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2020-2021学年山西省晋中市某校高一（上）期末考试数学（文）试卷人教A版（2019）
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这是一份2020-2021学年山西省晋中市某校高一（上）期末考试数学（文）试卷人教A版（2019），共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A=x|1≤2x<16，B=x|−5A.x|−5C.x|0≤x≤3D.x|3≤x<4
2. 设a=1.70.3， b=lg43.1，c=lg0.73，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b
3. 已知a>0，b>0，且2a+b=4，则ab的最大值为( )
A.14B.4C.12D.2
4. 已知tanx=2，则2sin2x1+cs2x=( )
A.2B.4C.22D.2
5. 函数fx=x−1ln2−x的定义域是（ ）
A.[1,+∞）B.1,2C.−∞,2D.0,1∪1,2
6. 函数y=csx|tanx|(−π2A.B.
C.D.
7. 如图点Px0,y0是角α0≤α<2π的终边与单位圆的交点，则点M(α,x0)一定在下列哪个函数图象上( )
A.y=sinxB.y=csxC.y=tanxD.y=x
8. 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlg21+SN，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比SN从1999提升至原来的10倍，则C大约变为原来的几倍（参考数据：lg2≈0.3，lg19991≈4.3）( )
A.2.5B.1.3C.10D.5
二、多选题
下列说法正确的是( )
A.函数fx=sin|x|是R上的偶函数
B.函数fx=sin|x|的一个周期为π
C.函数f(x)=lnx+x−2在区间1,2内有零点
D.函数fx=lnx+x−2在区间0,+∞上单调递增
下列不等式成立的是( )
A.若ab2
B.若ab=4，则a+b≥4
C.若a>b，则 ac2>bc2
D.若a>b>0 ，m>0，则ba
将函数y=cs2x的图象向左平移π6个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=fx的图象，对于函数y=fx有以下四个判断，其中正确的是（ ）
A.函数的解析式为y=2cs2x+π6
B.函数图象关于直线x=π3对称
C.函数在区间0,π6上单调递增
D.若函数y=fx+a在区间0,π2上的最小值为3，则a=2+3
设fx=|ex−1|，关于x的方程fx2−a⋅fx+1=0，给出下列四个叙述，其中正确的是( )
A.存在实数a>0，使得方程恰有1个实根
B.任意实数a>0，方程至少有1个实根
C.存在实数a>0，使得方程恰有3个不同的实根
D.存在实数a>0，使得方程恰有4个不同的实根
三、填空题
72∘化为弧度制为________.
已知f10x=x，则f5=________.
已知点Am−1,y1，Bm,y2，Cm+1,y3都在二次函数y=x2−2x的图象上，且y1
已知ω>0，函数fx=csωx+π3在区间π3,π2上单调递增，则实数ω的取值范围是________.
四、解答题
设全集为R，集合A=x|x2−2x−3>0，B=x|a−1(1)若a=−1，求∁RA∩B；
(2)在①A∪B=A，②A∩B=B，③∁RA∩B=⌀，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
(1)求值：0.01−12−2723+14−32；
(2)求值：34lg25+2lg23+lg22；
(3)化简：sinα−π2cs3π2+αtan2π−αtanα+πsinα+π．
新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p(x)万元，当产量不足90万箱时，p(x)=12x2+40x；当产量不小于90万箱时，p(x)=101x+8100x−2180，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
(1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式；
(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
已知函数fx=a⋅4x−2x+1−8．
(1)当a=1时，求不等式fx≥0的解集；
(2)若函数fx有零点，求实数a的取值范围．
已知定义在R上的函数fx=x2+2ax+5，定义在[0,+∞）上的函数gx=ex+a−2．
(1)当a>0时，若fx与gx的值域相同，求a的值；
(2)若Fx=fx，x<0, gx，x≥0, 讨论Fx的单调性．
如图，矩形ABCD中，AB=23，BC=4，点M，N分别在线段AB，CD（含端点）上，P为AD的中点，PM⊥PN，设∠APM=α．
(1)求角α的取值范围；
(2)求出△PMN的周长l关于角α的函数解析式fα，并求△PMN的周长l的最小值及此时α的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山西省晋中市某校高一（上）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
