2020-2021学年某校高一（上）期末考试数学试卷

这是一份2020-2021学年某校高一（上）期末考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列图象中幂函数y=x32的大致形状的是（ ）
A.B.
C.D.

2. 设a=lg36，b=lg510，c=lg714，则( )
A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

3. 记cs−80∘=k，那么tan100∘=（ ）
A.1−k2kB.−1−k2kC.k1−k2D.−k1−k2

4. 已知fx=msinx−ntanx+2m,n∈R，且f−π6=a，则f−π6+fπ6=( )
A.4B.0C.2aD.4−a

5. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为( )
（参考数据：2≈1.414,3≈1.732）

米米米米

6. 设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx，当0≤x<π时，f(x)=0，则f(23π6)=( )
A.12B.32C.0D.−12

7. 已知函数f(x)=(a−2)x−1,(x≤1),lgax，(x>1),若f(x)在(−∞, +∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A.(1,2)B.(2,3)C.(2,3]D.(2,+∞)

8. 若sinθ，csθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个根，则m的值为( )
A.1+5B.1−5C.1±5D.5±1

9. 若定义∀x1，x2，minx1,x2表示其两个数中的较小者．若fx=2−x2，gx=x2，则下列关于函数Fx=minfx,gx的说法错误的是( )
A.函数Fx是奇函数B.方程Fx=0有三个异根
C.函数Fx有4个单调区间D.函数Fx有最大值1，无最小值

10. 已知偶函数f(x)的图象经过点(−1, −3)，且当0≤aA.(3, +∞)B.(1, 3)
C.(−∞, 1)∪(3, +∞)D.[1, 3]
二、多选题

若任意x1,x2∈D且x1≠x2，均有fx1+fx22>fx1+x22，则下列函数中满足条件的是( )
A.fx=x2,D=RB.fx=lnx,D=0,+∞
C.fx=sinx,D=π,2πD.fx=tanx,D=0,π2

）
设函数f(x)= |lg2x|,(02), 若实数a，b，c满足0A.ab=1B.abc∈2,52C.a+b>1D.c−a=32
三、填空题

函数fx=−3tanx+m在x∈−π4,π6有零点，则实数m的取值范围是________.

设0
函数f(x)=lga(6−ax)在[0, 2]上为减函数，则a的取值范围是________.

设函数f(x)=cs(ωx−π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
四、解答题

函数y=fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=x2−2x−1.
(1)求函数fx的解析式；

(2)当关于x的方程fx=m有四个不同的解时，求m的取值范围．

已知函数f(x)=12(sinx+sinx)，x∈R.
1求函数f(x)的最小正周期T和单调递增区间；

2若x∈[0, π]，且关于x的函数g(x)=2f2(x)−2f(x)−2a−1的最小值为12，求a的值．

已知函数fx=x+bx2+1是定义在−1,1上的奇函数，
(1)确定fx的解析式；

(2)用定义证明： fx在区间−1,1上是增函数；

(3)解关于t的不等式ft−1+ft<0.

已知0<α<π，且函数fα=cs3π2+α+sinα⋅1+csα1−csα−1
(1)化简fα；

(2)若fα=15，求sinαcsα和tanα的值．

设函数fx=sin2x+π6+a+12.
(1)写出函数fx的最小正周期、单调递减区间和对称轴；

(2)当x∈−π6,π3时，函数fx的最大值与最小值的和为32，求实数a的值；

(3)利用(2)中的a值，解不等式fx≥0x∈R.

