河南省安阳市2021-2122学年九年级上学期期中数学试题（word版 含答案）

2021—2022学年期中考试

九年级数学试题卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、 实数的相反数是（   ）

 A．   B．         C．   D．

2、 2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，此时距离地              球约320000000千米．数320000000科学记数法表示为                                                          （   ）

 A．   B．         C．   D．

3、 下列运算中，正确的是             （   ）

 A．a2＋a＝a3        B．（ab）2＝ab2 

 C．a5÷a2＝a3            D．a5・a2＝a10

4、 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则

 ∠2＝（   ）

 A．40°    B．43°       C．45°       D．47°

5、 如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是     （   ）

  A．  B．   C．  D．

6、 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟              三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10              斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒              各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为                                                          （   ）

 A．  B． C．    D．

7、 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层 之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为              （）（   ）

 A．7.5米   B．8米 

 C．9米    D．10米

8、 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相 交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取

 值范围是（   ）

 A．或 B．或

 C．或 D．或

9、 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是                                                                                                                                                                          （   ）

A．（，-）  B．（1，0）  

C．（-，-） D．（0，-1）

10、如图1，菱形的对角线与相交于点O，P、Q两点同时从O点出发， 以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，              点Q的运动路线为．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，              y与x的函数关系的图象大致如图2所示，

 当点P在段上运动且P、Q两

 点间的距离最短时，P、Q两点的运

 动路程之和为（   ）厘米．

 A．   B．         C．   D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11、若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．

12、设是关于x的方程的两个根，且，则_______．

13、已知函数，当时，函数的最大值为_________。

14、如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分

 别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交

 BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为　    　．

15．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点

 E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为　    　．

三、解答题

16．（8分）先化简，再求值：，其中．

17．（9分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜 爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅              不完整的统计图．

 请根据以上信息，解答下列问题

   （1）这次被调查的学生共有多少名？

   （2）请将条形统计图补充完整；

   （3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？

   （4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中  选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

18．（9分）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得 斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，              在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）

19．（9分）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A， 轴于点B，延长AB至点C，连接．若，

 ．

   （1）求的长和反比例函数的解析式；

   （2）将绕点旋转90°，请直接写出旋转后点A

  的对应点A'的坐标．

20．（9分）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙ O交AC边于点D，⊙ O的切线DE交 BC于E，且点E是BC的中点．

   （1）求证：BC是⊙O的切线；

   （2）①当∠BAC＝　　°时，四边形OBED为正方形；

  ②若AB＝4，当BC＝　　时，四边形ODCE是平行四边形．

21．（10分）为提升青少年的身体素质，我市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学 为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足              球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．

   （1）求篮球、足球的单价分别为多少元？

   （2）学校计划购买篮球、足球共60个，总费用不多于5200元，并且要求篮球数量  不能低于15个，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？

22．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点，且对称轴是直线 ．该函数图象和x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧）．

   （1）求该函数解析式；

   （2）求B，C两点的坐标；

   （3）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作

  ，垂足为Q，求PQ的最大值．

23．（23分）等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AF⊥BC于F，将腰AB绕点A逆时针 旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过C作CE垂直于直线BB′，垂足为E，连接              CB′．

   （1）问题发现：如图1，当时，的度数为_______；连接EF，则  的值为________．

   （2）拓展探究：当，且时，

  ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；                            如果不成立，请说明理由；

