指数函数

教学目标：

使学生理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。

教学重点：

指数函数的概念、图象、性质

教学难点：

指数函数的图象、性质

教学过程：

教学目标

(一)教学知识点

1.指数函数.

2.指数函数的图象、性质.

(二)能力训练要求

1.理解指数函数的概念.

2.掌握指数函数的图象、性质.

3.培养学生实际应用函数的能力.

(三)德育渗透目标

1.认识事物之间的普遍联系与相互转化.

2.用联系的观点看问题.

3.了解数学知识在生产生活实际中的应用.

●教学重点

指数函数的图象、性质.

●教学难点

指数函数的图象性质与底数a的关系.

●教学方法

学导式

引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数的概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数的性质，而且是分a＞1与0＜a＜1两种情形.

●教具准备

幻灯片三张

第一张：指数函数的图象与性质(记作§2.6.1 A)

第二张：例1  (记作§2.6.1 B）

第三张：例2  (记作§2.6.1 C）

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

［师］前面几节课，我们一起学习了指数的有关概念和幂的运算性质.这些知

识都是为我们学习指数函数打基础.

现在大家来看下面的问题：

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是

y=2x

这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量x作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量.

下面，我们给出指数函数的定义.

Ⅱ.讲授新课

1.指数函数定义

一般地，函数y=ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R.

［师］现在研究指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质，先来研究a＞1的情形.

例如，我们来画y=2x的图象

列出x,y的对应值表，用描点法画出图象：

再来研究0＜a＜1的情况，

例如，我们来画y=2-x的图象.可得x,y的对应值，用描点法画出图象.也可根据y=2-x的图象与y=2x的图象关于y轴对称，由y=2x的图象对称得到y=2-x即y=()x的图象.

我们观察y=2x以及y=2-x的图象特征，就可以得到y=ax(a＞1)以及y=ax(0＜a＜1)的图象和性质.

2.指数函数的图象和性质

3.例题讲解

［例1］某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).

分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求.

解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.

经过1年，剩留量y=1×84%=0.841；

经过2年，剩留量y=0.84×84%=0.842；

……

一般地，经过x年，剩留量y=0.84x

根据这个函数关系式可以列表如下：

用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x≈4.

答：约经过4年，剩留量是原来的一半.

评述：(1)指数函数图象的应用.

(2)数形结合思想的体现.

［例2］说明函数y=2x+1与y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图.

分析：做此题之前，可与学生一起回顾初中接触的二次函数平移问题.

解：比较函数y=2x+1与y=2x的关系：

y=2-3+1与y=2-2相等，

y=2-2+1与y=2-1相等，

y=22+1与y=23相等，

……

由此可以知道，将指数函数y=2x的图象向左平行移动一个单位长度，就得到函数y=2x+1的图象.

评述：此题目的在于让学生了解图象的平移变换，并能逐步掌握平移规律.

Ⅲ.课堂练习

1.课本P74练习1

在同一坐标系中，画出下列函数的图象：

(1)y＝3x；

（2）y＝（）x.

2.课本P73例2(2).

说明函数y＝2x－2与指数函数y＝2x的图象的关系，并画出它们的示意图.

解：比较y＝2x－2与y＝2x的关系

y＝2-1－2与y＝2-3相等，

y＝20-2与y＝2-2相等，

y＝23－2与y＝21相等，

……

由此可以知道，将指数函数y＝2x的图象向右平移2个单位长度，就得到函数y＝2x-2的图象.

Ⅳ.课时小结

［师］通过本节学习，大家要能在理解指数函数概念的基础上，掌握指数函数的图象和性质，并会简单的应用.

Ⅴ.课后作业

（一）1.在同一坐标系里画出下列函数图象：

(1)y=10x；

(2)y=()x.

2.作出函数y=2x－1和y=2x+1的图象，并说明这两个函数图象与y=2x的图象关系.

答：如图所示，函数y＝2x－1的图象可以看作是函数y＝2x的图象向右平移两个单位得到.

函数y＝2x＋1的图象可以看作是函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到

（二）1.预习内容：

课本P73例3

2.预习提纲：

(1)同底数幂如何比较大小?

(2)不同底数幂能否直接比较大小?

●板书设计

Ⅰ.复习引入

引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？

分裂次数：1，2，3，4，…，x

细胞个数：2，4，8，16，…，y

由上面的对应关系可知，函数关系是 y＝2x.

引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为 y＝0.85x.

在y＝2x, y＝0.85x中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.

我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.

Ⅱ.讲授新课

1．指数函数的定义

函数y＝a x（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R

探究1：为什么要规定a＞0,且a≠1呢？

①若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义.

②若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义. 如y＝(-2)x，这时对于x＝，x＝，…等等，在实数范围内函数值不存在.

③若a＝1，则对于任何x∈R，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1。在规定以后，对于任何x∈R，ax都有意义，且ax＞0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0，+∞).

探究2：函数 y＝2·3x是指数函数吗？   指数函数的解析式 y＝ax中，ax的系数是1.

有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 y＝ax+k (a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=a-x(a＞0，且a≠1)，因为它可以化为 y＝(a-1)x，其中

a-x＞0，且a-x≠1.

活动设计：教师提出问题，学生思考、分析、讨论，教师引导、整理

2．指数函数的图象

活动设计：学生分别取不同的a值，用计算器作出函数图像，观察、分析讨论函数性质，教师辅导、启发、整理

⑴作图：（以下几例由学生作出类似情况，然后展示）

⑵描点法作函数草图

在同一坐标系中分别作出函数 y＝2x，y＝()x，y＝10x的图象.

⑴先分别列出 y＝2x，y＝()x，y＝10x中x、y的对应值表：

注意：

①用图形计算器函数值表填写列表，列表时注意x的广泛代表性，即对于负数、零、正数都要取到；

②要画出渐近的“味道”

⑶观察、总结

Ⅲ.例题分析

［例1］（课本第81页）比较下列各题中两个值的大小：

①1.72.5，1.73；    ②0.8－0.1，0.8－0.2；    ③1.70.3，0.93.1

活动设计：理解用函数单调性来比较大小，教师引导、整理

解：利用函数单调性

①1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数 y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=1.7x在R是增函数，而2.5<3，所以，1.72.5<1.73；

②略

③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：1.70.3>1.70>1；0.93.1<0.90<1；1.70.3>0.93.1

小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.

Ⅳ.课堂练习

⑴比较大小：－0.7－0.2     －1.7－0.3；（－2.5）        （－2.5）

⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：

（）m ＞（）n，m     n；1.1m＜1.1n，m     n.

⑶比较下列各组中数的大小：10，   0.4－2.5，   2－0.2， 2.51.6

Ⅴ.课时小结

指数函数的定义；图象的作法；性质

Ⅵ.课后作业

课本P54  习题：1，2.