指、对数不等式的解法
【解析】
无
【解答】
解：因为集合A={x|0≤x<4}，
B={x|−5所以A∩B={x|0≤x≤3}．
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
无
【解答】
解：∵ 1.70.3>1.70=1，即a>1，
∵ 0=lg41∵ lg0.73∴ a>b>c，
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
【解答】
解：∵ a>0，b>0，
∴ 2a+b=4≥22ab（当且仅当2a=b时取等号），
∴ 2ab≤4，解得ab≤2，即ab的最大值为2，
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数间的基本关系
二倍角的余弦公式
二倍角的正弦公式
【解析】
无
【解答】
解：2sin2x1+cs2x=4sinxcsx2cs2x=2tanx=22．
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
无
【解答】
解：由题意知x−1≥0，2−x>0，ln2−x≠0，
解得1故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，函数是偶函数，故排除A，f(0)=0过原点，故排除B，
当x∈0,π2时，y=csxtanx=sinx，所以函数图象为C.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
无
【解答】
解：点Mα,x0即为Mα,csα，于是一定在y=csx图象上．
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
对数的运算性质
根据实际问题选择函数类型
【解析】
无
【解答】
解：C1=Wlg21+1999=Wlg22000，
C2=Wlg21+19990=Wlg219991，
于是C2C1=Wlg219991Wlg22000=lg19991lg2000=lg19991lg2+3=4.30.3+3≈1.3．
故选B．
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
命题的真假判断与应用
正弦函数的图象
函数零点的判定定理
【解析】
无
【解答】
解：对于A，由定义知f−x=fx，故A正确；
对于B，当x=2π3时，f2π3=32，
f2π3+π=−32，f2π3≠f2π3+π，故B错误；
对于C，当fx在(1,2)上连续，f(1)<0，f2>0，
由零点存在性定理知fx在(1,2)上有零点，故C正确；
对于D，y=lnx在0,+∞单调递增，y=x−2在0,+∞单调递增，
故fx在0,+∞单调递增，故D正确；
故选ACD．
【答案】
A,D
【考点】
不等式比较两数大小
不等式性质的应用
【解析】
利用不等式的性质，并且通过举反例对选项进行排除，即可求解.
【解答】
解：对于A，因为ab2，所以A成立;
对于B，当a<0，b<0时，比如a=−1，b=−4，此时a+b=−5，故B不一定成立;
对于C，当c=0时，ac2=bc2=0，所以C不一定成立;
对于D，ba−b+ma+m=b(a+m)−a(b+m)a(a+m)=(b−a)ma(a+m)，
因为a>b>0，所以b−a<0，
因为m>0，所以a+m>0，(b−a)ma(a+m)<0，即ba故选AD.
【答案】
B,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
正弦函数的单调性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
【解答】
解：A．将函数y=cs2x的图象向左平移π6个单位，
得到y=cs2x+π6=cs2x+π3的图象，
然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2cs2x+π3的图象，所以A不正确；
B．y=fπ3=2cs2×π3+π3=2csπ=−2，
所以函数图象关于直线x=π3对称，所以B正确；
C．∵ x∈0,π6，∴ π3≤2x+π3≤2π3，函数单调递减，所以C不正确；
D．y=fx+a=2cs2x+π3+a，
当0≤x≤π2时，π3≤2x+π3≤4π3，故−1≤cs2x+π3≤12，
所以当2x+π3=π，即x=π3时，函数fx取得最小值，
ymin=2csπ+a=−2+a=3，所以a=2+3，所以D正确．
故选BD．
【答案】
A,C
【考点】
根的存在性及根的个数判断
【解析】
无
【解答】
解： f(x)=|ex−1|的图象如图所示：
令t=fx，则t2−a⋅t+1=0，其中Δ=a2−4，
当a=2时，Δ=0，t1=t2=1，即fx=1，
由图可知，有一解，故A正确；
当0当a>2时，Δ>0，又t1+t2=a>0，t1t2=1，
不妨设t11，
由图可知，01时有一解，
共有三解，故C正确，D错误．
故选AC．
三、填空题
【答案】
25π
【考点】
弧度与角度的互化
【解析】
无
【解答】
解：由题意得，72∘=72180π=25π．
故答案为：25π．
【答案】
lg5
【考点】
函数的求值
【解析】
无
【解答】
解：令10x=5，∴ x=lg5，
∵ f10x=x，∴ f5=lg5，
故答案为：lg5．
【答案】
(32,+∞)
【考点】
二次函数的性质
