2013高中新课程数学（苏教版必修四） 第一课时 角的概念的推广(一)教案练习题

第一课时  角的概念的推广(一)

教学目标：

推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法；理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.

教学重点：

理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.

教学难点：

终边相同的角的表示.

教学过程：

Ⅰ.课题导入

有一块以点O为圆心的半圆空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大?

分析：设OA＝t（0＜t＜a)，矩形的面积为S，则S＝２t，求S的最值即可.

将S＝2t两边平方，得S2＝4t2（a2－t2）.令y＝S2，x＝t2，则上式化为y＝4x（a2－x）， 是以x为自变量的二次函数，其最值不难求得.

这种转化的方法，是一种常用的解题策略，同学们要切记并灵活运用，且将此问题的解求出来，不过请同学们注意，求出的y的最值是不是就是矩形面积的最值呢？相应的x的值是不是就是A、D的位置呢? 

不是.求出y与x的值后，还须进一步确定S、t的值，才能确定A、D的位置.因为y、x、S、t都是正数，根据y与S的关系、x与t的关系，容易确定S、t的值.

分析二：设矩形的面积为S，∠AOB＝θ（0°＜θ＜90°），则AB＝asinθ，

OA＝acosθ，S＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ.求S的最值即可.

这个函数式的最值我们会求!但现在还不行，待我们再学习一些基础知识之后，这个问题便可迎刃而解，并且这个办法比法一要简便的多，下面我们就来学习、研究与我们生活密切相关的、解决问题十分便利的、并且在各门科学技术中有着广泛应用的重要的基础知识(板书课题).

Ⅱ.讲授新课

我们知道，角可以看作平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，在P5图中，一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，形成了一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边.

我们规定：一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.

为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”.

体操中转体720°(即转体两周).转体1080°(即转体三周)的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转所形成的角.

［师］这就是说角度可以不限于0°～３60°范围内，如750°(它实际上是射线OA绕端点O逆时针转过两圈再继续逆时针转了30°)；210°(射线OA绕端点O逆时针旋转了210°)，负角β＝－150°(射线OA绕端点O顺时针旋转了150°)，γ＝－660°(射线OA绕端点O顺时针转过一圈后再继续顺时针转了300°).

如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，也就是说，零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么α＝0°.

角的概念经过这样推广后，就包括正角、负角、零角.

今后，我们常在直角坐标系内讨论角，为此，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

例如30°、390°、－330°都是第一象限角， 300°、－60°都是第四象限角，585°角是第三象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限，称为轴线角.

在直角坐标系内，使三角板角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，之后，提问学生这是第几象限的角，是多少度的角，我们能否把这些角用一个集合表示出来呢?比如说，我们把这些角记为β，把β的集合记为S，那么S可以怎样表示呢?

S＝｛β｜β＝k·360°＋60°，k∈Z｝

容易看出，所有与60°角终边相同的角，连同60°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素，即集合S中的任意一个角显然与60°角终边相同.

我们再来考虑一下，是不是任意一个角，都与0°到360°内的某一个角终边相同呢?

任意一个角都可以表示成0°到360°间的某一角与k（k∈Z）个周角的和，那么大家再看一下，角390°、－330°、585°、－60°它们分别与0°到360°间的哪个角终边相同，用0°到360°的角表示它们该怎样表示呢?

［生］390°＝360°＋30°

－330°＝－360°＋30°

585°＝360°＋225°

－60°＝－360°＋300°

［师］一般地，我们有：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内可构成一个集合

S＝｛β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝

即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和.

Ⅲ.例题分析

［例1］在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.

(1)－120°  （2）240°  （3）－950°12′

解：(1)－120°＝－360°＋240°

所以与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角.

(2)640°＝360°＋280°

所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角.

(3)－950°12′＝（－3）×360°＋129°48′

所以与－950°12′终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.

Ⅳ.课堂练习

P7练习  1、2、3、4.

Ⅴ.课时小结

为了解决实际问题的需要，本节课我们开始学习数学学科中的一门基础知识：三角函数.本节课我们学习推广了角的概念，学习了正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法，注意：正角、负角是用射线绕端点的旋转方向定义的，零角是射线没有做任何旋转.一个角是第几象限角，关键是看这个角的终边落在第几象限，终边相同的角的表示有两方面的内容：

一、与角α终边相同的角，这些角的集合为S＝｛β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝；

二、在0°到360°内找与已知角终边相同的角α，其方法是，用所给角除以360°，所得的商为k，余数为α(α为正数)，α即为所找的角.

Ⅵ.课后作业

（一）P10习题1.1  1、2、5、10.

（二）预习内容：课本P6例2

角的概念的推广(一)

1．下列命题中的真命题是                                                   （    ）

A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角         B.第一象限的角是锐角

C.第二象限的角比第一象限的角大    D.角α是第四象限角2kπ－＜α＜2π(k∈Z)

2．A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B等于                     （    ）

A.{小于90°的角}                     B.{第一象限的角}

C.{锐角}                              D.以上都不对

3．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，下列四个命题：①A＝B＝C  ②AC  ③CA  ④A∩C＝B，其中正确的命题个数为                 （    ）

A.0个       B.2个                 C.3个      D.4个   

4．若α是第一象限角，则下列各角中第四象限角的是                           （    ）

A.90°－α    B.90°+α            C.360°－α    D.180°+α

5．若－540°＜α＜－180°且α与40°角的终边相同，则α＝         .    

6．终边落在x轴负半轴的角α的集合为         .            

7．与－1178°的终边相同且绝对值最小的角是         .         

8．经过5小时25分钟，时钟的时针和分针各转了多少度？

9．求－720°和360°之间与－756°角终边相同的角.

10．求与－1692°终边相同的最大负角是多少？

角的概念的推广(一)答案

1．D  2．D  3．A  4．C  5．－320° 6．180°＋ k·360°（k∈Z）  7．－98°

8．分析：依据已知条件先求出时针和分针每小时转动的角度，进而求出问题的结果.

解：∵时针12小时转－360°，

∴时针每小时转－360°÷12＝－30°.

∴时针转动的角度为：5·（－30°)＝－162.5°，

∵分针每小时转－360°，∴分针转动的角度为

5·（－360°)＝－1950°

9．分析：依据已知条件先写出终边相同的角的一般形式，再通过解不等式求出k的值.

解：∵－765°＝－2×360°－36°

∴与－765°角终边相同的角为

α＝k·360°－36°（k∈Z)(*)

∴－720°＜k·360°－36°＜360°（k∈Z）.

∴－＜k＜ (k∈Z）

∴k＝－1，0，1

分别代入（*）式得

α＝－396°，－36°，324°

∴－396°，－36°，324°为所求的角.

10．与－1692°终边相同的角为α＝－1692°+k·360°，k∈Z，当k＝4时，

取得最大负角－252°.

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