高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.1 椭圆精练

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.1 椭圆精练，共4页。试卷主要包含了若双曲线C等内容，欢迎下载使用。


1．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )．
A．4 B．3
C．2 D．1
解析 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，又a>0，∴a＝2.
答案 C
2．0A．相同的虚轴 B．相同的实轴
C．相同的渐近线 D．相同的焦点
解析 a2－k>0，b2＋k>0，所以a2－k＋b2＋k＝a2＋b2＝c2.
所以两双曲线有相同的焦点．
答案 D
3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的eq \r(2)倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )．
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1 D.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1
解析 2a＋2b＝2eq \r(2)c，即a＋b＝eq \r(2)c，又a＝2，且a2＋b2＝c2，∴a＝2，b＝2.
答案 B
4．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,a2)＝1与双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1焦点相同，则a＝________.
解析 双曲线焦点在x轴上，则4－a2＝a2＋1，得a2＝eq \f(3,2)，
∴a＝±eq \f(\r(6),2).
答案 ±eq \f(\r(6),2)
5．双曲线的渐近线方程是3x±4y＝0，则双曲线的离心率e＝________.
解析 若焦点在x轴上，则eq \f(b,a)＝eq \f(3,4)，e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \f(5,4)；
若焦点在y轴上，则eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \f(5,3).
答案 eq \f(5,4)或eq \f(5,3)
6．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,4)，3))，且一条渐近线为4x＋3y＝0；
(2)P(0，6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为eq \f(π,3).
解 (1)因直线x＝eq \f(15,4)与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,4)，－5))，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,4)))\s\up12(2),a2)－\f(32,b2)＝1，,\f(b2,a2)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))\s\up12(2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝9，,b2＝16.))
故所求的双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．
依题意，它的焦点在x轴上．因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，
所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝6.
又P与两顶点连线夹角为eq \f(π,3)，
所以a＝|OP|·taneq \f(π,6)＝2 eq \r(3)，所以b2＝c2－a2＝24.
故所求的双曲线方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,24)＝1.
eq \a\vs4\al\c1(综合提高 （限时25分钟）)
7．若双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,m)＝1的渐近线的方程为y＝±eq \f(\r(5),3)x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为( )．
A.eq \r(5) B.eq \r(14)
C．2 D．2eq \r(5)
解析 由渐近线方程y＝±eq \f(\r(5),3)x，得m＝5.则焦点F(eq \r(14)，0)到y＝eq \f(\r(5),3)x的距离d＝eq \r(5).
答案 A
8．若双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的顶点到渐近线的距离为eq \f(\r(2),2)，则双曲线的离心率e＝( )．
A．2 B.eq \r(2)
C．3 D.eq \r(3)
解析 顶点为(1，0)，渐近线为y＝±bx，则d＝eq \f(b,\r(1＋b2))＝eq \f(\r(2),2)，∴b＝1，∴e＝eq \r(2).
答案 B
9．与双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．
解析 依题意，设双曲线的方程x2－eq \f(y2,4)＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求，得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)＝1.
答案 eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)＝1
10．已知F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析 设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知，|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，所以当满足|PF1|＋|PA|最小时就满足|PF|＋|PA|取最小值．由双曲线的图象可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小．而|AF1|即为|PF1|＋|PA|的最小值，|AF1|＝5，故所求最小值为9.
答案 9
11．如图，已知F1、F2为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°.求双曲线的渐近线方程．
解 法一 设F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)，
则eq \f(c2,a2)－eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝±eq \f(b2,a).∴|PF2|＝eq \f(b2,a).
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝eq \r(3)|PF2|，
即2c＝eq \r(3)·eq \f(b2,a)，将c2＝a2＋b2代入，
解得b2＝2a2，故eq \f(b,a)＝eq \r(2).
∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.
法二 设F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)，
则eq \f(c2,a2)－eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝±eq \f(b2,a).∴|PF2|＝eq \f(b2,a).
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝2a，
∵|PF2|＝eq \f(b2,a)，∴2a＝eq \f(b2,a)，即b2＝2a2.∴eq \f(b,a)＝eq \r(2).
∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.
12．(创新拓展)已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
解 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－y2＝4，,y＝k（x－1），))消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)
(1)当1－k2＝0，即k＝±1，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．
(2)当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
①eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－3k2>0，,1－k2≠0，))
即－eq \f(2\r(3),3)②eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－3k2＝0，,1－k2≠0，))
即k＝±eq \f(2\r(3),3)时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有一个公共点．
③eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－3k2<0，,1－k2≠0，))
即k<－eq \f(2\r(3),3)或k>eq \f(2\r(3),3)时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．
综上所述，当－eq \f(2\r(3),3)eq \f(2\r(3),3)时，直线与双曲线没有公共