【解析】
无
【解答】
解：在二次函数y=x2−2x中，其对称轴为x=1，
∵ m−1∴ 只需m−1>12即可，即m>32．
故答案为：(32,+∞)．
【答案】
2,103
【考点】
余弦函数的单调性
【解析】
无
【解答】
解：由−π+2kπ≤ωx+π3≤2kπ，
得−4π+6kπ3ω≤x≤−π+6kπ3ω，k∈Z，
即函数fx=csωx+π3的单调递增区间为：
−4π+6kπ3ω,−π+6kπ3ω，k∈Z，
又函数fx=csωx+π3在区间π3,π2上单调递增，
易知ω≤6，故k=1，
所以−4π+6π3ω≤π3，−π+6π3ω≥π2，解得2≤ω≤103．
故答案为：2,103．
四、解答题
【答案】
解：(1) A=x|x>3或x<−1，
当a=−1时，B={x|−2∴ ∁RA=x|−1≤x≤3，
∴ ∁RA∩B=x|−1≤x<1．
(2)①②③均等价于B⊆A，
当B=⌀时，即a−1≥2a+3，即a≤−4时满足题意；
当B≠⌀时，有a−1<2a+3，a−1≥3，或a−1<2a+3，2a+3≤−1，
解得a≥4或−4综上所述，a的取值范围为a≤−2或a≥4．
【考点】
补集及其运算
交集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1) A=x|x>3或x<−1，
当a=−1时，B={x|−2∴ ∁RA=x|−1≤x≤3，
∴ ∁RA∩B=x|−1≤x<1．
(2)①②③均等价于B⊆A，
当B=⌀时，即a−1≥2a+3，即a≤−4时满足题意；
当B≠⌀时，有a−1<2a+3，a−1≥3，或a−1<2a+3，2a+3≤−1，
解得a≥4或−4综上所述，a的取值范围为a≤−2或a≥4．
【答案】
解：(1)原式 =10−2−12−3323+122−32
=10−32+12−3
=10−9+8
=9．
(2)原式=34×2lg5+3+lg232
=32lg5+3+32lg2
=32lg5+lg2+3
=32lg10+3
=92．
(3)原式=−csαsinα−tanαtanα−sinα=−csα．
【考点】
有理数指数幂的化简求值
对数的运算性质
对数及其运算
三角函数的化简求值
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)原式 =10−2−12−3323+122−32
=10−32+12−3
=10−9+8
=9．
(2)原式=34×2lg5+3+lg232
=32lg5+3+32lg2
=32lg5+lg2+3
=32lg10+3
=92．
(3)原式=−csαsinα−tanαtanα−sinα=−csα．
【答案】
解：(1)根据题意，当0y=100x−(12x2+40x)−200
=−12x2+60x−200；
当x≥90时，
y=100x−(101x+8100x−2180)−200
=1980−(x+8100x)，
∴ y=−12x2+60x−200,0(2)①当0y=−12x2+60x−200
=−12(x−60)2+1600≤1600，
②当x≥90时，
y=1980−(x+8100x)
≤1980−2x⋅8100x=1800>1600，
当且仅当x=8100x，即x=90时，
y取得最大值，最大值为1800万元．
综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
基本不等式在最值问题中的应用
二次函数的性质
【解析】
（1）根据题意结合“利润＝销售收入-成本”，即可列出函数关系式；
（2）利用二次函数性质及基本不等式，求出分段函数各段函数上的最大值即可求解．
【解答】
解：(1)根据题意，当0y=100x−(12x2+40x)−200
=−12x2+60x−200；
当x≥90时，
y=100x−(101x+8100x−2180)−200
=1980−(x+8100x)，
∴ y=−12x2+60x−200,0(2)①当0y=−12x2+60x−200
=−12(x−60)2+1600≤1600，
②当x≥90时，
y=1980−(x+8100x)
≤1980−2x⋅8100x=1800>1600，
当且仅当x=8100x，即x=90时，
y取得最大值，最大值为1800万元．
综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大．
【答案】
解：(1)当a=1时， fx=4x−2x+1−8
=2x2−2⋅2x−8=2x−42x+2≥0，
所以2x≥4，所以x≥2,
故fx≥0的解集为x|x≥2．
(2)函数fx有零点，即fx=0有解，
令t=2xt>0，
故at2−2t−8=0在0,+∞有解，
即a=2t+8t2=2t+8t2在0,+∞有解，
1t∈0,+∞，ht=81t2+21t≥0 ，
于是a∈0,+∞．
【考点】
指、对数不等式的解法
指数函数的图象与性质
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当a=1时， fx=4x−2x+1−8
=2x2−2⋅2x−8=2x−42x+2≥0，
所以2x≥4，所以x≥2,
故fx≥0的解集为x|x≥2．
(2)函数fx有零点，即fx=0有解，
令t=2xt>0，
故at2−2t−8=0在0,+∞有解，
即a=2t+8t2=2t+8t2在0,+∞有解，
1t∈0,+∞，ht=81t2+21t≥0 ，
于是a∈0,+∞．
【答案】
解：(1) fx的值域为[5−a2,+∞），
又x∈[0,+∞)，所以x+a−2≥a−2，