已知函数f(x)=2x.
(1)解不等式f(x)−f(2x)>16−9×2x；

(2)若函数q(x)=f(x)−f(2x)−m在[−1, 1]上存在零点，求m的取值范围；

(3)若函数f(x)=g(x)+ℎ(x)，其中g(x)为奇函数，ℎ(x)为偶函数，若不等式2ag(x)+ℎ(2x)≥0对任意x∈[1, 2]恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省荆州市某校高一（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
幂函数的图像
【解析】
根据幂函数y=x32性质，即可得出正确的选项．
【解答】
解：幂函数y=x32的定义域是0,+∞ ，可以排除CD选项；
当x>1时，幂函数y=x32的函数值大于y=x的函数值，
故当x>1时，幂函数y=x32的图象高于y=x的图象，故排除选项A.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用lga(xy)=lgax+lgay(x、y>0)，化简a，b，c然后比较lg32，lg52，lg72大小即可．
【解答】
解：因为a=lg36=1+lg32，b=lg510=1+lg52，c=lg714=1+lg72，
因为y=lg2x是增函数，
所以lg27>lg25>lg23.
因为lg27=1lg72，lg25=1lg52，lg23=1lg32，
所以lg32>lg52>lg72，
所以a>b>c.
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
诱导公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
利用诱导公式化简求值.
【解答】
解：因为cs(−80∘)=cs80∘=k，
所以sin80∘=1−cs280∘=1−k2，
所以tan100∘=−tan80∘=−sin80∘cs80∘=−1−k2k．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质
正弦函数的奇偶性
正切函数的奇偶性与对称性
【解析】
令fx=fx−2=msinx−ntanx，知ℎx为奇函数，则ℎ−x+ℎx=0，
即f−x−2+fx−2=0，得f−x+fx=4 .
【解答】
解：令ℎx=fx−2=msinx−ntanx，
知ℎx为奇函数，则ℎ−x+ℎx=0，
即f−x−2+fx−2=0，得f−x+fx=4 ，
即f(−π6)+f(π6)=4.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
弧长公式
【解析】
由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．
【解答】
解：由题得：弓所在的弧长为：l=π4+π4+π8=5π8，
所以其所对的圆心角α=5π854=π2，
所以两手之间的距离d=2Rsinπ4=2×1.25≈1.768（米）．
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
函数的求值
【解析】
利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．
【解答】
解：∵ 函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx．
当0≤x<π时，f(x)=0，
∴ f(23π6)=f(π+17π6)
=f(17π6)+sin17π6
=f(11π6)+sin11π6+sin17π6
=f(5π6)+sin5π6+sin11π6+sin17π6
=sin5π6+sin11π6+sin17π6
=12−12+12
=12．
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
