沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程教学设计

这是一份沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程教学设计，共5页。教案主要包含了合作探究，应用示例，巩固提高等内容，欢迎下载使用。
二次函数与一元二次方程教学目标1．理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化．2．会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解．3．探求利用图象求一元二次方程根的过程，掌握数形结合的思想方法．教学重难点探索二次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用．教学过程导入新课出示二次函数的图象，如图所示，根据图象回答：1．x为何值时，y＝0?2．你能根据图象，求方程x2－2x－3＝0的根吗？3．函数y＝x2－2x－3与方程x2－2x－3＝0之间有何关系呢？推进新课一、合作探究【问题1】 画出函数y＝x2＋3x＋2的图象，根据图象回答下列问题．(1)图象与x轴交点的坐标是什么？(2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2＋3x＋2＝0有什么关系？(3)你能从中得到什么启发？教学设计： 1.先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2＋3x＋2的图象．2．教师巡视，与学生合作、交流．3．教师讲评，并画出函数图象．4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－1,0)和(－2,0)．5．让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评．6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2＋3x＋2的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2＋3x＋2＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2＋3x＋2的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2＋3x＋2＝0的解．更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．【问题2】 画出二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象，并根据图象观察：(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋2＝0各有几个根？用根的判别式验证一下，你有什么发现？二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：①有两个交点；②有一个交点；③没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac有两个交点有两个相异实数根b2－4ac＞0有一个交点有两个相等实数根b2－4ac＝0没有交点没有实数根b2－4ac＜0【问题3】 根据问题1的图象回答下列问题：(1)当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0?当－2＜x＜－1时，y＜0；当x＜－2或x＞－1时，y＞0.(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？能用含有x的不等式来描述(1)中的问题，即x2＋3x＋2＜0的解集是什么？x2＋3x＋2＞0的解集是什么？【问题4】 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？让学生类比二次函数与一元二次方程的关系，讨论、交流，达成共识：(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系．【问题5】 利用函数y＝x2－2x－2的图象，求方程x2－2x－2＝0的实数根(精确到0.1)．分析：用描点法画函数y＝x2－2x－2的图象，图象要求尽可能准确(如图)．方法一：确定抛物线与x轴的两个交点的位置，估计方程x2－2x－2＝0两根的范围．观察图象，x1≈－0.7时，y的值最接近于0；x2≈2.7时，y的值最接近于0.从而估计方程的根为x1≈－0.7，x2≈2.7.方法二：观察图象发现，当自变量为2时，函数值小于0；当自变量为3时，函数值大于0，抛物线是一段连续曲线，所以在2和3之间的某个值，函数值为0，即在2和3之间有根．采用“逐渐逼近”的方法，逐步缩小两个数值的范围，直到确定符合条件的近似根：将2.5代入函数中，函数值小于0，所以方程在2.5与3之间有一个根；将2.75代入函数中，函数值大于0，所以方程在2.5与2.75之间有一个根；……最后确定这个根大约是2.7.采用同样的方法，确定另一个根大约是－0.7.点拨：此题看起来容易，实际上学生不容易理解，做起来有一定难度．故教师应多指导，理清思路．二、应用示例【例1】 如图所示，(1)一元二次方程－x2＋2x＋3＝0的根是多少？(2)一元二次方程－x2＋2x＋3＝3的根是多少？(3)不等式－x2＋2x＋3＞3的解集是什么？(4)一元二次方程－x2＋2x＋3＝k有两个根，则k的取值范围是什么？解：根据图象知：(1)方程－x2＋2x＋3＝0的两根为x1＝－1，x2＝3.(2)方程－x2＋2x＋3＝3的两根为x1＝0，x2＝2.(3)不等式－x2＋2x＋3＞3的解集是0＜x＜2.(4)k的取值范围是k＜4.点评：此题充分展示了二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系．【例2】 已知抛物线y＝x2＋(2k＋1)x－k2＋k.(1)求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；(2)当k＝0时，求此抛物线与坐标轴的交点坐标．分析：(1)证明方程x2＋(2k＋1)x－k2＋k＝0有两个不相等的实数根即可．(2)通过解方程，求值即可．点拨：(1)注意利用b2－4ac的值二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的个数．(2)掌握抛物线与坐标轴交点的求法．三、巩固提高1．抛物线y＝－x2＋2kx＋2与x轴交点的个数有(　　)．A．0个　　　　　　 B．1个    C．2个     D．以上都不对2．小强从如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五条信息：(1)a＜0；(2)c＞1；(3)b＞0；(4)a＋b＋c＞0；(5)a－b＋c＞0.你认为其中，正确信息的个数有(　　)．A．2个     B．3个    C．4个     D．5个3．若抛物线y＝ax2＋bx＋3与y＝－x2＋3x＋2的两交点关于原点对称，则a、b分别为__________．4．如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(－1,0)和B(2,0)，当y＜0时，x的取值范围是__________．5．抛物线y＝x2－6x＋8与x轴交点坐标为(2,0)，(4,0)，求方程x2－6x＋8＝0的根．6．已知关于x的函数y＝ax2＋x＋1(a为常数)．(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．本课小结1．所学知识：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与二次方程之间的关系．当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．(2)若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(x0,0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．(3)利用二次函数图象求一元二次方程的近似解．2．思想方法是数形结合、逐渐逼近的探求方法．二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0实际上是二次函数y＝ax2＋bx＋c中y＝0时的一种特殊情况．可列表如下：开口方向判别式二次函数图象二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况a＞0Δ＞0有两个交点有两不等实根x1，x2Δ＝0有一个交点有两相等实根x1＝x2Δ＜0没有交点无实根a＜0Δ＞0有两个交点有两不等实根x1，x2Δ＝0有一个交点有两相等实根x1＝x2Δ＜0没有交点无实根奥赛链接已知点A，B的坐标分别为(1,0)，(2,0)．若二次函数y＝x2＋(a－3)x＋3的图象与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是__________．解析：分两种情况：(1)因为二次函数y＝x2＋(a－3)x＋3的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为(1,0)，(2,0)，所以[12＋(a－3)×1＋3]×[22＋(a－3)×2＋3]＜0.解得－1＜a＜.由12＋(a－3)×1＋3＝0，得a＝－1，此时x1＝1，x2＝3，符合题意；由22＋(a－3)×2＋3＝0，得a＝，此时x1＝2，x2＝，不符合题意．(2)令x2＋(a－3)x＋3＝0，由判别式Δ＝0，得a＝3±.当a＝3＋时，x1＝x2＝，不合题意；当a＝3－时，x1＝x2＝，符合题意．综上所述，a的取值范围是－1≤a＜或a＝3－.答案：－1≤a＜或a＝3－