所以ex+a−2≥ea−2，故gx的值域为[ea−2,+∞），
因为fx与gx的值域相同，故ea−2=5−a2，
令ha=ea−2−5+a2，
y=ea−2在0,+∞上单调递增，
y=−5+a2在0,+∞上单调递增，
故ha在0,+∞上单调递增，
又h2=0，于是a=2 ．
(2)由题得Fx=x2+2ax+5，x<0，ex+a−2，x≥0，
且 f0=5，g0=ea−2，
当a≤0时，此时x=−a≥0，
则Fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增；
当0则 Fx在−∞,−a上单调递减，在−a,0上单调递增，在0,+∞上单调递增；
当a≥ln5+2时，此时x=−a<0且ea−2≥5，
Fx在−∞,−a上单调递减，在−a,+∞上单调递增．
【考点】
函数的值域及其求法
函数的单调性及单调区间
分段函数的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1) fx的值域为[5−a2,+∞），
又x∈[0,+∞)，所以x+a−2≥a−2，
所以ex+a−2≥ea−2，故gx的值域为[ea−2,+∞），
因为fx与gx的值域相同，故ea−2=5−a2，
令ha=ea−2−5+a2，
y=ea−2在0,+∞上单调递增，
y=−5+a2在0,+∞上单调递增，
故ha在0,+∞上单调递增，
又h2=0，于是a=2 ．
(2)由题得Fx=x2+2ax+5，x<0，ex+a−2，x≥0，
且 f0=5，g0=ea−2，
当a≤0时，此时x=−a≥0，
则Fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增；
当0则 Fx在−∞,−a上单调递减，在−a,0上单调递增，在0,+∞上单调递增；
当a≥ln5+2时，此时x=−a<0且ea−2≥5，
Fx在−∞,−a上单调递减，在−a,+∞上单调递增．
【答案】
解：(1)由题意知，当点M位于B点时，角α取最大值，此时tanα=3，
因为0<α<π2，所以amax=π3 ．
当点N位于C点时， ∠DPN取最大值，角α取最小值，
由对称性知此时∠DPN=π3，
所以αmin=π2−π3=π6．
故所求α的取值范围为π6,π3．
(2)在Rt△PAM中，csα=PAPM，PA=2，所以PM=2csα．
在Rt△PDN中，cs∠DPN=csπ2−α=PDPN，PD=2，
所以PN=2csπ2−α=2sinα，
在△PMN中，由勾股定理得
MN2=PM2+PN2=4cs2α+4sin2α=4sin2αcs2α，
因为α∈π6,π3，
所以sinα>0，csα>0，
所以MN=2sinαcsα，
所以fα=2sinα+2csα+2sinαcsα
=21+sinα+csαsinαcsα，a∈π6,π3，
令t=sinα+csα=2sinα+π4，
因为α∈π6,π3，α+π4∈5π12,7π12，
所以sinα+π4∈6+24,1，
所以t=2sinα+π4∈3+12,2，
又sinαcsα=t2−12，
于是lt=2t+1t2−12=4t−1，
显然l(t)在3+12,2上单调递减，
故当t=2时， ltmin=42−1=42+1，
此时t=2sinα+π4=2，解得α=π4．
所以当α=π4时，△PMN周长l取得最小值42+1．
【考点】
三角函数
三角函数的最值
两角和与差的正弦公式
函数最值的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意知，当点M位于B点时，角α取最大值，此时tanα=3，
因为0<α<π2，所以amax=π3 ．
当点N位于C点时， ∠DPN取最大值，角α取最小值，
由对称性知此时∠DPN=π3，
所以αmin=π2−π3=π6．
故所求α的取值范围为π6,π3．
(2)在Rt△PAM中，csα=PAPM，PA=2，所以PM=2csα．
在Rt△PDN中，cs∠DPN=csπ2−α=PDPN，PD=2，
所以PN=2csπ2−α=2sinα，
在△PMN中，由勾股定理得
MN2=PM2+PN2=4cs2α+4sin2α=4sin2αcs2α，
因为α∈π6,π3，
所以sinα>0，csα>0，
所以MN=2sinαcsα，
所以fα=2sinα+2csα+2sinαcsα
=21+sinα+csαsinαcsα，a∈π6,π3，
令t=sinα+csα=2sinα+π4，
因为α∈π6,π3，α+π4∈5π12,7π12，
所以sinα+π4∈6+24,1，
所以t=2sinα+π4∈3+12,2，
又sinαcsα=t2−12，
于是lt=2t+1t2−12=4t−1，
显然l(t)在3+12,2上单调递减，
故当t=2时， ltmin=42−1=42+1，
此时t=2sinα+π4=2，解得α=π4．
所以当α=π4时，△PMN周长l取得最小值42+1．
1. 已知集合A=x|1≤2x<16，B=x|−5
2. 设a=1.70.3， b=lg43.1，c=lg0.73，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b
3. 已知a>0，b>0，且2a+b=4，则ab的最大值为( )
A.14B.4C.12D.2
4. 已知tanx=2，则2sin2x1+cs2x=( )
A.2B.4C.22D.2
5. 函数fx=x−1ln2−x的定义域是（ ）
A.[1,+∞）B.1,2C.−∞,2D.0,1∪1,2
6. 函数y=csx|tanx|(−π2
C.D.
