2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高一（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{x∈U||x﹣2|≥1}，则∁UA＝（　　）
A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x≤3} C．{2} D．{1，﹣2，3}
2．（5分）已知，，，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
3．（5分）将函数f（x）的图象沿x轴向右平移一个单位后，所得图象对应的解析式为，若f（x0）＝2，则x0＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（5分）已知α∈[0，2π]，点P（1，tan2）是角α终边上一点，则α＝（　　）
A．2 B．2+π C．π﹣2 D．2+π或2
5．（5分）某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长13%，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（　　）（参考数据：lg2≈0.3，lg1.13≈0.053）
A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年
6．（5分）函数（其中a为实数）的图象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（5分）﹣tan50°＝（　　）
A． B． C． D．3
8．（5分）已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）＞0，且对任意的x，y∈（﹣1，1），均有f（x+y）[1﹣f（x）f（y）]＝f（x）+f（y）．若，则x的取值范围是（　　）（ e是自然对数的底数）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．（5分）已知a，b均为实数，则“a＞b”成立的必要条件可以是（　　）
A．|a|＞b B．﹣a＜1﹣b C．a3＞b3 D．
10．（5分）已知函数f（x）＝4sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|≤π）为偶函数，点A（x1，﹣1），B（x2，﹣1）是f（x）图象上的两点，若|x1﹣x2|的最小值为2，则下列说法正确的有（　　）
A．
B．
C．f（1）＝﹣1
D．f（x）在区间[x1﹣1，x1+1]上单调递增
11．（5分）关于函数，下列说法正确的有（　　）
A．函数f（x）是周期为2的周期函数
B．f（2）＝2
C．不等式f（x）＞1的解集是
D．若存在实数a，b，c（a＜b＜c）满足f（a）＝f（b）＝f（c），则的取值范围是[10，19）
12．（5分）已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足：对任意的x∈R，都有f（x）＝﹣f（x+1）．设g（x）＝x+f（x），且当0≤x≤1时，g（x）的值域为[0，1]，则下列说法正确的有（　　）
A．f（x）的图象关于直线轴对称
B．f（x）在[0，2]内至少有5个零点
C．f（x）的图象关于点（1，0）中心对称
D．g（x）在[0，3]上的值域为[0，3]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）计算＝　 　．
14．（5分）已知，0＜α＜π，则cosα＝　 　．
15．（5分）已知a，b，c均为正实数，满足ac+2bc＝ab，则的最小值是　 　．
16．（5分）对于实数m，若两函数f（x），g（x）满足：①∀x∈[m，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，m]，f（x）g（x）＜0，则称函数f（x）和g（x）互为“m相异”函数．若f（x）＝ax2+ax﹣1和g（x）＝x﹣1互为“1相异”函数，则实数a的取值范围是　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知全集U＝R，集合A＝{x|1＜2x＜4}，集合．
（Ⅰ）当a＝1时，求A∩（∁UB）；
（Ⅱ）若A∩B＝A，且A∪（∁UB）＝U，求实数a的值．
18．已知函数，．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间和最值；
（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣a有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
19．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0（k∈R）的解集为A．
（Ⅰ）写出集合A；
（Ⅱ）若集合A中恰有9个整数，求实数k的取值范围．
