3＋32) 　　　　　　　　　　　　　　　　③

说明  将三个成等差数列的数设为a－d，a，a＋d；将三个成

简化计算过程的作用．

【例12】  有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

分析  本题有三种设未知数的方法

方法一  设前三个数为a－d，a，a＋d，则第四个数由已知条

方法二  设后三个数为b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为2b－bq．

方法三  设第一个数与第二个数分别为x，y，则第三、第四个数依次为12－y，16－x．

由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，

所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．

解法二  设后三个数为：b，bq，bq2，则第一个数为：2b－bq

所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．

解法三  设四个数依次为x，y，12－y，16－x．

这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．

【例13】  已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．

解  设成等差数列的三个数为b－d，b，b＋d，由已知，b－d＋b＋b＋d=126

∴b=42

这三个数可写成42－d，42，42＋d．

再设另三个数为a，aq，aq2．由题设，得

解这个方程组，得

a1=17或a2=68

当a=17时，q=2，d=－26

从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．

【例14】  已知在数列{an}中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列．

证明  由已知，有

2a2=a1＋a3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

即  a3(a3＋a5)=a5(a1＋a3)

所以a1、a3、a5成等比数列．

【例15】  已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz=0．

(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列．

(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．

证明  (1)∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0

∴b－c=a－b=－d，c－a=2d

代入已知条件，得：－d(logmx－2logmy＋logmz)=0

∴logmx＋logmz=2logmy

∴y2=xz

∵x，y，z均为正数

∴x，y，z成等比数列

(2)∵x，y，z成等比数列且公比q≠1

∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：

(b－c)logmx＋(c－a)logmxq＋(a－b)logmxq2=0

变形、整理得：(c＋a－2b)logmq=0

∵q≠1  ∴logmq≠0

∴c＋a－2b=0  即2b=a＋c

即a，b，c成等差数列

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