7. 如图点Px0,y0是角α0≤α<2π的终边与单位圆的交点，则点M(α,x0)一定在下列哪个函数图象上( )
A.y=sinxB.y=csxC.y=tanxD.y=x
8. 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlg21+SN，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比SN从1999提升至原来的10倍，则C大约变为原来的几倍（参考数据：lg2≈0.3，lg19991≈4.3）( )
A.2.5B.1.3C.10D.5
二、多选题
下列说法正确的是( )
A.函数fx=sin|x|是R上的偶函数
B.函数fx=sin|x|的一个周期为π
C.函数f(x)=lnx+x−2在区间1,2内有零点
D.函数fx=lnx+x−2在区间0,+∞上单调递增
下列不等式成立的是( )
A.若a
B.若ab=4，则a+b≥4
C.若a>b，则 ac2>bc2
D.若a>b>0 ，m>0，则ba
将函数y=cs2x的图象向左平移π6个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=fx的图象，对于函数y=fx有以下四个判断，其中正确的是（ ）
A.函数的解析式为y=2cs2x+π6
B.函数图象关于直线x=π3对称
C.函数在区间0,π6上单调递增
D.若函数y=fx+a在区间0,π2上的最小值为3，则a=2+3
设fx=|ex−1|，关于x的方程fx2−a⋅fx+1=0，给出下列四个叙述，其中正确的是( )
A.存在实数a>0，使得方程恰有1个实根
B.任意实数a>0，方程至少有1个实根
C.存在实数a>0，使得方程恰有3个不同的实根
D.存在实数a>0，使得方程恰有4个不同的实根
三、填空题
72∘化为弧度制为________.
已知f10x=x，则f5=________.
已知点Am−1,y1，Bm,y2，Cm+1,y3都在二次函数y=x2−2x的图象上，且y1
已知ω>0，函数fx=csωx+π3在区间π3,π2上单调递增，则实数ω的取值范围是________.
四、解答题
设全集为R，集合A=x|x2−2x−3>0，B=x|a−1
(2)在①A∪B=A，②A∩B=B，③∁RA∩B=⌀，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
(1)求值：0.01−12−2723+14−32；
(2)求值：34lg25+2lg23+lg22；
(3)化简：sinα−π2cs3π2+αtan2π−αtanα+πsinα+π．
新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p(x)万元，当产量不足90万箱时，p(x)=12x2+40x；当产量不小于90万箱时，p(x)=101x+8100x−2180，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
(1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式；
(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
已知函数fx=a⋅4x−2x+1−8．
(1)当a=1时，求不等式fx≥0的解集；
(2)若函数fx有零点，求实数a的取值范围．
已知定义在R上的函数fx=x2+2ax+5，定义在[0,+∞）上的函数gx=ex+a−2．
(1)当a>0时，若fx与gx的值域相同，求a的值；
(2)若Fx=fx，x<0, gx，x≥0, 讨论Fx的单调性．
如图，矩形ABCD中，AB=23，BC=4，点M，N分别在线段AB，CD（含端点）上，P为AD的中点，PM⊥PN，设∠APM=α．
(1)求角α的取值范围；
(2)求出△PMN的周长l关于角α的函数解析式fα，并求△PMN的周长l的最小值及此时α的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山西省晋中市某校高一（上）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
指、对数不等式的解法
【解析】
无
【解答】
解：因为集合A={x|0≤x<4}，
B={x|−5
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
无
【解答】
解：∵ 1.70.3>1.70=1，即a>1，
∵ 0=lg41
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
【解答】
解：∵ a>0，b>0，
∴ 2a+b=4≥22ab（当且仅当2a=b时取等号），
