高中数学苏教版必修13.1.2 指数函数教案

这是一份高中数学苏教版必修13.1.2 指数函数教案，共10页。教案主要包含了学习指导，典型例题讲解，巩固练习，参考答案等内容，欢迎下载使用。
 函数一课时教学目标：（1）通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型（2）学习用集合语言刻画函数（3）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域和解析式教学重点：函数的概念.教学过程：1．通过多教材上四个例子的研究，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。2．引出用集合语言刻画函数（见教材第33页）3．明确函数的三要素：定义域、值域、解析式4．区间概念   5．补充例子   例1求下列函数的定义域1，2，3，   例2求函数的值域1．2．3．   例3求函数的解析式1．若，求2．若，求3．若一次函数满足，求 课堂练习：教材第35页 练习A、B小结：学习用集合语言刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域和解析式课后作业：第58页  习题1-1B第1题  
　　     函数二课时教学要求与目标：1、理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，理解n次方根与n次根式的概念；能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简。2、掌握指数函数的概念、图象和性质；能利用计算器或计算机分析解决问题。3、引导学生观察、分析、抽象根据，发展学生的思维能力。【学习指导】　　1、理解n次方根与n次根式的概念，熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正实数的算术根，这里要注意以下问题：(1) 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是零，设a∈R，n是大于1的奇数，则a的n次方根是。(2) 在实数范围内，正数的偶次方根是两个互为相反数的数。0的偶次方根是0，负数没有偶次方根，设a≥0，n是大于1的偶数，则a的n次方根是±。 　　2、熟练掌握分数指数幂的运算性质，熟练掌握根式与分数指数幂的互化，会选择合适的形式进行计算。3、理解掌握指数函数定义时应注意：(1)定义域是R。(2)底数a大于0且不等于1。(3)指数函数的形式必须是y＝ax（a＞0且a≠1），象y＝2ax，y＝ax＋2，y＝2ax＋3等都不是指数函数。4、会用描点法作出指数函数的图象，并能根据图象比较底数变化时指数函数图象的变化情况，以及由图象得出指数函数的性质。掌握指数函数几个性质的证明。5、比较两个幂的大小的方法：要比较两个同底数幂的大小，通常是构造一个同底数的指数函数，并考察其单调性；要比较两个不同底数幂的大小，可以找一个“中间值”来过渡，“1”是一个常用的“中间值”，实际上是构造两个指数函数，并利用它们的单调性来求解。6、了解简单的函数图象的平移变换，对称变换以及这两种变换的特点。平移规律：已知y＝ax图象，则向左平移b（b＞0）个单位，得到y＝ax＋b的图象；向右平移b（b＞0）个单位，得到y＝ax－b的图象；向上平移b（b＞0）个单位，得到y＝ax＋b的图象；向下平移b（b＞0）个单位，得到y＝ax－b的图象。对称规律：函数y＝a的图象与y＝a－x的图象产于y轴对称；y＝ax的图象与y＝-ax的图象关于x轴对称；函数y＝ax的图象与y＝－a－x的图象关于原点对称。【典型例题讲解】例1　求下列各式的值： (1)   (2)   (3) （a＞0）分析：既含有分数指数幂，又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于运算，如果根式中根指数不同，也应化成分数指数幂的形式。解：(1) (2) (3) 点评：当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算。对于计算题的结果，不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又有负指数。 例2　x、y∈R时，下列各式恒成立的是（　　）A、     B、C、     D、解析：A显然不成立，C在x＜0或y＜0时不成立，D在x＋y＜0时不成立，只有B正确，故选B。点评：本题考查的意义，通过以上各选择项的分析，可以得到：当n为奇数时，＝a当n为偶数时， 例3　将下列根式化为指数幂的形式（其中a＞0，b＞0） (1) ；  (2) ；　(3) ；　(4) .分析：将根式运算化为分数指数幂运算往往比较方便。解：(1) (2) (3) (4) 点评：多重根式的化简，一般化为分数指数幂，转化为同底分数指数幂的运算。 例4　（2003·上海高考）已知函数，(1) 证明：f(x)为奇函数，并求f(x)的单调区间。(2) 分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(q)－5f(3)g(3)，并根据出涉及涵数f(x)和g(x)对所有不为0的实数x都成立的一个等式，并加以证明。(1) 证明：   在R上单调递增，在(0, ＋∞)上，＞0   ∴单调递减　　∴－单调递增   因此，(0, ＋∞)是f(x)的一个单调增区间  同理，(－∞, 0)也是一个单调增区间(2) 解：f(4)－5f(2)g(2)＝f(q)－5f(3)g(3)＝0　　　　一般地，f(x2)－5f(x)g(x)＝0　　　　证明：f(x2)－5f(x)g(x)＝＝例5　指数函数①y＝ax，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的象如图所示，则a、b、c、d与1的大小关系是（　　）A、a＜b＜1＜c＜dB、b＜a＜1＜d＜cC、1＜a＜b＜c＜dD、a＜b＜1＜d＜c分析：根据图象可先分为两类，③④的底数小于1，再由③④中比较c、d的大小，由①②中比较a、b的大小。解：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于y轴，故选B。