20．如图所示，摩天轮的半径为50m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．甲，乙两游客分别坐在P，Q两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点）．

（Ⅰ）求劣弧PQ的弧长l（单位：m）；
（Ⅱ）设游客丙从最低点M处进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于时间t的函数解析式；
（Ⅲ）若游客在距离地面至少85m的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．
21．已知函数，．
（Ⅰ）根据定义证明函数f（x）是减函数；
（Ⅱ）若存在两不相等的实数a，b，使f（a+1）+f（b+1）＝0，且g（a）+g（b）＝0，求实数m的取值范围．
22．设函数f（x）＝ax2﹣|x﹣a|，a∈R．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）当﹣1≤a≤2时，若对任意的x∈[1，3]，均有f（x）+bx≤0成立，求a2+b的最大值．

2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{x∈U||x﹣2|≥1}，则∁UA＝（　　）
A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x≤3} C．{2} D．{1，﹣2，3}
【解答】解：∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{x∈U|x≤1或x≥3}＝{0，1，3，4}，
∴∁UA＝{2}．
故选：C．
2．（5分）已知，，，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解答】解：∵，，
∴a＜b＜c．
故选：A．
3．（5分）将函数f（x）的图象沿x轴向右平移一个单位后，所得图象对应的解析式为，若f（x0）＝2，则x0＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：将的图象沿x轴向右左移一个单位后，得到f（x），即f（x）＝（x+1）＝，
由f（x0）＝2得＝2，得x0+1＝4，得x0＝3，
故选：B．
4．（5分）已知α∈[0，2π]，点P（1，tan2）是角α终边上一点，则α＝（　　）
A．2 B．2+π C．π﹣2 D．2+π或2
【解答】解：因为点P（1，tan2）是角α终边上一点，
所以tanα＝tan2，
可得α＝2+kπ，k∈Z，
因为α∈[0，2π]，α在第四象限，
所以α＝2+π．
故选：B．
5．（5分）某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长13%，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（　　）（参考数据：lg2≈0.3，lg1.13≈0.053）
A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年
【解答】解：由题意可知，研发资金的投入成等比数列的模型，设第n年投入的研发资金超过800万，
则250（1+13%）n＞800，
即1.13n＞，两边去常用对数得，
n＞9.43，
故选：D．
6．（5分）函数（其中a为实数）的图象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，，
当a＝0时，f（x）＝＝（）x，为指数函数，与D选项对应，
当a＝1时，f（x）＝＝，为奇函数，且在（0，+∞）、（﹣∞，0）上是减函数，与A选项对应，
当a＝﹣1时，f（x）＝＝，为偶函数，在（0，+∞）上是减函数，（﹣∞，0）上为增函数，与B选项对应，
对于C，f（x）为偶函数，必有f（﹣x）＝f（x），即＝，则有＝，必有a＝﹣1，此时f（0）＝，与图象不符，
故选：C．
7．（5分）﹣tan50°＝（　　）
A． B． C． D．3
【解答】解：＝﹣＝﹣
＝﹣＝﹣
＝＝＝＝．．
故选：A．
8．（5分）已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）＞0，且对任意的x，y∈（﹣1，1），均有f（x+y）[1﹣f（x）f（y）]＝f（x）+f（y）．若，则x的取值范围是（　　）（ e是自然对数的底数）
A． B．
C． D．
【解答】解：对任意的x，y∈（﹣1，1），都有f（x+y）[1﹣f（x）f（y）]＝f（x）+f（y），
令x＝y＝0，则f（0）[1﹣f（0）f（0）]＝f（0）+f（0），
f（0）[﹣1﹣f（0）2]＝0，∴f（0）＝0，
令y＝﹣x，则f（x﹣x）＝f（0）＝f（x）+f（﹣x），
∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数．
设x1，x2∈[0，1），且x1＜x2，则x1﹣x2＜0，令y＝﹣x2，
则 f（x1﹣x2）[1﹣f（x1）f（﹣x2）]＝f（x1）+f（﹣x2），
由f（x）是奇函数，可得f（x1﹣x2）[1+f（x1）f（x2）]＝f（x1）﹣f（x2），
