高中数学苏教版必修12.1.1 函数的概念和图象教案

函数专题赏析

1　已知函数（）　

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）证明：　

　解：（Ⅰ）函数的定义域为，且

①若，则在上恒成立；

②若，则

，

，

综上所述，有下面结论：

若，则在内单调递增；

若，则在内单调递减，而在内单调递增　

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：函数在内单调递减，而在内单调递增，故当时，有

，

故有，即　

2　已知f(x)=log2(x+m),m∈R

（1）如果f(1)，f(2)，f(4)成等差数列，求m的值；

（2）如果a,b,c是两两不等的正数，且a,b,c依次成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论　

解（1）∵f(1),f(2),f(4)成等差数列，∴f(1)+f(4)=2f(2)　

即log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2  ∴(m+1)(m+4)=(m+2)2

即m2+5m+4=m2+4m+4    ∴m=0

(2) ∵f(a)+f(c)=log2(a+m)+log2(c+m)=log2[(a+m)(c+m)],

2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2,

∵a,b,c成等比数列，   ∴

∵(a+m)(c+m)-(b+m)2

=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2

=ac+m(a+c)-b2-2bm

=m(a+c)-2m       ∵a>0,c>0　  ∴a+c≥2

①m>0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2>0,   

∴log2[(a+m)(c+m)>log2(b+m)2 b   ∴f(a)+f(c)>2f(b);

②m<0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2<0,

∴log2[(a+m)(c+m)]<log2(b+m)2     ∴f(a)+f(c)<2f(b);

③m=0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2=0

∴log2[(a+m)(c+m)]=log2(b+m)2     ∴f(a)+f(c)=2f(b);

3　 （本小题满分14分）设函数f(x)是定义R上的奇函数，当x∈（－∞，0）时，f(x)=2ax+（a∈R)　

（Ⅰ）求f(x)的解析式；

（Ⅱ）当求证：　

　解：（Ⅰ）设x∈(0，+∞)，则－x∈(－∞，0)，f(－x)=－2ax－，

∵f(x)是奇函数　

∴f(x)= － f(－x)=2ax+，x∈(0，+∞)　 ……………4分

而f(0)= f(－0)= － f(0)   ∴f(0)=0        ………5分

                    ………6分

（Ⅱ）

4（理）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为　

（I）若方程 有两个相等的实数根，求的解析式；

(II)若函数的无极值，求实数的取值范围　

解：(Ⅰ)设    （a≠0），则

          ……     ①

         ……    ②

又∵有两等根

      ∴……  ③

由①②③得                        

又∵

  ∴a<0, 故

∴                       

    (Ⅱ)

       ∵g(x)无极值

       ∴方程

      得                     

5　已知为实数，函数　

(1) 若，求函数在[－，1]上的最大值和最小值；

(2)若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围　

解　 (1)∵，∴，即　∴　                  

由，得或；      由，得　

因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为　

在取得极大值为；在取得极小值为　

由∵， 且

∴在[－，1]上的的最大值为，最小值为　

(2) ∵，∴　

∵函数的图象上有与轴平行的切线，∴有实数解　 …

∴，∴，即 　

因此，所求实数的取值范围是　

6．（本题满分14分）

已知函数的图象与函数的图象相切,记

（Ⅰ）求实数的值及函数的极值；

（Ⅱ）若关于的方程恰有三个不等的实数根，求实数的取值范围

解：（Ⅰ）依题意，令

∴函数的图象与函数的图象的切点为     ……………2分

将切点坐标代入函数可得               ……………5分

或:依题意得方程，即有唯一实数解………2分

故，即                  ……………5分

,

故,

令,解得,或  ………………………8分

列表如下  :

从上表可知在处取得极大值,在处取得极小值 ……10分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数大致图象如下图所示

……………………………12分

作函数的图象,当的图象与函数的图象有三个交点时, 关于的方程恰有三个不等的实数根

结合图形可知：                      ………………………14分