点评：熟练掌握指数函数的图象及性质是解决此类问题的关键。 例6　与（a＞0，且a≠1，n∈N*，且n＞2）的大小有关系是　　　　　　。分析：底相同（分a＞1，或0＜a＜1两种情况），只需比较指数大小。解：，又n∈N*，且n＞2∴　即因此当a＞1时，，即当0＜a＜1时，，即点评：比较两个数的大小，函数的单调性是常用的言法；　　　作差作商法是比较大小的基本方法，当两个数是幂时常用作商法，但注意需知两数的正负；　　　对于用指数函数的单调性时，一定要注意底数的取值。　　例7　函数y＝a2x＋2ax－1（a＞0，且a≠1）在区间[－1, 1]上有最大值14，求a的值。分析：函数y＝a2x＋2ax－1看做是以ax为元的二次函数，换元后转化为一元二次函数闭区间上的最值问题，但由于底数a的情况不定，所以分a＞1和0＜a＜1讨论。解：y＝(ax)2＋2ax－1＝(ax＋1)2－2　令ax＝t　　∴y＝(t＋1)2－2　　分两种情况讨论：　　(1) 当a＞1时，∵－1≤x≤1　　∴≤ax≤a，即≤t≤a　　　　∵函数的对称轴为t＝－1　　　　∴当t＝a时有最大值　　　　∴(a＋1)2－2＝14　　　　∴a＝3　　(2) 当0＜a＜1时，∵－1≤x≤1　∴a≤ax≤，即a≤t≤　　　　∴当t＝时有最大值　　　　∴(＋1)2－2＝14　　　∴a＝　　　　∴a的值为3或.点评：类似本题中的函数是很常见的一种函数，用换元法解决非常简便（令t＝ax），但要注意换元后新变量t的取值范围。本题还用到了分类讨论的数学思想方法。 例8　函数的单调减区间是　　　　　　　，单调增区间是　　　　　　。解：设u＝|x－1|，作图，可知u＝|x－1|在(－∞, 1] 内单调递减，在[1, ＋∞)内单调递增，又＜1，所以的单调递减区间为[1, ＋∞)，单调递增区间为(－∞, 1]点评：借助函数图象，研究函数单调性，此种方法应予以重视。 例9　已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到的图象分析：根据函数特点，只需上下或左右平移。解：＝3－(x＋1)＋2，所以作函数y＝3x的图象关于y轴的对称图形得函数y＝3－x的图象，再向左平移一个单位就得到函数y＝3－(x+1)的图象，最后再向上平移两个单位就得到函数y＝3－(x+1)＋2＝的图象，如图所示。 例10　已知函数(1) 求f(x)的定义域.(2) 讨论f(x)的奇偶性.(3) 证明f(x)＞0. 分析：对于(2)，注意先化简，再研究f(－x)与f(x)的关系；对于(3)，注意利用已证得的结果。(1) 解：∵2x－1≠0，∴x≠0，定义域为{x｜x≠0}(2) 解：　　　 ∵＝f(x)∴f(x)是偶函数(3) 证明：①当x＞0时，2x＞1，2x－1＞0，∴，即f(x)＞0②当x＜0时，－x＞0，由(2)可知f(－x)＞0　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＞0综①②得f(x)＞0【巩固练习】一、选择题1、在①；②；③；④（各式中n∈N，a∈R）中，有意义的是（　　）A、①②   B、①③   C、①②③④  D、①③④2、将化成不含根式的式子是（　　）A、   B、  C、  D、3、函数y＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，则a的取值范围是（　　）A、a＞0，a≠1     B、a＝1C、a＝      D、a＝1或a＝4、函数y＝ax在[0, 1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于（　　）A、   B、2   C、4   D、5、函数y＝()1－x的单调递增区间为（　　）A、(－∞, ＋∞)     B、(0, ＋∞)C、(1, ＋∞)      D、(0, 1)6、若f(x)＝ax－(b＋1)（a＞0，a≠1）的图象不经过第二象限，则必有（　　）A、0＜a＜1      B、0＜a＜1，b＜0C、a＞1，b＜1     D、a＞1，b≥0二、填空题7、若3x＜5y，则＝　　　　　　　　.8、若(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，则x的范围为　　　　　　　　　　.9、函数y＝ax－1＋2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点　　　　　　　　.10、将函数y＝()2x图象先左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是　　　　　　　　.11、函数f(x)的定义域为(0, 1)，则函数的定义域为　　　　　.三、解答题12、已知a＝，b＝，求的值。13、设A＝am＋a－m，B＝an＋a－n（m＞n＞0，a＞0且a≠1），试比较A与B的大小。14、已知函数（x∈[0, 1]），求函数的值域。15、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝()x   (1) 求函数f(x)的解析式.   (2) 画出函数f(x)的图象.   (3) 写出函数f(x)的单调区间.【参考答案】1、B  2、A  3、C  4、B  5、A  6、D7、5y－3x8、x＞9、(1, 3)10、y＝()2x＋4－111、(－∞, 0)∪(2, ＋∞)12、原式＝13、A－B＝am＋a－m－an＋a－n＝am－an＋＝(am－an) 　　当a＞1时，因为m＞n＞0，所以am＞an，am＋n＞1，所以A－B＞0　　即A－B，当0＜a＜1时，因为m＞n＞0，所以am＜an，am+n＜1，所以A－B＞0，即A＞B.　　综上，A＞B14、是单调减函数，所以y在x∈[0, 1]上的最大值y＝()1－2＋2＝4，所以函数的值域是[4, 6].15、(1) 因为f(x)是定义域R上的奇函数，∴f(0)＝0，当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－()－x＝－2x，所以函数的解析式为　　   (2) 略   (3) 由函数f(x)的图象知，f(x)的单调区间是(－∞, 0)，(0, ＋∞)