初中数学沪科版九年级上册21.1 二次函数教学设计

　二次函数

教学目标

1．能够表示简单变量间的二次函数关系，并求出函数自变量的取值范围．

2．理解二次函数的意义与特征，能判断一个给定的函数是否为二次函数．

3．进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在应用中的作用．

教学重难点

理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；从实例中抽象出二次函数的定义，分析实例中的二次函数关系．

教学过程

导入新课

【导语一】 回忆一次函数和正比例函数的定义、图象特征，它们对解决实际问题起了很大的作用，从而导入新课．

【导语二】 观察海湾战争期间，导弹拦截的瞬间图片(或在黑板上画出示意图)．思考：为何导弹长了眼睛，它的运动路线有何规律呢？这些需要我们对函数作进一步了解，从而导入新课．

【导语三】 观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线，……探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？

推进新课

一、合作探究

【问题1】 想一想：①正方体的棱长为x，表面积为y，则y＝6x2(用含x的代数式表示)．②圆的面积为S，半径为R，则S＝πR2(用含R的代数式表示)．

设计意图： 从简单的例子感知二次函数的形式．

【问题2】 某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面投放鱼苗，要使围成的水面面积为75 m2，则它的长应是多少米？(只列方程，不求解)

思路分析： 矩形水面的面积应等于矩形水面的长乘宽，故可设出矩形水面的长为x m，然后用总长表示出水面的宽为(20－x)m，就可表示出水面面积为x(20－x)，从而可列出方程．

【问题3】 某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面投放鱼苗，要使围成的水面面积最大，它的长应是多少米？(列出关系式)

思路分析： 矩形水面的面积应等于矩形水面的长乘宽，故可设出矩形水面的长为x m，然后用总长表示出水面的宽为(20－x)m，再设它的面积为S m2，就可表示出水面面积与矩形长的关系式为S＝x(20－x)，整理得S＝－x2＋20x.这里的取值应为0＜x＜20.

【问题4】 一种商品的售价为每件10元，一周可卖出50件．市场调查表明：这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件．已知该商品进价每件为8元，问每件商品涨价多少元，才能使利润最多？

思路分析： 可设每件商品涨价x元，每周获得的利润为y元．

根据“每周获得的利润＝每件的利润×每周卖的件数”，可推理如下：

涨价0元时，每件的利润为(10－8)元，每周卖的件数为50件；

涨价1元时，每件的利润为(10＋1－8)元，每周卖的件数为(50－5)件；

涨价2元时，每件的利润为(10＋2－8)元，每周卖的件数为(50－5×2)件；

涨价3元时，每件的利润为(10＋3－8)元，每周卖的件数为(50－5×3)件；

涨价4元时，每件的利润为(10＋4－8)元，每周卖的件数为(50－5×4)件；

……

涨价x元时，每件的利润为(10＋x－8)元，每周卖的件数为(50－5x)件．

由此可列关系式为y＝(10＋x－8)(50－5x)，整理得y＝－5x2＋40x＋100.

【问题5】 一种商品的售价为每件10元，一周可卖出50件．市场调查表明：这种商品如果每件降价1元，每周要多卖5件．已知该商品进价每件为8元，问每件商品降价多少元，才能使利润最多？

思路分析： 根据上题的分析，同样可进行推理：

降价x元时，每件的利润为(10－x－8)元，每周卖的件数为(50＋5x)件．

从而可列出关系式为y＝(10－x－8)(50＋5x)，即y＝－5x2－40x＋100.

【问题6】 观察比较以下关系式：

①y＝6x2；②S＝πR2；③S＝－x2＋20x；④y＝－5x2＋40x＋100；⑤y＝－5x2－40x＋100.

函数①②③④⑤有什么共同点与不同点．

共同点：A．等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式；

B．等式的右边可统一为“ax2＋bx＋c”的形式．

师生共同归纳二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数，叫做二次函数．

注意： (1)函数y＝ax2＋bx＋c中，a≠0是必备条件，切不可忽视．而b，c的值可以为任意实数；

(2)定义是关于x的二次整式.

二、巩固提高

1．二次函数定义的判定及其应用

【应用示例】 下列函数是二次函数的是(　　)．

A．y＝8x2＋1　　　 B．y＝2x－3   C．y＝3x2＋    D．y＝

解析：A符合二次函数定义，故它是二次函数；B是一次函数；C，D都出现分式，故C，D都不是二次函数．

答案：A

点评：紧扣定义中的两个特征：(1)a≠0；(2)ax2＋bx＋c是整式(二次三项式)．

2．实际问题中的二次函数

【应用示例】 一个正方形的边长是12 cm.若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1) cm的小长方形，剩余部分的面积为y cm2.

(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；

(2)当小长方形的长中x的值为2,4时，相应的剩余部分面积是多少？

分析：画出示意图如下，剩余面积＝正方形面积－小长方形面积．

解：(1)y＝122－2x(x＋1)，

即y＝－2x2－2x＋144.

∴y是x的二次函数．

(2)当x＝2,4时，相应的y的值分别为132 cm2,104 cm2.

点拨：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．

三、达标训练

1．下列函数中，哪些是二次函数？

(1)y＝5x＋1；(2)y＝4x2－1；(3)y＝2x3－3x2；(4)y＝5x4－3x＋1.

2．二次函数y＝ax2中，当x＝1时，y＝2，则a＝__________.

3．已知函数y＝(a＋2)x2＋x＋3是二次函数，则常数a的取值范围是__________．

4．已知函数y＝(m＋1)＋(m－1)x(m是常数)．

(1)m为何值时，它是二次函数？

(2)m为何值时，它是一次函数？

5．函数y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数)中，当a，b，c满足什么条件时，

(1)它是二次函数？

(2)它是一次函数？

(3)它是正比例函数？

本课小结

1．通过实际问题情境，引入二次函数的概念，让学生在观察、归纳中加深对二次函数的理解与掌握．

2．二次函数的概念：

一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量．

一、二次函数的取值范围

1．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围为全体实数．

如：二次函数y＝3x2＋1中自变量x的取值范围就为全体实数．

2．实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围必须使实际问题有意义．

如：底面是边长为x cm的正方形，高为0.5 cm的长方体的体积为y cm3.求y与x之间的函数关系式．因为正方形的边长为正数，所以此题自变量x的取值范围应为x＞0.

二、二次函数的误区警示

二次函数是初中数学中的一个十分重要的内容，也是各地中考命题的一个热点内容，不少同学在学习时由于概念不清、考虑不周，遇到相关问题有时感到茫然，从而致使错误百出．现将误区作出警示．

【例题】  已知y＝(m－4)＋2x－3是二次函数，求m的值．

错解：根据题意，有m2－3m－2＝2，

即m2－3m－4＝0.解得m1＝－1，m2＝4.

点击：根据二次函数的定义，要使y＝(m－4)·＋2x－3是二次函数，m不但应满足m2－3m－2＝2，而且还应满足m－4≠0，二者缺一不可，上述解法因忽略了隐含条件m－4≠0，而导致错误．

正解：根据题意，知

解得m＝－1.

警示：解这类题目要特别注意防止漏掉“二次项系数不等于0”这个隐含条件．