2013-2014学年高中数学同步训练：第2章 平面向量 2.4（三） （苏教版必修4） Word版含答案

2.4　向量的数量积(三)

一、填空题

1．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.

2．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．

3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝________.

5．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于________．

6．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________.

7．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________.

8．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．

二、解答题

9．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．

(1)求a与b的夹角的余弦值；

(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．

10．在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．

11．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d的夹角为45°，求实数m的值．

三、探究与拓展

12．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，

(1)求证：AB⊥AD；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．

答案

1．12　2.－　3.2  4.  5.

6．(－4,8)　7.5　8.

9．解　(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，

|a|＝＝5，|b|＝＝，

∴cos〈a，b〉＝＝＝.

(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，

又(a－λb)⊥(2a＋b)，

∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，

∴λ＝.

10．解　∵＝(2,3)，＝(1，k)，

∴＝－＝(－1，k－3)．

若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；

若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，

∴k＝；

若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，

∴k＝.

故所求k的值为－或或.

11．解　∵a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，

∴c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，

d＝a＋mb＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，

∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.

又∵|c|＝1，

|d|＝，

∴cos 45°＝

＝＝.

化简得5m2－8m＋3＝0，

解得m＝1或m＝.

12．(1)证明　∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，

∴＝(1,1)，＝(－3,3)，

又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，

∴⊥，即AB⊥AD.

(2)解　⊥，四边形ABCD为矩形，

∴＝.

设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，

∴　得

∴C点坐标为(0,5)．

由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，

所以·＝8＋8＝16>0，

||＝2 ，||＝2 .

设与的夹角为θ，则

cos θ＝＝＝>0，

∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.