数学八年级上册17.2 直角三角形教案

16.2由边的数量关系识别直角三角形

〖教学目标〗

（－）知识目标

1.会用边长的平方等等量关系来识别一个三角形是直角三角形.

2. 知道什么叫勾股数，记住一些常见的勾股数.

（二）能力目标

1.经历由边的数量关系识别直角三角形的探索过程，提高合情推理和试验验证的能力.

2. 通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力.

（三）情感目标

1.在有关活动中发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯。

2.提高由已知数学知识探究与获取新的数学知识的能力，并从中增强学习数学的兴趣

〖教学重点〗

探索并掌握直角三角形的判别条件.准确

〖教学难点〗

运用直角三角形判别条件解题时（即在用勾股定理的逆定理时），分不清哪一条边作斜边，因此在用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时而出错；另外，在解决有关综合问题时，要将给的边的数量关系经过代数变化，最后达到一个目标式，这种“转化”对学生来讲也是一个困难的地方．

〖教学过程〗

一、课前布置

1.自学：阅读课本P83~P84，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）.

2.查阅有关“勾股数”的有关资料

二、师生互动

（一）一起交流课本P83 的“一起探究”与例题

1.你用12根火柴棒，任意摆出一个三角形，能摆出几种三角形？

学生动手操作，共摆出3种，边长分别是：2，5，5；3，4，5；4，4，4

思考：如果火柴的长度为1，那么

（1）图中哪个三角形的三边具有“两边的平方和等于第三边的平方”的关系？

（2）其中哪个三角形是直角三角形？

（3）请你用量角器进行度量，验证你的判断。

2．小活动：

（1）画一个三角形，使它的边长分别为5cm，12cm，13cm。

（2）边长5，12，13之间有怎样的关系？（）

（3）用量角器度量这个三角形内角，它是什么三角形？（直角三角形）

思考：通过以上我们的试验，我们可否知道怎样由边的关系识别一个三角形为直角三角形呢？

结论：如果三角形的三边长 a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数。如3，4，5；5，12，13

练习 

1．已知a、b、c是△ABC的三边，

（1）a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5； （2）a＝4，b＝5，c＝6；

（3）a＝7，b＝24，c＝25；   （4）a＝15，b＝20，c＝25．

上述四个三角形中，直角三角形有(    )个．

A．1    B．2    C．3    D．4

2. 有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（      ）

A. 2、4、8        B.  4、8、10      C.  6、8、10      D.  8、10、12

解：1. C； 2. C

3.赏析有关“勾股数”的数学典故

满足勾股定理的数组称为勾股数（或商高数）。在西方，人们把这个定理的发现与证明归功于古希腊的毕达哥拉斯，因而称之为毕达哥拉斯定理，满足定理的数组也就称为毕达哥拉斯数。

但是1945年，人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥板的研究中，惊讶地发现上面竟然刻有15组勾股数，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前1900年到公元前l600年之间。这些勾股数组中有些是很大的数，即使在今天也往往是人们所熟悉的。

这个数表使人们有理由相信，古巴伦人早已掌握了勾股定理并很可能找到了一种求得勾股数的一般方法，只不过人们还不能从其他的泥板中找出更多的证据来证明这一点。

毕达哥拉斯学派倒是明确地给出了勾股数的一组公式：

后来，另一个古希腊学者柏拉图（Plato,约前427~前347）也给出了类似的式子。

被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图（Diophantus,约246~330）也在研究二次不定方程的时候，对勾股数作了一番探讨。他发现不论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子，都没能给出全部勾股数组，于是他找到了一个新方法：如果m、n是两个正整数，且2mn是完全平方数，则

是一级勾股数。

丢番图究竟是如何得到这组式子的，人们今天已经无从知晓。重要的是，这组式子包含了全部的勾股数组！

值得一提的是，在早于丢氏三、四百年的我国古代数学巨著《九章算术》中，也提出了一组求勾股数的式子，这组式子相当于：

与丢番图同时代的中国数学家刘徽在对这部古算书的注释本中用几何的方法对这组公式进行了严格的论证。这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达形式之一。

4. P84 例题：如图，是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标。现测得AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，AD=13cm，∠ABC=90°，根据这些条件，能否知道∠ACD等于90°？

注意表达的格式.

（二）鼓励学生讲解教师提供的例题.（例题的设置是分层的，安排不同基础的学生尝试讲解，教师予以补充）

例1 如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12．

你能说明AB＝AC吗？

分析：此题给定的是三角形三边的长度，看能否由边长的平方

的等量关系得出一个三角形是直角三角形从而找到解决问题的突破口.