  ②解决问题：当A，E，F三点共线时，请直接写出的值．

2021—2022学年期中考试

九年级数学参考答案

一、选择题

1、D     2、B     3、C     4、B    5、A     6、A    

7、D    解:根据题意，得：∵米∴米

8、C 解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称，

∵点B的横坐标为2，∴点A的横坐标为-2，

由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，∴当或时，，故选：C．

9、A  解:∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴A（0，1），

∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，

∴A1（，），A2（1，0），A3（，-），…，

发现是8次一循环，所以2019÷8=252……3，∴点A2019的坐标为（，-）

10、C  解:由图可知，（厘米），∵四边形为菱形

∴（厘米）∴

P在上时，Q在上，距离最短时，连线过O点且垂直于．

此时，P、Q两点运动路程之和

∵（厘米）

∴（厘米）  故答案为C．

二、填空题：

11、x≥0      12、2      13、5

14、+﹣．解:过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，

∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，

∴AM＝BC＝×2＝，∵AD＝AE＝1，

∴AD＝BD，AE＝CE，∴EN＝AM＝，

∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）

＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）

＝+﹣

15、1或11；

解:在旋转过程中A有两次和E，C在一条直线上，第一次在

EC线段上，第二次在CE线段的延长线上，利用平行的性质

证出CF＝CE，即可求解；

如图1：将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，

∴∠AEF＝∠EA'F，AE＝A'E，∵AB∥CD，

∴∠AEF＝∠CFE，∴CF＝CE，∵AB＝6，AD＝3，AE＝2，

∴CF＝CE＝6﹣DF，A'E＝2，BE＝4，BC＝3，∴EC＝5，∴6﹣DF＝5，∴DF＝1；

如图2：由折叠∠FEA'＝∠FEA，∵AB∥CD，

∴∠CFA＝∠FAB，∵∠FAB＝EA'F ∠AFE＝A'FE

∴∠CFA+∠AFE＝CEF= EA'F+ A'FE

∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE，∴CF＝5，∴DF＝11；

三、解答题

16． 解：

，

当时，

原式；

17． 解：（1）这次被调查的学生人数为（名；

（2）喜爱“体育”的人数为（名，

补全图形如下：

（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有

（名；

（4）列表如下：

由上表可知，所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学（设为事件A）的有2种结果，

答：恰好选中甲、乙两位同学的概率为．

18．解：作于点，设米，

在中，，则（米，

∵，且AE=8    ∴    ∴

在直角中，米，，米．

，即．解得：，则米．

答：的高度是米．

19． 解：（1） ∵ 轴于点B      ∴

在中，，        ∴ ，  

∴ 点A的横坐标为2       又∵ 点A在正比例函数的图象上

∴ ，∴    把代入，得

∴ ，     ∴ 反比例函数的解析式是 ；

（2）根据题意，∵ 点A为（2，1），∵ 将绕点旋转90°，

则分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，如图：

∴ 或．

20． 解：（1）证明：连接OD、OE，如图1所示：

∵ 点O为AB的中点，点E为BC的中点，    

∴ OE为△ABC的中位线，

∴ OE∥AC，   ∴ ∠ DOE＝∠ ODA，∠ BOE＝∠ A，

∵ OA＝OD， ∴∠  A＝∠ ODA，  ∴ ∠ DOE＝∠ BOE，

在△ODE和△OBE中，

∴△ ODE≌ △ OBE（SAS），  

∴∠ ODE＝∠ OBE，∵ DE是⊙O的切线，∴ ∠ ODE＝∠ OBE＝90°，

∴ OB⊥BC，又OB是⊙ O的半径∴ BC是⊙ O的切线；

（2）解：①当∠BAC＝45°时，四边形OBED是正方形

      ②当BC＝4时，四边形ODCE是平行四边形

21． 解：（1）设篮球每个x元，足球每个x元，由题意得：，解得：x=100，经检验：x=100是原方程的解且符合题意，则足球的单价为：x＝×100＝80（元），

答：篮球每个100元，足球每个80元；

（2）足球m个，总费用为w元，则篮球（60-m）个，

由题意得， w=80m+100（60-m）=-20m+6000，

再由题意可得，，解得，40≤m≤45，

由w=-20m+6000，   ∵  - 20＜0，      ∴  w随m的增大而减小，

∴ 当m=45时，w取得最小值，此时w=5100元，其中60-m=15，

答：当篮球购买15个，足球购买45个时，费用最少，最少为5100元．

22． 解：（1）∵二次函数的图象经过点，且对称轴是直线，

∴ 解得，，∴ 这个二次函数解析式为；

（2）当时，，解得，，所以点B，C的坐标分别为，；

（3）如图所示，连接CP，连接AP交x轴于H，

∵A（0,3），C（3,0），∴OA=OC=3，∴，

∵PQ⊥AC，∴，

设，直线AP的解析式为，

∴ ，解得，∴ 直线AP的解析式为，

∵ H是直线AP与x轴的交点，     ∴，∴ ，

∴

∴ ，

∵ 要想PQ最大，则要最大，    ∴ 当，有最大值，

∴ 此时．

23．（1）∠ CB′E=60°，；

（2）①两个结论成立，理由如下：

连接EF，根据旋转的性质得：AB=AC=AB′，

等腰△ABB′中，∠ BAB′=α，    则∠ AB′B==90°−α，

等腰△AB′C中，∠ CAB′=α−120°，  则∠ AB′C==150°−α，

∴ ；∵ AB=AC，AF⊥BC．  ∴ ∠ FAC=60°，

Rt△ CEB′中，=sin60°=， Rt△ CFA 中，=sin60°=，

∴ ，∵∠FCE=∠ ACB′=30°+∠ACE，∴ △CEF~△ CB′A∴；

②的值为或．