让两段均为增函数且两段的端点值须满足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值即可
【解答】
解：∵ f(x)在(−∞, +∞)上单调递增，
∴ a−2>0，a>1，lga1≥(a−2)×1−1，
解得：2故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的根的分布与系数的关系
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
由判别式△大于或等于零求得 m≤0，或 m≥4，再由一元二次方程的根与系数的关系可得 sinθ+csθ=−m2，sinθ⋅csθ=m4．再由sin2θ+cs2θ=1，可得 m24=m2+1，由此求得m的值，进而求得sinθ+csθ的值．
【解答】
解：∵ sinθ，csθ是方程4x2+2mx+m=0的两根，
则判别式Δ=4m2−16m≥0，
解得 m≤0或 m≥4.
再由根与系数的关系可得 sinθ+csθ=−m2，sinθ⋅csθ=m4．
再由同角三角函数的基本关系sin2θ+cs2θ=1,
可得 m24=m2+1，
解得m=5+1（舍去），或 m=1−5．
故选B．
9.
【答案】
A
【考点】
函数新定义问题
函数的最值及其几何意义
函数的单调性及单调区间
分段函数的应用
二次函数的图象
【解析】
根据题意将函数解析式写出，并画出图象，结合图象，对选项逐一分析判断即可.
【解答】
解：依题意，得F(x)=2−x2,x≤−1或x≥1,x2,−1画出Fx的图象如图所示（图中实线部分）．
由图可知，Fx为偶函数，故A错误；
方程Fx=0有三个根，分别是−2,0,2，故B正确；
Fx的单调增区间为−∞,−1，0,1,
Fx的单调减区间为−1,0,[1,+∞) ，
所以函数Fx有4个单调区间，故C正确；
当x=±1时，Fx取得最大值为1，无最小值，故D正确.
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
先求出f(1)＝−3，再根据定义法，判断出函数f(x)在[0，十∞)上为减函数，得到|x−2|>1，得出结论．
【解答】
解：根据题意，f(x)为偶函数，且经过点(−1, −3)，则点(1, −3)也在函数图象上，即f(1)=−3，
当0≤a∵ f(x−2)+3<0，
∴ f(x−2)<−3=f1，
∴ fx−2∴ x−2>1，
解得x<1或x>3.
故选C.
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
函数的图象
【解析】
由题知图象为区间D上的凹函数，只有fx=lnx,D=0,+∞为凸函数．
【解答】
解：由题知图象为区间D上的凹函数，只有fx=lnx,D=0,+∞为凸函数．
故选ACD.
【答案】
A,B,C,D
【考点】
分段函数的应用
【解析】
画出如右函数图象可知：12①fa=fb，得−lg2a=lg2b，即ab=1 .
②由ab=1，可得abc=c∈2,52且a+b>2ab=1，B，C均成立．
③fa=fc得−lg2a=lg12c−32，即lg12a=lg12c−32，得c−a=32 .
【解答】
解：画出如图函数f(x)图象，
可知：12fa=fb，得−lg2a=lg2b，即ab=1 ，故A正确.；
由ab=1，可得abc=c∈2,52，故B正确；
a+b>2ab=2>1，故C正确；
fa=fc得−lg2a=lg12c−32，即lg12a=lg12c−32，得c−a=32 ，故D正确.
故选ABCD.
三、填空题
【答案】
−3,3
【考点】
函数的零点
正切函数的定义域
【解析】
即方程m=3tanx有解，由x∈−π4,π6，得tanx∈−1,33，故m∈−3,3 .
【解答】
解：即方程m=3tanx有解，由x∈−π4,π6，得tanx∈−1,33，故m∈−3,3 .
故答案为：−3,3.
【答案】
−2≤k≤4
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】