∵当x＞0时，f（x）＞0，且 x1，x2∈[0，1），
∴1+f（x1）f（x2）＞0，
由函数f（x）是奇函数，可得当x＜0时，f（x）＜0，
∴f（x1﹣x2）[1+f（x1）f（x2）]＜0，即 f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f （x） 在[0，1）上是增函数，
∴函数f （x） 在（﹣1，1）上是增函数，
则不等式等价于，
解得＜x＜，即不等式的取值范围是（，）．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．（5分）已知a，b均为实数，则“a＞b”成立的必要条件可以是（　　）
A．|a|＞b B．﹣a＜1﹣b C．a3＞b3 D．
【解答】解：a＞b，当a＞b＞0时，|a|＞b成立，
当a＞0＞b时，|a|＞b成立，
当0＞a＞b时，|a|＞b成立，故选项A正确；
因为a＞b，则b﹣a＜0，则b﹣a＜1，所以﹣a＜1﹣b，故选项B正确；
因为y＝x3在R上单调递增，所以a＞b，可推出a3＞b3，故选项C正确；
因为a＞b，取a＝2，b＝﹣3，，故选项D不正确．
故选：ABC．
10．（5分）已知函数f（x）＝4sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|≤π）为偶函数，点A（x1，﹣1），B（x2，﹣1）是f（x）图象上的两点，若|x1﹣x2|的最小值为2，则下列说法正确的有（　　）
A．
B．
C．f（1）＝﹣1
D．f（x）在区间[x1﹣1，x1+1]上单调递增
【解答】解：由f（x）＝﹣1，得4sin（ωx+φ）﹣1＝﹣1，即sin（ωx+φ）＝0，
∵|x1﹣x2|的最小值为2，
∴＝2，即T＝4，即＝4，
则ω＝，故A正确，
∵f（x）是偶函数，∴φ＝kπ+，k∈Z，
∵|φ|≤π，∴k＝0时，φ＝，k＝﹣1时，φ＝﹣，故B错误，
综上f（x）＝4sin（x+）x﹣1＝4cosx﹣1，或f（x）＝4sin（x﹣）x﹣1＝﹣4cosx﹣1，
则f（1）＝﹣1，故C正确，
∵A（x1，﹣1），B（x2，﹣1），
∴4cosx1﹣1＝﹣1，即cosx1＝0，
即x1，是函数y＝cosx的零点，
∵[x1﹣1，x1+1]的区间长度为2，是半个周期，则函数在[x1﹣1，x1+1]上不具备单调性，故D错误，
故选：AC．
11．（5分）关于函数，下列说法正确的有（　　）
A．函数f（x）是周期为2的周期函数
B．f（2）＝2
C．不等式f（x）＞1的解集是
D．若存在实数a，b，c（a＜b＜c）满足f（a）＝f（b）＝f（c），则的取值范围是[10，19）
【解答】解：函数，作出图象如图所示，
根据f（x）的图象可知，图象没有重复出现的部分，故函数f（x）不是周期函数，故选项A错误；
f（2）＝2cos2π＝2，故选项B正确；
当0≤x≤2时，若f（x）＝1，则2cosπx＝1，即，解得或，
当x＞2时，若f（x）＝1，则﹣log2x+2＝1，即log2x＝1，解得x＝1，
结合f（x）的图象可得，不等式f（x）＞1的解集是，
故选项C正确；
因为存在实数a，b，c（a＜b＜c）满足f（a）＝f（b）＝f（c），
则函数f（x）与y＝m的图象有三个不同的交点，
其中a和b关于f（x）＝2cosπx的对称轴x＝1对称，故a+b＝2，
当﹣log2x+2＝﹣2时，x＝16，故c的取值范围是2＜c＜16，
所以＝，当且仅当，即c＝4时取等号，
所以的最小值为10，
当c＝2时，的值为12，当c＝16时，的值为19，
故的取值范围为[10，19），故选项D正确．
故选：BCD．

12．（5分）已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足：对任意的x∈R，都有f（x）＝﹣f（x+1）．设g（x）＝x+f（x），且当0≤x≤1时，g（x）的值域为[0，1]，则下列说法正确的有（　　）
A．f（x）的图象关于直线轴对称
B．f（x）在[0，2]内至少有5个零点
C．f（x）的图象关于点（1，0）中心对称
D．g（x）在[0，3]上的值域为[0，3]
【解答】解：∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
又∵f（x）＝﹣f（x+1），
∴﹣f（﹣x）＝﹣f（x+1），即f（﹣x）＝f（x+1），
∴f（x）关于直线x＝对称，
又f（x+1）＝﹣f（x+2），f（x+1）＝﹣f（x），
∴f（x）＝f（x+2），即函数f（x）的周期为2，
∴函数f（x）的图象关于直线轴对称，且关于点（1，0）中心对称，故A，C选项正确；
显然在x∈[0，2]，f（0）＝f（1）＝f（2），故f（x）在[0，2]时至少有3个零点，故选项B错误；
又g（x）＝x+f（x），故g（x）为奇函数，
当0≤x≤1时，g（x）的值域为[0，1]，则当﹣1≤x≤0时，g（x）的值域为[﹣1，0]，
当1≤x≤2时，﹣1≤x﹣2≤0，g（x）＝x+f（x）＝x﹣2+f（x﹣2）+2的值域为[1，2]，
当2≤x≤3时，0≤x﹣2≤1，g（x）＝x+f（x）＝x﹣2+f（x﹣2）+2的值域为[2，3]，
