初中数学冀教版八年级上册17.2 直角三角形教学ppt课件

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直角三角形角的性质与判定直角三角形斜边上的中线性质含30°角的直角三角形的性质
这幅图画是云南西双版纳傣族干栏房，你能从图中找出形状为直角三角形的部分吗？
直角三角形的性质与判定
我们知道，有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如图，直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”. 由三角形内角和定理，容易得到： 直角三角形的性质定理. 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形性质定理的逆命题显然也是真命题.于是，有直角三角形的判定定理： 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
“直角三角形的两个锐角互余”及“有两个角互余 的三角形是直角三角形”都可以利用三角形的内 角和定理推出．(2)在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系， 结合两锐角互余可以求出每个锐角的度数，而不 必再使用三角形内角和定理求解．(3)在判定一个三角形是直角三角形时，除利用直角 三角形的定义外，还可找出有两个锐角互余，从 而直接判定直角三角形．
如图，已知∠A＝32°，∠ADC＝110°，BE⊥AC于点E，求∠B的度数．
解：∵∠A＝32°，∠ADC＝110°， ∴∠C＝180°－32°－110°＝38°. 又∵BE⊥AC，∴△BEC为直角三角形， ∴∠B＝90°－∠C＝90°－38°＝52°(直角三角 形的两个锐角互余)．
直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的两锐角互余的本质是三角形内角和定理，是三角形内角和定理的一种简化应用，利用这一性质，在直角三角形中已知一锐角可求另一锐角．
如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中 与∠B互余的角有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【中考·遵义】如图，在平行线a，b之间放置一块 直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1＋∠2的值为(　　) A．90° B．85° C．80° D．60°
例2 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于 点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分 线相交于点P.试说明△EFP为直角三角形．
导引：判定△EFP为直角三角形，有两种方法： ①有一角是直角，②两锐角互余，即要说 明∠EPF＝90°或∠EFP＋∠FEP＝90°.
∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，∴∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠DFE.∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°.∴△EFP为直角三角形．
根据直角三角形的定义和直角三角形的判定定理可以判定直角三角形．有两个角互余，由三角形内角和定理可知第三个角是直角，因此它的实质还是直角三角形的定义．
如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC ＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．
解：在△DBC中，∠DBC＝180°－ ∠BDC－∠C＝180°－80°－ 70°＝30°. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°. 在△ABD中， ∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°， ∴△ABD是直角三角形．
【中考·咸宁】如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于 点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为(　　) A．50° B．45° C．40° D．30°
直角三角形斜边上的中线性质
在一张半透明的纸上画出Rt△ABC，∠C=90°，如图(1)；将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，沿BE画出虚线CE， 如图(2)；将纸展开，如图(3) .
(1)∠ECF与∠B有怎样的关系？线段EC与线段EB有怎样的关系？ (2)由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB，∠ACE+∠ECF=∠ACB，你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗？线段AE与线段CE呢? 从而你发现了什么结论？将你的结论与大家交流. 我们发现，CE=AE=EB，即CE是AB的中线，且CE= AB. 下面就来证明上面的“发现”.
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°， CD为斜边AB上的中线. 求证：CD= AB. 证明：如图，过点D，作DE∥BC，交AC于 点E；作DF∥AC，交BC于点F. 在△AED 和△DFB 中， ∠A=∠FDB(两直线平行，同位角相等)， ∵ AD=DB(中线的概念)， ∠ADE=∠B(两直线平行，同位角相等)，
∴△AED≌△DFB (ASA).∴AE=DF，ED=FB.(全等三角形的对应边相等）同理可证，△CDE≌△DCF.从而，ED=FC，EC=FD.∴ AE=EC，CF=FB.(等量代换）又∵DE⊥AC，DF⊥BC，(两直线平行，同位角相等)∴DE为AC的垂直平分线，DF为BC的垂直平分线. ∴AD=CD=BD(线段垂直平分线的性质定理).CD= AB.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例3 如图，BD，CE是△ABC的两条高，M，N分别 是BC，DE的中点．求证：MN⊥DE.
导引：如图，连接EM，DM，由CE与BD 为△ABC的两条高，可得△BEC与 △BDC均为直角三角形，根据M为 BC的中点，利用“直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半”可得EM为BC的一半，DM也为 BC的一半，通过等量代换可得EM＝DM，又因 为N为DE的中点，所以MN⊥DE.
连接EM，DM，如图.∵CE，BD为△ABC的两条高，∴CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠BEC＝∠BDC＝90°.在Rt△BEC中，M为斜边BC的中点，∴EM＝ BC.在Rt△BDC中，M为斜边BC的中点，∴DM＝ BC.∴EM＝DM.又∵N为DE的中点，∴MN⊥DE.
若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中线，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝ 90°，AC与BD相交于点O，M，N分别是BD，AC的中点．求证：MN⊥AC.
如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与 点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为(　　) A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD为AB 边上的中线，∠A＝30°.若CD＝6，则BC的长度为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8
证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
含30°角的直角三角形的性质
1.性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜 边的一半．要点精析：(1)适用条件——含30°角的直角三角形．(2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关系．拓展：在直角三角形中，若一直角边等于斜边的一半， 则该直角边所对的角为30°.2.作用：应用于证明线段的倍数关系和计算角度．
例4 [中考·温州]如图，在等边三角形ABC 中，点 D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E 作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若CD＝2，求DF的长．
导引：(1)根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°， 再根据三角形内角和定理即可求解； (2)易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角 形的性质即可求解．
(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°. ∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°. ∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°， ∴∠DEC＝60°.∴∠ACB＝∠EDC＝∠DEC. ∴△EDC是等边三角形．∴DE＝CD＝2. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°， ∴DF＝2DE＝4.
利用含30°角的直角三角形的性质，关键有两个元素：一是30°的角；二是直角三角形．根据这两个元素可建立直角三角形中斜边与一条直角边之间的关系．
[中考·铜仁]如图，已知∠AOB＝30°，P是 ∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点 C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于(　　) A．1　 B．2　 　 C．4　 　 D．8
1 【中考·黔南州】如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交 AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，则BD的长为________．
在Rt△ABC中，∠A＝30°，则下列结论正确 的是(　　) A．BC＝ AB B．BC≠ AB C．当∠B＝90°时，BC＝ AB D．当∠C＝90°时，BC＝ AB