【解答】
解：因为2m+21−m=21m+11−mm+1−m
=22+1−mm+m1−m≥8，
所以k2−2k≤8，解得−2≤k≤4 .
故答案为：−2≤k≤4 .
【答案】
1【考点】
复合函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设u=6−ax，a>0，
由题意得该函数是减函数，且u>0在[0,2]上恒成立，
∴ a>1,6−2a>0,
∴ 1故答案为：1【答案】
23
【考点】
三角函数的最值
【解析】
利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．
【解答】
解：函数f(x)=cs(ωx−π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，
可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k∈Z，解得ω=8k+23，k∈Z，ω>0，
则ω的最小值为：23．
故答案为：23．
四、解答题
【答案】
解：(1)当x<0时，−x>0，则f−x=x2+2x−1=fx，
即x<0时，fx=x2+2x−1，
所以fx=x2−2x−1,x≥0,x2+2x−1,x<0.
(2)即直线y=m与y=fx的图象有四个交点，由图象可知，m的取值范围是−2,−1 .
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
根的存在性及根的个数判断
分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】
（1）当x<0,−x>0，则f−x=x2+2x−1=fx，即x<0时fx=x2+2x−1，
所以fx=x2−2x−1,x≥0x2+2x−1,,x<0 .
（2）即直线y=m与y=fx的图象有四个交点，由图象可知，M的取值范围是−2,−1 .
【解答】
解：(1)当x<0时，−x>0，则f−x=x2+2x−1=fx，
即x<0时，fx=x2+2x−1，
所以fx=x2−2x−1,x≥0,x2+2x−1,x<0.
(2)即直线y=m与y=fx的图象有四个交点，由图象可知，m的取值范围是−2,−1 .
【答案】
解：(1)∵ f(x)=12(sinx+|sinx|)(x∈R)
=sinx,sinx≥0,0,sinx<0=sinx,2kπ≤x≤2kπ+π,0,2kπ−π故函数的周期T=2π，单调递增区间为[2kπ,2kπ + 12π]，k∈Z.
2∵ x∈[0, π]，
∴ f(x)∈[0, 1]，
∵ g(x)=2f2(x)−2f(x)−2a−1，
令t=f(x)，则0≤t≤1，
∴ y=2t2−2t−(2a+1)开口向上，对称轴为t=12，
∴ − (2a + 32) = 12，
∴ a=−1．
【考点】
正弦函数的单调性
正弦函数的周期性
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
1结合正弦函数的性质对已知函数进行化简即可求解故函数的周期及单调递增区间．
2利用换元法，然后结合二次函数的性质即可求解a．
【解答】
解：(1)∵ f(x)=12(sinx+|sinx|)(x∈R)
=sinx,sinx≥0,0,sinx<0=sinx,2kπ≤x≤2kπ+π,0,2kπ−π故函数的周期T=2π，单调递增区间为[2kπ,2kπ + 12π]，k∈Z.
2∵ x∈[0, π]，
∴ f(x)∈[0, 1]，
∵ g(x)=2f2(x)−2f(x)−2a−1，
令t=f(x)，则0≤t≤1，
∴ y=2t2−2t−(2a+1)开口向上，对称轴为t=12，
∴ − (2a + 32) = 12，
∴ a=−1．
【答案】
(1)解：因为函数fx是定义在−1,1上的奇函数，所以f0=0，得b=0，故函数fx=xx2+1 .
(2)证明：−1又由−10，
所以fx1−fx2<0，即fx在区间−1,1上是增函数．
(3)解：由于fx为−1,1上的增函数且为奇函数，所以ft−1+ft<0，得ft−1【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数奇偶性的性质
函数单调性的判断与证明
奇偶性与单调性的综合
【解析】