综上，当x∈[0，3]时，g（x）的值域为[0，3]，故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）计算＝　6　．
【解答】解：∵，
∴＝2×3＝6，
故答案为：6．
14．（5分）已知，0＜α＜π，则cosα＝　﹣　．
【解答】解：∵0＜α＜π，∴＜α+＜π+，
∵∈（，），
∴＜α+＜（舍）或＜α+＜，
即cos（α+）＜0，即cos（α+）＝﹣，
则cosα＝cos（+α﹣）＝coscos（α+）+sinsin（α+）＝（﹣+）＝﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（5分）已知a，b，c均为正实数，满足ac+2bc＝ab，则的最小值是　3+2　．
【解答】解：∵a，b，c均为正实数，且ac+2bc＝ab，
∴＝（+）＝3++≥3+2＝3+2，
当且仅当a＝b时取等号，
故的最小值是3+2．
故答案为：3+2．
16．（5分）对于实数m，若两函数f（x），g（x）满足：①∀x∈[m，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，m]，f（x）g（x）＜0，则称函数f（x）和g（x）互为“m相异”函数．若f（x）＝ax2+ax﹣1和g（x）＝x﹣1互为“1相异”函数，则实数a的取值范围是　a＜﹣4　．
【解答】解：由题意可知，f（x）＝ax2+ax﹣1和g（x）＝x﹣1互为“1相异”函数，
则∀x∈[1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0，
因为g（x）≥0，不满足恒小于0，
所以f（x）＜0对∀x∈[1，+∞）恒成立，
又∃x∈（﹣∞，1]，f（x）g（x）＜0，
因为g（x）≤0，
所以f（x）＞0在x∈（﹣∞，1]上有解，
先解：f（x）＜0对∀x∈[1，+∞）恒成立，
因为f（x）＝ax2+ax﹣1，对称轴为且恒过点（0，1），
①a＝0时，f（x）＝﹣1＜0恒成立，符合题意；
②当a＞0时，不符合题意；
③当a＜0时，f（x）＜0在[1，+∞）上恒成立，
故a的取值范围为a≤0；
再解：f（x）＞0在x∈（﹣∞，1]上有解，
①当a＝0时，f（x）＝﹣1＜0恒成立，不符合题意；
②当a＞0时，f（x）＞0在x∈（﹣∞，1]上有解，符合题意；
③当a＜0时，则有，即，解得a＜﹣4，
故a的取值范围为a＜﹣4或a＞0，
综上可得，实数a的取值范围为a＜﹣4．
故答案为：a＜﹣4．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知全集U＝R，集合A＝{x|1＜2x＜4}，集合．
（Ⅰ）当a＝1时，求A∩（∁UB）；
（Ⅱ）若A∩B＝A，且A∪（∁UB）＝U，求实数a的值．
【解答】解：已知A＝{x|1＜2x＜4}＝（0，2），B＝{y|0＜y＜a2}，
（Ⅰ）当a＝1时，B＝{y|y＝}＝（0，1），
所以∁UB＝{y|y≥1或y≤0}，
所以A∩∁UB＝[1，2）；
（Ⅱ）B＝{y|0＜y＜a2}，所以C，
由A∩B＝A且A∪∁UB＝U可得：，则a2＝2，
所以a＝．
18．已知函数，．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间和最值；
（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣a有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）
＝
＝
＝
＝，
令，
解得，
因为，
所以当k＝0时，f（x）的单调递增区间为．
所以当时，f（x）取得最大值为；
（Ⅱ）函数g（x）＝f（x）﹣a有且仅有一个零点，
等价于函数y＝f（x）与y＝a的图象只有一个交点，
作出函数f（x）的图象如图所示，
因为f（0）＝1，，
由图可知．

19．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0（k∈R）的解集为A．
（Ⅰ）写出集合A；
（Ⅱ）若集合A中恰有9个整数，求实数k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当k＝0时，不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0可化为﹣4（x﹣4）＞0，解得x＜4，
所以不等式的解集为A＝（﹣∞，4）；
当k≠0时，方程（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＝0的两根分别为4和k+，
当k＞0时，k+≥2＝4，不等式的解集为A＝（﹣∞，4）∪（k+，+∞）；
当k＜0时，k+＜0＜4，不等式的解集为A＝（k+，4）．
（Ⅱ）若集合A中恰有9个整数，则，
即，
解得，
即﹣3﹣≤k＜﹣4或﹣1＜k≤﹣3+；
所以实数k的取值范围是[﹣3﹣，﹣4）∪（﹣1，﹣3+]．
20．如图所示，摩天轮的半径为50m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．甲，乙两游客分别坐在P，Q两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点）．