∴ 2ab≤4，解得ab≤2，即ab的最大值为2，
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数间的基本关系
二倍角的余弦公式
二倍角的正弦公式
【解析】
无
【解答】
解：2sin2x1+cs2x=4sinxcsx2cs2x=2tanx=22．
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
无
【解答】
解：由题意知x−1≥0，2−x>0，ln2−x≠0，
解得1
6.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，函数是偶函数，故排除A，f(0)=0过原点，故排除B，
当x∈0,π2时，y=csxtanx=sinx，所以函数图象为C.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
无
【解答】
解：点Mα,x0即为Mα,csα，于是一定在y=csx图象上．
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
对数的运算性质
根据实际问题选择函数类型
【解析】
无
【解答】
解：C1=Wlg21+1999=Wlg22000，
C2=Wlg21+19990=Wlg219991，
于是C2C1=Wlg219991Wlg22000=lg19991lg2000=lg19991lg2+3=4.30.3+3≈1.3．
故选B．
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
命题的真假判断与应用
正弦函数的图象
函数零点的判定定理
【解析】
无
【解答】
解：对于A，由定义知f−x=fx，故A正确；
对于B，当x=2π3时，f2π3=32，
f2π3+π=−32，f2π3≠f2π3+π，故B错误；
对于C，当fx在(1,2)上连续，f(1)<0，f2>0，
由零点存在性定理知fx在(1,2)上有零点，故C正确；
对于D，y=lnx在0,+∞单调递增，y=x−2在0,+∞单调递增，
故fx在0,+∞单调递增，故D正确；
故选ACD．
【答案】
A,D
【考点】
不等式比较两数大小
不等式性质的应用
【解析】
利用不等式的性质，并且通过举反例对选项进行排除，即可求解.
【解答】
解：对于A，因为a
对于B，当a<0，b<0时，比如a=−1，b=−4，此时a+b=−5，故B不一定成立;
对于C，当c=0时，ac2=bc2=0，所以C不一定成立;
对于D，ba−b+ma+m=b(a+m)−a(b+m)a(a+m)=(b−a)ma(a+m)，
因为a>b>0，所以b−a<0，
因为m>0，所以a+m>0，(b−a)ma(a+m)<0，即ba
【答案】
B,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
正弦函数的单调性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
【解答】
解：A．将函数y=cs2x的图象向左平移π6个单位，
得到y=cs2x+π6=cs2x+π3的图象，
然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2cs2x+π3的图象，所以A不正确；
B．y=fπ3=2cs2×π3+π3=2csπ=−2，
所以函数图象关于直线x=π3对称，所以B正确；
C．∵ x∈0,π6，∴ π3≤2x+π3≤2π3，函数单调递减，所以C不正确；
D．y=fx+a=2cs2x+π3+a，
当0≤x≤π2时，π3≤2x+π3≤4π3，故−1≤cs2x+π3≤12，
所以当2x+π3=π，即x=π3时，函数fx取得最小值，
ymin=2csπ+a=−2+a=3，所以a=2+3，所以D正确．
故选BD．
【答案】
A,C
【考点】
根的存在性及根的个数判断
【解析】
无
【解答】
解： f(x)=|ex−1|的图象如图所示：
令t=fx，则t2−a⋅t+1=0，其中Δ=a2−4，
当a=2时，Δ=0，t1=t2=1，即fx=1，
由图可知，有一解，故A正确；
当0
不妨设t1
由图可知，0
共有三解，故C正确，D错误．
故选AC．
三、填空题
【答案】
25π
【考点】
弧度与角度的互化
【解析】
无
【解答】
解：由题意得，72∘=72180π=25π．
故答案为：25π．
【答案】
lg5
【考点】
函数的求值
【解析】
无
【解答】
解：令10x=5，∴ x=lg5，
∵ f10x=x，∴ f5=lg5，
故答案为：lg5．
【答案】
(32,+∞)
【考点】
二次函数的性质
【解析】
无
【解答】
解：在二次函数y=x2−2x中，其对称轴为x=1，
∵ m−1
故答案为：(32,+∞)．
【答案】
2,103
【考点】
余弦函数的单调性
【解析】