解：因为AD是BC边上的中线，

所以BD＝BC．所以BD＝5．

在△ABD中： AB＝13，BC＝10，BD＝5．

又因为BD2＋AD2＝52＋122＝169

而AB2＝169，

所以BD2＋AD2＝AB2

由勾股定理之逆定理得：△ABD是直角三角形．

所以AD⊥BC．由此得到△ABD≌△ACD，所以AB＝AC．

例2. 已知如图，四边形ABCD各边长为AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积．

分析：此四边形不是我们学过的特殊四边形，因此不能利用面积公式直接解答；而此题关键是对角线AC正好把四边形分成两个三角形．因此从给定三边关系看能否判定两个三角形是直角三角形．

解：因为AB⊥BC，所以△ABC为Rt△，由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2

所以AC2＝32＋42＝25  所以AC＝5

在△ACD中，AC＝5，CD＝12，AD＝13

且AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169

而AD2＝132＝169

所以AC2＋CD2＝AD2，所以△ACD也是直角三角形，所以AC⊥CD于C

所以S△ACB＝AB·BC＝×3×4＝6

S△ACD＝AC·CD＝×5×12＝30

所以S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝6＋30＝36

答：四边形ABCD的面积是36（平方单位）．

例3  据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.

⑴观察：3，4，5；   5，12，13；  7，24，25；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.计算、与、，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；

⑵根据⑴的规律，用(为奇数且≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；

分析：本小题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比、猜想、验证和证明. 由题中给出的勾股数的构成形式，便可掌握勾股数的构成规律，从而得到勾股数的一般形式，这是一个由特殊到一般的思维过程.

解：(1)因为，；，；

所以7，24，25的股的算式为  

弦的算式为          

(2)当为奇数且≥3，勾、股、弦的代数式分别为：， ，.

例如关系式①：弦－股＝1；关系式②：

证明关系式①：弦－股＝

或证明关系式②：

所以猜想得证.

三、小结

［师生共析］

勾股定理逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的.

1. 如何判定一个三角形是否是直角三角形

有两种方法：

（1）是只要一个三角形中有两个角相加等于90°(或两个角互余)，则这个三角形是直角三角形．

（2）如果一个三角形三边之间满足a2＋b2＝c2，则这个三角形是直角三角形．

步骤为：①首先求出最大边（如c）；

②验证c2与a2＋b2是否具有相等关系.

若a2＋b2＝c2，则△ABC是以∠C＝90°的直角三角形.

若a2＋b2≠c2，则△ABC不是直三角形.

勾股定理的逆定理不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判定三角形中哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明.这中间体现了一种代数方法解几何题的思想．即体现数形结合数学思想.

2. 勾股定理逆定理的推广：

三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，有

①若，则是直角三角形；

②若，则是锐角三角形；

③若，则是钝角三角形.

四、补充练习

作业： P85习题

〖分层练习〗

基础知识

1.（1）下列结论错误的是(    )  ；

A．在△ABC中，若∠A＝∠C－∠B，则△ABC是直角三角形；

B．在△ABC中，若a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形；

C．在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的度数比是5：2：3，则△ABC是直角三角形；

D．在△ABC中，若三边长a：b：c＝2：2：3，则△ABC是直角三角形．

（2）木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（      ）

    A. 25，48，80     B．15，17，62     C．25，59，74     D．32，60，68

2.（1）若一个三角形的三边长为m+1,m+2,m+3,那么当 m=_________时，这个三角形是直角三角形.

（2）如果一个三角形有两边的平方分别为16、25，那么第三边的平方是________时，这个三角形是直角三角形.

3．如图，D是△ABC上的一点，若AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6．求BC的长．

4. 有一块四边形地ABCD(如图)∠B=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,DA=13m,求该四边形地ABCD的面积？

综合运用

5. 如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足，判断△ABC的形状.

6. 若正整数a、b、c满足方程a2＋b2＝c2，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：

根据以上规律，回答以下问题：

（1）       商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？

（2）       写出各数都大于30的两组商高数.

（3）       用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论.

7．正方形网格中，小格的顶点叫做格点.小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形.小华在左边的正方形网格中作出了Rt⊿ABC.请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等.

〖答案提示〗

1.（1）D  （2）D   

2.（1）2   （2）9或41

3.解：在三角形ABD中，AB＝10， AD＝8，BD＝6．

又因为BD2＋AD2＝62＋82＝100，而AB2＝102＝100．

所以BD2＋AD2＝AB2，所以三角形ABD是直角三角形．

所以AD⊥BC于D，所以△ADC是直角三角形．

由勾股定理得：AD2＋CD2＝AC2

所以CD2＝AC2－AD2，CD2＝289－64，CD2＝225，

所以CD＝15．

所以BC＝CD＋BD＝6＋15＝21

答：BC的长是21．

4. 提示：连结AC，利用勾股定理可求出AC=5m,再利用勾股定理逆定理判断△ADC为直角三角形，即可求出△ADC 的面积.则四边形地ABCD的面积为36平方米.

5.解：由，得

，

所以.

因为，，.

所以a＝3，b＝4，c＝5

因为，

所以.

由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形.

6. 解：（1）有一个偶数、两个奇数或三个偶数.

（2）（40，42，58，），（119，120，169）

（3）a = 2mn,  b = m2 – n2,   c = m2 + n2

证明：a2 +b2 = (2 m n)2+ ( m2 – n2)2

                = 4m2n2 +m4 -2m2n24

= m4 +2m2n2+n4 = (m2+n2 )2

所以 a2＋b2＝c2

7. 可以是：