（Ⅰ）求劣弧PQ的弧长l（单位：m）；
（Ⅱ）设游客丙从最低点M处进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于时间t的函数解析式；
（Ⅲ）若游客在距离地面至少85m的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．
【解答】解：（Ⅰ）∠POQ＝，由弧长公式可得，l＝m；
（Ⅱ）设H＝Asin（ωx+φ）+B，由题意，T＝12，∴ω＝，
A＝r＝50，B＝OM＝110﹣50＝60，∴H＝50sin（φ）+60，
当x＝0时，可得sinφ＝﹣1，∴φ＝，得H＝50sin（）+60（0≤x≤12）；
（Ⅲ）H＝50sin（）+60≥85，∴sin（），
令，k∈Z，
∴4+12k≤x≤8+12k，k∈Z，
而甲乙相差min，
又4﹣min，∴有min甲乙都有最佳视觉效果．
21．已知函数，．
（Ⅰ）根据定义证明函数f（x）是减函数；
（Ⅱ）若存在两不相等的实数a，b，使f（a+1）+f（b+1）＝0，且g（a）+g（b）＝0，求实数m的取值范围．
【解答】（Ⅰ）证明：令，解得0＜x＜2，故函数f（x）的定义域为（0，2），
设0＜x1＜x2＜2，
则，
因为0＜x1＜x2＜2，
所以0＜2x1＜2x2＜4，
则0＜2x1﹣x1x2＜2x2﹣x1x2，
故，
则，
故f（x1）﹣f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，2）上是减函数；
（Ⅱ）解：f（a+1）+f（b+1）＝0，即，
所以，
展开整理可得a+b＝0，
因为＝，
令t＝2x＞0，
则，
令，
因为g（a）+g（b）＝0，
所以φ（t1）+φ（t2）＝0，
因为a+b＝0，所以，
则φ（t1）+φ（t2）＝，
即，
因为a+1∈（0，2），b+1∈（0，2），
所以a∈（﹣1，1），b∈（﹣1，1），
故，，
令，
则有m（2μ﹣1）＝﹣μ2，
所以，
令，
则，
由对勾函数的性质可知，m在上单调递减，
故当时，m取得最大值，
所以m的取值范围为．
22．设函数f（x）＝ax2﹣|x﹣a|，a∈R．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）当﹣1≤a≤2时，若对任意的x∈[1，3]，均有f（x）+bx≤0成立，求a2+b的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）＝ax2﹣|x﹣a|，
所以f（﹣x）＝ax2﹣|x+a|，
当a＝0时，f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是偶函数；
当a≠0时，f（﹣x）≠f（x），f（﹣x）≠﹣f（x），所以f（x）是非奇非偶函数；
（Ⅱ）因为当﹣1≤a≤2时，若对任意的x∈[1，3]，均有f（x）+bx＝ax2﹣|x﹣a|+bx≤0成立，
所以令g（x）＝ax2﹣|x﹣a|+bx＝，
①当a＝0时，g（x）＝bx﹣x＝（b﹣1）x≤0，对任意的x∈[1，3]恒成立，
即3（b﹣1）≤0，解得b≤1，a2+b的最大值为1；
②当﹣1≤a＜0时，g（x）＝ax2﹣（x﹣a）+bx＝ax2+（b﹣1）x+a，x∈[1，3]，
对称轴为x＝，
i）≤1，则1﹣b≥2a，（a＜0不等号方向改变），g（1）≤0即a+b﹣1+a≤0，
所以b≤1﹣2a，则a2+b≤a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，a2+b的最大值为1；
ii）≥3时，1﹣b≤6a，即b≥1﹣6a，所以g（3）≤0，即b≤，无解；
iii）1＜＜3时，1﹣2a＜b＜1﹣6a，所以g（）≤0，即，
即4a2≥（1﹣b）2，所以1+2a≤b≤1﹣2a无解；
③当0＜a≤1时，g（x）＝ax2﹣（x﹣a）+bx＝ax2+（b﹣1）x+a，x∈[1，3]，
对称轴为x＝，
i）≤1，则1﹣b≤2a，g（3）≤0即b≤，无解；
ii）≥3时，1﹣b≥6a，即b≤1﹣6a，g（1）≤0，b≤1﹣2a，则b≤1﹣6a，
则a2+b≤a2﹣6a+1＝（a﹣3）2﹣8，
∵0＜a≤1，∴a2+b的最大值为1；
iii）1＜＜3时，1﹣6a≤b≤1﹣2a，g（3）≤0，g（1）≤0则b≤且b≤1﹣2a，
所以1﹣6a≤b≤，则a2+b≤a2+，a2+b的最大值为1；
④当1≤a≤2时，，
g（3）≤0，g（1）≤0，g（a）≤0，
即，则，
而1≤a≤2，∴b≤1﹣，则a2+b≤a2+1﹣，
令p（a）＝a2+1﹣，1≤a≤2，
则p'（a）＝2a﹣，即p（a）在[1，]上单调递减，在[，2]上单调递增，
又p（1）＝，p（2）＝﹣，
所以p（a）的最大值为．
综上所述，对任意的x∈[1，3]，均有f（x）+bx≤0成立，a2+b的最大值为（所有最大值中的最小值）．
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日期：2022/1/1 11:32:56；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983