苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.1 指数函数3.1.2 指数函数教案

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第18课时  指数函数（一）教学目标：使学生理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。教学重点：指数函数的概念、图象、性质教学难点：指数函数的图象、性质教学过程：教学目标(一)教学知识点1.指数函数.2.指数函数的图象、性质.(二)能力训练要求1.理解指数函数的概念.2.掌握指数函数的图象、性质.3.培养学生实际应用函数的能力.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的普遍联系与相互转化.2.用联系的观点看问题.3.了解数学知识在生产生活实际中的应用.●教学重点指数函数的图象、性质.●教学难点指数函数的图象性质与底数a的关系.●教学方法学导式引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数的概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数的性质，而且是分a＞1与0＜a＜1两种情形.●教具准备幻灯片三张第一张：指数函数的图象与性质(记作§2.6.1 A)第二张：例1  (记作§2.6.1 B）第三张：例2  (记作§2.6.1 C）●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］前面几节课，我们一起学习了指数的有关概念和幂的运算性质.这些知识都是为我们学习指数函数打基础.现在大家来看下面的问题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是y=2x这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量x作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量.下面，我们给出指数函数的定义.Ⅱ.讲授新课1.指数函数定义 一般地，函数y=ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R.［师］现在研究指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质，先来研究a＞1的情形.例如，我们来画y=2x的图象列出x,y的对应值表，用描点法画出图象：x…－3－2－1.5－1－0.50y=2x…0.130.250.350.50.711x0.511.523… y=2x1.422.848… 再来研究0＜a＜1的情况，例如，我们来画y=2-x的图象.可得x,y的对应值，用描点法画出图象.也可根据y=2-x的图象与y=2x的图象关于y轴对称，由y=2x的图象对称得到y=2-x即y=()x的图象.我们观察y=2x以及y=2-x的图象特征，就可以得到y=ax(a＞1)以及y=ax(0＜a＜1)的图象和性质.2.指数函数的图象和性质 a＞10＜a＜1图  象 性  质(1)定义域：R                (2)值域：(0，+∞)      (3)过点(0，1)，即x=0时，y=1     (4)在R上是增函数 (4)在R上是减函数3.例题讲解［例1］某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求.解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.经过1年，剩留量y=1×84%=0.841；经过2年，剩留量y=0.84×84%=0.842；……一般地，经过x年，剩留量y=0.84x根据这个函数关系式可以列表如下：x0123456y10.840.710.590.500.420.35用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x≈4.答：约经过4年，剩留量是原来的一半.评述：(1)指数函数图象的应用.(2)数形结合思想的体现.［例2］说明函数y=2x+1与y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图.分析：做此题之前，可与学生一起回顾初中接触的二次函数平移问题.解：比较函数y=2x+1与y=2x的关系：y=2-3+1与y=2-2相等，y=2-2+1与y=2-1相等，y=22+1与y=23相等，……由此可以知道，将指数函数y=2x的图象向左平行移动一个单位长度，就得到函数y=2x+1的图象.评述：此题目的在于让学生了解图象的平移变换，并能逐步掌握平移规律.Ⅲ.课堂练习1.课本P74练习1在同一坐标系中，画出下列函数的图象：(1)y＝3x；（2）y＝（）x.2.课本P73例2(2).说明函数y＝2x－2与指数函数y＝2x的图象的关系，并画出它们的示意图.解：比较y＝2x－2与y＝2x的关系y＝2-1－2与y＝2-3相等，y＝20-2与y＝2-2相等，y＝23－2与y＝21相等，……由此可以知道，将指数函数y＝2x的图象向右平移2个单位长度，就得到函数y＝2x-2的图象.Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，大家要能在理解指数函数概念的基础上，掌握指数函数的图象和性质，并会简单的应用.Ⅴ.课后作业（一）1.在同一坐标系里画出下列函数图象：(1)y=10x；(2)y=()x.2.作出函数y=2x－1和y=2x+1的图象，并说明这两个函数图象与y=2x的图象关系.答：如图所示，函数y＝2x－1的图象可以看作是函数y＝2x的图象向右平移两个单位得到.函数y＝2x＋1的图象可以看作是函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到（二）1.预习内容：课本P73例32.预习提纲：(1)同底数幂如何比较大小?(2)不同底数幂能否直接比较大小?●板书设计§2.6.1  指数函数1.指数函数定义：形如y＝ax（a＞0且a≠1）的函数叫指数函数2.指数函数的图象性质3.［例1］      ［例2］4.学生      练习   Ⅰ.复习引入引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？分裂次数：1，2，3，4，…，x细胞个数：2，4，8，16，…，y由上面的对应关系可知，函数关系是 y＝2x.引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为 y＝0.85x. 在y＝2x, y＝0.85x中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.Ⅱ.讲授新课1．指数函数的定义函数y＝a x（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R探究1：为什么要规定a＞0,且a≠1呢？①若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义. ②若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义. 如y＝(-2)x，这时对于x＝，x＝，…等等，在实数范围内函数值不存在.③若a＝1，则对于任何x∈R，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1。在规定以后，对于任何x∈R，ax都有意义，且ax＞0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0，+∞).探究2：函数 y＝2·3x是指数函数吗？   指数函数的解析式 y＝ax中，ax的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 y＝ax+k (a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=a-x(a＞0，且a≠1)，因为它可以化为 y＝(a-1)x，其中a-x＞0，且a-x≠1.活动设计：教师提出问题，学生思考、分析、讨论，教师引导、整理2．指数函数的图象活动设计：学生分别取不同的a值，用计算器作出函数图像，观察、分析讨论函数性质，教师辅导、启发、整理⑴作图：（以下几例由学生作出类似情况，然后展示）           ⑵描点法作函数草图在同一坐标系中分别作出函数 y＝2x，y＝()x，y＝10x的图象.⑴先分别列出 y＝2x，y＝()x，y＝10x中x、y的对应值表：x…－3－2－1.5－1－0.500.511.523…y＝2x…0.130.250.350.50.7111.422.848… x…－3－2－1.5－1－0.500.511.523…y＝()-x…842.821.410.710.50.350.250.13… x…－1－0.5－0.2500.250.51…y＝10x…0.10.320.5611.783.1610…注意：①用图形计算器函数值表填写列表，列表时注意x的广泛代表性，即对于负数、零、正数都要取到；②要画出渐近的“味道”⑶观察、总结aA＞10＜a＜1图  像  定义域RR值  域y＞0  y＞0  定  点过点(0，1)过点(0，1)单调性单调递增单调递减Ⅲ.例题分析［例1］（课本第81页）比较下列各题中两个值的大小：①1.72.5，1.73；    ②0.8－0.1，0.8－0.2；    ③1.70.3，0.93.1活动设计：理解用函数单调性来比较大小，教师引导、整理解：利用函数单调性①1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数 y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=1.7x在R是增函数，而2.5<3，所以，1.72.5<1.73；②略③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：1.70.3>1.70>1；0.93.1<0.90<1；1.70.3>0.93.1小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.Ⅳ.课堂练习⑴比较大小：－0.7－0.2     －1.7－0.3；（－2.5）        （－2.5）⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：（）m ＞（）n，m     n；1.1m＜1.1n，m     n.⑶比较下列各组中数的大小：10，   0.4－2.5，   2－0.2， 2.51.6Ⅴ.课时小结指数函数的定义；图象的作法；性质 Ⅵ.课后作业课本P54  习题：1，2.