【解答】
(1)解：因为函数fx是定义在−1,1上的奇函数，所以f0=0，得b=0，故函数fx=xx2+1 .
(2)证明：−1又由−10，
所以fx1−fx2<0，即fx在区间−1,1上是增函数．
(3)解：由于fx为−1,1上的增函数且为奇函数，所以ft−1+ft<0，得ft−1【答案】
解：(1)fα=sinα+sinα⋅1+csα21−cs2α−1=sinα+csα.
(2)由sinα+csα=15，平方得1+2sinαcsα=125，得sinαcsα=−1225；
∵ sinαcsα=−1225<0，又0<α<π，
∴ sinα>0，csα<0，
∴ sinα−csα>0，
∴ sinα−csα2=1−2sinαcsα=4925，
得sinα−csα=75，
∴ tanα=−43．
【考点】
三角函数的化简求值
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】

暂无
【解答】
解：(1)fα=sinα+sinα⋅1+csα21−cs2α−1=sinα+csα.
(2)由sinα+csα=15，平方得1+2sinαcsα=125，得sinαcsα=−1225；
∵ sinαcsα=−1225<0，又0<α<π，
∴ sinα>0，csα<0，
∴ sinα−csα>0，
∴ sinα−csα2=1−2sinαcsα=4925，
得sinα−csα=75，
∴ tanα=−43．
【答案】
解：(1)∵ ω=2，
∴ 函数fx的最小正周期T=2π|ω|=π.
∵ π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，
∴ 函数fx的单调递减区间为π6+kπ,2π3+kπ，k∈Z.
∵ 2x+π6=kπ+π2，得x=kπ2+π6，k∈Z，
∴ 函数fx的对称轴为x=kπ2+π6，k∈Z．
(2)∵ −π6≤x≤π3，∴ −π6≤2x+π6≤5π6，∴ −12≤sin2x+π6≤1，
∴ fx的最值之和为1+a+12+−12+a+12=32，解得a=0．
(3)∵ fx=sin2x+π6+12≥0，得sin2x+π6≥−12，
∴ −π6+2kπ≤2x+π6≤7π6+2kπ，得−π6+kπ≤x≤π2+kπ，k∈Z，
故不等式解集为−π6+kπ,π2+kπ，k∈Z．
【考点】
正弦函数的单调性
正弦函数的周期性
正弦函数的对称性
三角函数的最值
正弦函数的定义域和值域
【解析】
暂无
暂无
暂无
【解答】
解：(1)∵ ω=2，
∴ 函数fx的最小正周期T=2π|ω|=π.
∵ π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，
∴ 函数fx的单调递减区间为π6+kπ,2π3+kπ，k∈Z.
∵ 2x+π6=kπ+π2，得x=kπ2+π6，k∈Z，
∴ 函数fx的对称轴为x=kπ2+π6，k∈Z．
(2)∵ −π6≤x≤π3，∴ −π6≤2x+π6≤5π6，∴ −12≤sin2x+π6≤1，
∴ fx的最值之和为1+a+12+−12+a+12=32，解得a=0．
(3)∵ fx=sin2x+π6+12≥0，得sin2x+π6≥−12，
∴ −π6+2kπ≤2x+π6≤7π6+2kπ，得−π6+kπ≤x≤π2+kπ，k∈Z，
故不等式解集为−π6+kπ,π2+kπ，k∈Z．
【答案】
解：(1)设t=2x，
∴t−t2>16−9t，
即t2−10t+16<0，
∴ 2∴ 1∴ 不等式的解集为(1, 3)．
(2)设t=2x，
∵ x∈[−1, 1]，
∴ t∈[12,2].
设G(t)=t−t2=−(t−12)2+14，
当t=12时，G(t)max=14,
当t=2时，G(t)min=−2，
∴ G(t)的值域为[−2,14]．
函数有零点等价于G(t)=t−t2与y=m有交点，
∴ m的取值范围为[−2,14]．
(3)由题意得f(x)=g(x)+ℎ(x)=2x，f(−x)=g(−x)+ℎ(−x)=2−x，
∵ g(x)为奇函数，ℎ(x)为偶函数，
解得g(x)=2x−2−x2，ℎ(x)=2x+2−x2，
2ag(x)+ℎ(2x)≥0，
即(2x−2−x)a+22x+2−2x2≥0对任意x∈[1, 2]恒成立，
当x∈[1, 2]时，令t=2x−2−x，t∈[32,154]，
则a≥−12(t+2t)，
又t+2t在t∈[32,154]上单调递增，
当t=32时，−12(t+2t)有最大值−1712，
∴ a≥−1712.
【考点】
一元二次不等式的解法
函数的零点
二次函数在闭区间上的最值
函数恒成立问题
函数奇偶性的性质
【解析】
（1）设t＝2x，利用f(x)>16−9×2x，转化不等式为二次不等式，求解即可．
（2）设t＝2x，求出t∈[12,2]，利用二次函数的性质求解最值．然后求解m的取值范围为[−2,14]．
（3）利用函数的奇偶性以及函数恒成立，结合基本不等式求解函数的最值，推出结果．
【解答】
解：(1)设t=2x，
由f(x)>16−9×2x得t−t2>16−9t，
即t2−10t+16<0，
∴ 2∴ 1∴ 不等式的解集为(1, 3)．
(2)设t=2x，
∵ x∈[−1, 1]，
∴ t∈[12,2].
设G(t)=t−t2=−(t−12)2+14，
当t=12时，G(t)max=14,
当t=2时，G(t)min=−2，
∴ G(t)的值域为[−2,14]．
函数有零点等价于G(t)=t−t2与y=m有交点，
∴ m的取值范围为[−2,14]．
(3)由题意得f(x)=g(x)+ℎ(x)=2x，f(−x)=g(−x)+ℎ(−x)=2−x，
∵ g(x)为奇函数，ℎ(x)为偶函数，
解得g(x)=2x−2−x2，ℎ(x)=2x+2−x2，
2ag(x)+ℎ(2x)≥0，
即(2x−2−x)a+22x+2−2x2≥0对任意x∈[1, 2]恒成立，
当x∈[1, 2]时，令t=2x−2−x，t∈[32,154]，
则a≥−12(t+2t)，
又t+2t在t∈[32,154]上单调递增，
当t=32时，−12(t+2t)有最大值−1712，
∴ a≥−1712.