无
【解答】
解：由−π+2kπ≤ωx+π3≤2kπ，
得−4π+6kπ3ω≤x≤−π+6kπ3ω，k∈Z，
即函数fx=csωx+π3的单调递增区间为：
−4π+6kπ3ω,−π+6kπ3ω，k∈Z，
又函数fx=csωx+π3在区间π3,π2上单调递增，
易知ω≤6，故k=1，
所以−4π+6π3ω≤π3，−π+6π3ω≥π2，解得2≤ω≤103．
故答案为：2,103．
四、解答题
【答案】
解：(1) A=x|x>3或x<−1，
当a=−1时，B={x|−2
∴ ∁RA∩B=x|−1≤x<1．
(2)①②③均等价于B⊆A，
当B=⌀时，即a−1≥2a+3，即a≤−4时满足题意；
当B≠⌀时，有a−1<2a+3，a−1≥3，或a−1<2a+3，2a+3≤−1，
解得a≥4或−4
【考点】
补集及其运算
交集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1) A=x|x>3或x<−1，
当a=−1时，B={x|−2
∴ ∁RA∩B=x|−1≤x<1．
(2)①②③均等价于B⊆A，
当B=⌀时，即a−1≥2a+3，即a≤−4时满足题意；
当B≠⌀时，有a−1<2a+3，a−1≥3，或a−1<2a+3，2a+3≤−1，
解得a≥4或−4
【答案】
解：(1)原式 =10−2−12−3323+122−32
=10−32+12−3
=10−9+8
=9．
(2)原式=34×2lg5+3+lg232
=32lg5+3+32lg2
=32lg5+lg2+3
=32lg10+3
=92．
(3)原式=−csαsinα−tanαtanα−sinα=−csα．
【考点】
有理数指数幂的化简求值
对数的运算性质
对数及其运算
三角函数的化简求值
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)原式 =10−2−12−3323+122−32
=10−32+12−3
=10−9+8
=9．
(2)原式=34×2lg5+3+lg232
=32lg5+3+32lg2
=32lg5+lg2+3
=32lg10+3
=92．
(3)原式=−csαsinα−tanαtanα−sinα=−csα．
【答案】
解：(1)根据题意，当0
=−12x2+60x−200；
当x≥90时，
y=100x−(101x+8100x−2180)−200
=1980−(x+8100x)，
∴ y=−12x2+60x−200,0
=−12(x−60)2+1600≤1600，
②当x≥90时，
y=1980−(x+8100x)
≤1980−2x⋅8100x=1800>1600，
当且仅当x=8100x，即x=90时，
y取得最大值，最大值为1800万元．
综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
基本不等式在最值问题中的应用
二次函数的性质
【解析】
（1）根据题意结合“利润＝销售收入-成本”，即可列出函数关系式；
（2）利用二次函数性质及基本不等式，求出分段函数各段函数上的最大值即可求解．
【解答】
解：(1)根据题意，当0
=−12x2+60x−200；
当x≥90时，
y=100x−(101x+8100x−2180)−200
=1980−(x+8100x)，
∴ y=−12x2+60x−200,0
=−12(x−60)2+1600≤1600，
②当x≥90时，
y=1980−(x+8100x)
≤1980−2x⋅8100x=1800>1600，
当且仅当x=8100x，即x=90时，
y取得最大值，最大值为1800万元．
综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大．
【答案】
解：(1)当a=1时， fx=4x−2x+1−8
=2x2−2⋅2x−8=2x−42x+2≥0，
所以2x≥4，所以x≥2,
故fx≥0的解集为x|x≥2．
(2)函数fx有零点，即fx=0有解，
令t=2xt>0，
故at2−2t−8=0在0,+∞有解，
即a=2t+8t2=2t+8t2在0,+∞有解，
1t∈0,+∞，ht=81t2+21t≥0 ，
于是a∈0,+∞．
【考点】
指、对数不等式的解法
指数函数的图象与性质
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当a=1时， fx=4x−2x+1−8
=2x2−2⋅2x−8=2x−42x+2≥0，
所以2x≥4，所以x≥2,
故fx≥0的解集为x|x≥2．
(2)函数fx有零点，即fx=0有解，
令t=2xt>0，
故at2−2t−8=0在0,+∞有解，
即a=2t+8t2=2t+8t2在0,+∞有解，
1t∈0,+∞，ht=81t2+21t≥0 ，
于是a∈0,+∞．
【答案】
解：(1) fx的值域为[5−a2,+∞），
