2020-2021学年3.1.2 指数函数教案

第十九课时 指数函数(4)

【学习导航】

学习要求：

1、巩固指数函数的图象及其性质；

2、掌握由指数函数和其他简单函数组成的复合函数性质；

【精典范例】

一、  复合函数的定义域与值域

例1、求下列函数的定义域与值域。

(1)y=；

(2)y=；

(3)y=

思维分析：y=a的定义域是f(x)的定义域；对于值域，要先求出f(x) 值域再利用指数函数单调性求解。

【解】：

（1）令，得。解得x1，或x<－1。故定义域为

{x│x1，或x<－1}。由于，且，所以

，

故函数y=的值域为{y│y且y};

(2) 定义域为R；由于2x－x=－(x－1)+1,所以值域为[。

（3）令3，所以x.

所以定义域为[－，值域为[。

二、利用复合函数单调性来解题

例2、求函数y=的单调区间。

【解】：

定义域是R。令，则。当时函数为增函数，是减函数，所以函数y=在上是减函数；当时函数为减函数，是减函数，所以函数y=在上是增函数。

综上，函数y=的单调增区间是，单调减区间是。

点评：y=a的单调性由a和u=f(x)两函数在相应区间上单调性确定的，遵循“同增异减”法则。

三、利用图象的性质比较大小

例3、已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，根据图象判断[f(x1)+f(x2)]与f()的大小，并加以证明。

【解】：

由a>1及0<a<1两种情形的指数函数图象可以判断f()〈[f(x1)+f(x2)]。

证明如下：f(x1)+f(x2)-2 f()=+－2a=( a－a),由于，所以a－a.

所以( a－a)〉0.

所以f(x1)+f(x2)-2 f()>0

即

[f(x1)+f(x2)]> f()。

四、分类讨论思想在解题中的应用

例4、已知f(x)=(ex－a)+ (e－x－a)(a0)。

（1）        f(x)将表示成u= 的函数；

（2）        求f(x)的最小值

思维分析：平方展开重新配方，就可以得到所求函数的形式；然后根据二次函数的知识确定最值。

【解】：

（1）将f(x) 展开重新配方得，f(x)

=(ex+e－x)－2a(ex+e－x)+2a－2

令u= ，得f(x)=4u－4au+2 a－2(u)

(2)因为f(u)的对称轴是u=，又a

所以当时，则当u=1时，f(u)有最小值，此时f(u) =f(1)=2(a－1)。

 当a>2时，则当u=时，f(u)有最小值，此时f(u)=f ()=a－2.

所以f(x)的最小值为

f(x)=

点评：这是复合函数求最值问题，为了求得最值，通过换元转化为二次函数，再由二次函数在区间上的单调性确定最值。

追踪训练

1、求下列函数定义域和值域.

(1)y=；

(2)y=

 答案：（1）定义域[-1，2]；

 [，1]。

（2）定义域{x│x-1}

值域{y│y>2,或0<y<2}

2、求函数y=的单调区间.

答案：利用复合函数单调性的规律，容易得到函数y=的单调增区间是[0，1]，单调减区间是[1，2]。

3、已知f(x)=（a>0,且a）

(1)求f(x)的定义域和值域；

(2)判断f(x)与的关系；

(3)讨论f(x)的单调性；

答案：（1）定义域为R，

值域为（-1，1）

     （2）f(－x) = －f(x)

     （3）当a>1时，f(x)=在定义域上为增函数；当0<a<1时，f(x)=在定义域上为减函数。

4、已知g(x)=()x(x>0)，而f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x>0时，f(x)=g(x)，则f(x)的解析式为_ ___________.

答案：f(x)_=

5、设a是实数，f(x)=.

(1)证明：不论a为何实数，f(x)均为增函数；

(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数成立。

答案：（1）证明略

      （2）利用奇函数的定义式，易得a=1

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