高中第3章 圆锥曲线与方程3.5 圆锥曲线的应用课后测评

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1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )．
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
答案 B
2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )．
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)kA，即f′(xB)>f′(xA)．
答案 B
3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为( )．
A．4 B．16
C．8 D．2
解析 在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数，由导数定义可求y′＝4x.
答案 C
4．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为________________．
解析 Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝lieq \(m,\s\d4(d→0)) eq \f(Δy,d)＝lieq \(m,\s\d12(d→0)) (3＋d)＝3.
∴切线的方程为y－4＝3(x－1)，
即3x－y＋1＝0.
答案 3 3x－y＋1＝0
5．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为________________．
解析 ∵f′(x)＝lieq \(m,\s\d4(d→0)) eq \f(fx＋d－fx,d)
＝lieq \(m,\s\d4(d→0)) eq \f(x＋d2－1－x2－1,d)
＝lieq \(m,\s\d4(d→0)) eq \f(2xd＋d2,d)＝lieq \(m,\s\d4(d→0)) (2x＋d)＝2x.
设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.
答案 4x－y－5＝0
6．求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．
解 设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得b＝－3，即P(－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0.
eq \a\vs4\al\c1(综合提高 限时25分钟)
7．若f(x)在x＝x0处的导数存在，则eq \(lim,\s\d4(,h→0)) eq \f(fx0＋h－fx0－h,2h)等于( )．
A．2f′(x0) B.eq \f(1,2)f′(x0)
C．f′(x0) D．4f′(x0)
解析
答案 C
8．若f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式不可以是( )．
A．f(x)＝3x B．f(x)＝x3
C．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝2(x－1)2
答案 D
9．设函数f(x)＝ax＋5，若f′(1)＝2，则a＝________.
解析 eq \f(fx＋d－fx,d)＝eq \f(ax＋d＋5－ax＋5,d)＝a，对趋于0的d，f′(x)＝a，∴f′(1)＝a＝2.
答案 2
10．对于函数y＝x2来说，其导数值等于原来的函数值的点是________．
解析 eq \f(fx＋d－fx,d)＝eq \f(x＋d2－x2,d)＝d＋2x→2x(d→0)，∴y′＝2x，由x2＝2x得x＝0或x＝2.
所以，所求点为(0,0)或(2,4)．
答案 (0,0)或(2,4)
11．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程．
解 设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为：
y′|x＝x0＝3xeq \\al(2,0)＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.
当x0＝－1时，y′最小即直线斜率最小，最小值为3.
此时P点坐标为(－1，－14)，此时切线方程为3x－y－11＝0.
12．(创新拓展)在单位时间内通过导体在某一横截面的电量称为电流强度．若在规定时间段内，通过该截面的电量q＝f(t)．
(1)试给出在t0时刻通过该截面的瞬时电流强度的定义；
(2)若f(t)＝t2＋3t，试求在t0时刻通过该截面的瞬时电流强度．
解 (1)因为“单位时间内通过导体在某一横截面的电量称为电流强度”，所以在[t0，t0＋Δt]内的电量的平均变化率(即平均电流强度)为eq \f(ft0＋Δt－ft0,Δt)，因此在t0时刻通过该截面的瞬时电流强度为eq \f(ft0＋Δt－ft0,Δt)→f′(t0)(Δt→0)．
(2)由eq \f(ft0＋Δt－ft0,Δt)
＝eq \f(t0＋Δt2＋3t0＋Δt－t\\al(2,0)＋3t0,Δt)→2t0＋3(Δt→0)．
所以t0时刻的瞬时电流强度f′(t0)＝2t0＋3.