又x∈[0,+∞)，所以x+a−2≥a−2，
所以ex+a−2≥ea−2，故gx的值域为[ea−2,+∞），
因为fx与gx的值域相同，故ea−2=5−a2，
令ha=ea−2−5+a2，
y=ea−2在0,+∞上单调递增，
y=−5+a2在0,+∞上单调递增，
故ha在0,+∞上单调递增，
又h2=0，于是a=2 ．
(2)由题得Fx=x2+2ax+5，x<0，ex+a−2，x≥0，
且 f0=5，g0=ea−2，
当a≤0时，此时x=−a≥0，
则Fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增；
当0
当a≥ln5+2时，此时x=−a<0且ea−2≥5，
Fx在−∞,−a上单调递减，在−a,+∞上单调递增．
【考点】
函数的值域及其求法
函数的单调性及单调区间
分段函数的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1) fx的值域为[5−a2,+∞），
又x∈[0,+∞)，所以x+a−2≥a−2，
所以ex+a−2≥ea−2，故gx的值域为[ea−2,+∞），
因为fx与gx的值域相同，故ea−2=5−a2，
令ha=ea−2−5+a2，
y=ea−2在0,+∞上单调递增，
y=−5+a2在0,+∞上单调递增，
故ha在0,+∞上单调递增，
又h2=0，于是a=2 ．
(2)由题得Fx=x2+2ax+5，x<0，ex+a−2，x≥0，
且 f0=5，g0=ea−2，
当a≤0时，此时x=−a≥0，
则Fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增；
当0
当a≥ln5+2时，此时x=−a<0且ea−2≥5，
Fx在−∞,−a上单调递减，在−a,+∞上单调递增．
【答案】
解：(1)由题意知，当点M位于B点时，角α取最大值，此时tanα=3，
因为0<α<π2，所以amax=π3 ．
当点N位于C点时， ∠DPN取最大值，角α取最小值，
由对称性知此时∠DPN=π3，
所以αmin=π2−π3=π6．
故所求α的取值范围为π6,π3．
(2)在Rt△PAM中，csα=PAPM，PA=2，所以PM=2csα．
在Rt△PDN中，cs∠DPN=csπ2−α=PDPN，PD=2，
所以PN=2csπ2−α=2sinα，
在△PMN中，由勾股定理得
MN2=PM2+PN2=4cs2α+4sin2α=4sin2αcs2α，
因为α∈π6,π3，
所以sinα>0，csα>0，
所以MN=2sinαcsα，
所以fα=2sinα+2csα+2sinαcsα
=21+sinα+csαsinαcsα，a∈π6,π3，
令t=sinα+csα=2sinα+π4，
因为α∈π6,π3，α+π4∈5π12,7π12，
所以sinα+π4∈6+24,1，
所以t=2sinα+π4∈3+12,2，
又sinαcsα=t2−12，
于是lt=2t+1t2−12=4t−1，
显然l(t)在3+12,2上单调递减，
故当t=2时， ltmin=42−1=42+1，
此时t=2sinα+π4=2，解得α=π4．
所以当α=π4时，△PMN周长l取得最小值42+1．
【考点】
三角函数
三角函数的最值
两角和与差的正弦公式
函数最值的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意知，当点M位于B点时，角α取最大值，此时tanα=3，
因为0<α<π2，所以amax=π3 ．
当点N位于C点时， ∠DPN取最大值，角α取最小值，
由对称性知此时∠DPN=π3，
所以αmin=π2−π3=π6．
故所求α的取值范围为π6,π3．
(2)在Rt△PAM中，csα=PAPM，PA=2，所以PM=2csα．
在Rt△PDN中，cs∠DPN=csπ2−α=PDPN，PD=2，
所以PN=2csπ2−α=2sinα，
在△PMN中，由勾股定理得
MN2=PM2+PN2=4cs2α+4sin2α=4sin2αcs2α，
因为α∈π6,π3，
所以sinα>0，csα>0，
所以MN=2sinαcsα，
所以fα=2sinα+2csα+2sinαcsα
=21+sinα+csαsinαcsα，a∈π6,π3，
令t=sinα+csα=2sinα+π4，
因为α∈π6,π3，α+π4∈5π12,7π12，
所以sinα+π4∈6+24,1，
所以t=2sinα+π4∈3+12,2，
又sinαcsα=t2−12，
于是lt=2t+1t2−12=4t−1，
显然l(t)在3+12,2上单调递减，
故当t=2时， ltmin=42−1=42+1，
此时t=2sinα+π4=2，解得α=π4．
所以当α=π4时，△PMN周长l取得最小值42+1．
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