河南省安阳市林州市姚村镇2022-2023学年九年级上学期期中数学试题 (含答案)

这是一份河南省安阳市林州市姚村镇2022-2023学年九年级上学期期中数学试题 (含答案)，共21页。试卷主要包含了定义运算，如图，假设篱笆等内容，欢迎下载使用。
河南省安阳市林州市河南省林州市姚村镇2022-2023学年九年级（上）期中数学试题
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．下列表示医疗或救援的标识中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知⊙O的半径是5cm，则⊙O中最长的弦长是（　　）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
3．如图，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB＝60°，那么∠ACB的度数是（　　）

A．26° B．30° C．32° D．64°
4．定义运算：a*b＝a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m＝0（m＜0）的两根，则b*b﹣a*a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
5．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
6．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为14m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（　　）

A．50m2 B．49m2 C．46m2 D．48m2
7．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）

A．5 B．7 C．12 D．10
8．如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（　　）

A．12 B．6 C．6 D．6
10．如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（　　）

A． B． C．2 D．4
二.填空（每小题3分，共15分）
11．已知P1（a，﹣2）和P2（3，b）关于原点对称，则（a+b）2021的值为 　 　．
12．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是 　 　．
13．若三角形的面积是24cm2，周长是24cm，则这个三角形内切圆的半径＝　 　cm．
14．如图，AB是⊙O的直径，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点．若∠ACD＝48°，则∠DBA＝　 　．

15．如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为　 　．

三.解管题（共75分）
16．（8分）解方程：
（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0；
（2）3x2+x﹣5＝0．
17．（8分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC以x轴为对称轴，画出对称后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，并请你直接写出A1A2的长度　 　．

18．（9分）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
19．（9分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝62°，∠ACB＝29°，求∠FGC的度数．

20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．

21．（10分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
已知日销售量y是售价x的一次函数．
（1）直接写出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系．
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时的日销售利润是多少？若日销售利润低于125元且不亏本，请直接写出售价的取值范围．
22．（11分）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求AC的长度．

23．（11分）我们定义：如图1，在△ABC看，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝　 　BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 　 　．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

河南省安阳市林州市河南省林州市姚村镇2022-2023学年九年级（上）期中数学试题
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．下列表示医疗或救援的标识中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．已知⊙O的半径是5cm，则⊙O中最长的弦长是（　　）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
【分析】根据圆中最长的弦是直径，且直径的长是半径长的2倍可得答案．
【解答】解：∵⊙O的半径是5cm，
∴⊙O中最长的弦，即直径的长为10cm，
故选：B．
3．如图，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB＝60°，那么∠ACB的度数是（　　）

A．26° B．30° C．32° D．64°
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB＝∠AOB，即可求出∠ACB的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，
而∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝×60°＝30°．
即∠ACB的度数是30°．
故选：B．
4．定义运算：a*b＝a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m＝0（m＜0）的两根，则b*b﹣a*a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【分析】由根与系数的关系可找出a+b＝1，根据新运算找出b*b﹣a*a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x+m＝0（m＜0）的两根，
∴a+b＝1，
∴b*b﹣a*a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）＝ab﹣ab＝0．
故选：A．
5．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【分析】先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值．
【解答】解：∵此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：x＝＝11.5，
∴炮弹所在高度最高时：
时间是第12秒．
故选：C．
6．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为14m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（　　）

A．50m2 B．49m2 C．46m2 D．48m2
【分析】设AB＝xm，则BC＝（14﹣x）m，矩形ABCD的面积等于长乘以宽，列式得关于x的二次函数，用配方法写成顶点式，从而得解．
【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（14﹣x）m，由题意得：
S矩形ABCD＝x（14﹣x）＝﹣x2+14x＝﹣（x﹣7）2+49，
∵﹣1＜0，
∴当x＝7时，矩形ABCD的面积最大，最大值是49m2．
故选：B．
7．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）

A．5 B．7 C．12 D．10
【分析】根据切线长定理得到PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，PA＝6，
∴PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，
∴△PCD的周长＝PC+CE+PD+DE＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝12，
故选：C．
8．如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．
【解答】解：作OC⊥AB，
∵半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm
∴BO＝5，BC＝4，
∴OC＝3cm，
∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．
故选：B．

9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（　　）

A．12 B．6 C．6 D．6
【分析】连接BB′，如图，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝6，再根据旋转的性质得到CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BAB′，则可判断△CAA′为等边三角形，所以∠ACA′＝60°，然后判断△CBB′为等边三角形，从而得到BB′的长．
【解答】解：连接BB′，如图，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，
∴BC＝AC＝6，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BAB′，
∵CA＝CA′，∠A＝60°，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
∴∠BCB′＝60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴BB′＝CB＝6，
即点B'与点B之间的距离为6．
故选：D．

10．如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（　　）

A． B． C．2 D．4
【分析】过点C作CH⊥BO的延长线于点H，根据点O为△ABC的内心，∠A＝60°，可得∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，所以∠COH＝60°，利用含30度角的直角三角形可得CH的长，进而可得△OBC的面积．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H，

∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，
∴∠COH＝60°，
∵OB＝2，OC＝4，
∴OH＝2
∴CH＝2，
∴△OBC的面积＝OB•CH＝2×2＝2．
故选：B．
二.填空（每小题3分，共15分）
11．已知P1（a，﹣2）和P2（3，b）关于原点对称，则（a+b）2021的值为 　﹣1　．
【分析】点P1和点P2关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
【解答】解：因为点P1（a，﹣2）和点P2（3，b）关于原点对称，
所以a＝﹣3，b＝2，
将a＝﹣3，b＝2代入（a+b）2021，原式＝（﹣3+2）2021＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是 　相离　．
【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【解答】解：∵x2﹣3x﹣4＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝4，
∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根，
∴r＝4，
∵d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为：相离．
13．若三角形的面积是24cm2，周长是24cm，则这个三角形内切圆的半径＝　2　cm．
【分析】根据三角形的面积＝×三角形的周长×内切圆的半径，即可求解．
【解答】解：设这个三角形的内切圆的半径是r，则×24r＝24，
解得：r＝2．
故答案是：2．
14．如图，AB是⊙O的直径，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点．若∠ACD＝48°，则∠DBA＝　66°　．

【分析】连接OD，根据切线的性质得到OA⊥AC，OD⊥DC，进而求出∠AOD，再根据圆周角定理计算，得到答案．
【解答】解：连接OD，
∵CA，CD是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，OD⊥DC，
∵∠ACD＝48°，
∴∠AOD＝360°﹣∠CAO﹣∠CDO﹣∠ACD＝360°﹣90°﹣90°﹣48°＝132°，
∴∠DBA＝∠AOD＝66°，
故答案为：66°．

15．如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为　8　．

【分析】过点A作AM⊥BC于M，由已知得出DC＝4，得出BC＝BD+DC＝6，由等边三角形的性质得出AB＝AC＝BC＝6，BM＝BC＝×6＝3，得出DM＝BM﹣BD＝1，在Rt△ABM中，由勾股定理得出AM＝＝3，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，AD+AE＝DE，即此时AE取最小值，在Rt△ADM中，由勾股定理得出AD＝＝2，在Rt△ADG中，由勾股定理即可得出AG＝＝8．
【解答】解：过点A作AM⊥BC于M，
∵BD＝DC＝2，
∴DC＝4，
∴BC＝BD+DC＝2+4＝6，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∵AM⊥BC，
∴BM＝BC＝×6＝3，
∴DM＝BM﹣BD＝3﹣2＝1，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝3，
当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD．
此时AE取最小值，
在Rt△ADM中，AD＝＝＝2，
∴在Rt△ADG中，AG＝＝＝8；
故答案为：8．

三.解管题（共75分）
16．（8分）解方程：
（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0；
（2）3x2+x﹣5＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1；
（2）3x2+x﹣5＝0，
∵a＝3，b＝1，c＝﹣5，
∴Δ＝12﹣4×3×（﹣5）＝61＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．（8分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC以x轴为对称轴，画出对称后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，并请你直接写出A1A2的长度　　．

【分析】（1）依据轴对称的性质，即可画出对称后的△A1B1C1；
（2）依据旋转变换，即可画出旋转后的△A2B2C2，并依据勾股定理求得A1A2的长度．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求的三角形；
（2）如图，△A2B2C2为所求的三角形；

由勾股定理可得，A1A2＝＝．
故答案为：．
18．（9分）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系得到2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，然后分别解方程求出p与q的值；
（2）利用根与系数的关系得到m+n＝﹣，mn＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）根据题意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，
所以p＝1，q＝﹣8；
（2）根据m+n＝﹣＝﹣，mn＝﹣，
所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1．
19．（9分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝62°，∠ACB＝29°，求∠FGC的度数．

【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣62°×2＝56°，那么∠FAG＝56°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝29°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝85°．
【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；

（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝62°，
∴∠BAE＝180°﹣62°×2＝56°，
∴∠FAG＝∠BAE＝56°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝29°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝56°+29°＝85°．
20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．

【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵＝＝，
∴∠BOD＝180°＝60°，
∵＝，
∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝＝3．

21．（10分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
已知日销售量y是售价x的一次函数．
（1）直接写出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系．
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时的日销售利润是多少？若日销售利润低于125元且不亏本，请直接写出售价的取值范围．
【分析】（1）因为日销售量y是销售价x的一次函数，设y＝kx+b，代入对应数值求出函数解析式即可；
（2）利用销售利润＝一件利润×销售件数，一件利润＝销售价﹣成本，日销售量y是销售价x的一次函数，求得利润w为二次函数，运用二次函数的性质，可求最大利润；
利用“日销售利润低于125元且不亏本”可得﹣（x﹣25）2+225＜125，且x≥10，从而可求x的范围．
【解答】解：（1）设此一次函数关系式为y＝kx+b，
则，
解得k＝﹣1，b＝40
故一次函数的关系式为y＝﹣x+40．

（2）设所获利润为W元，
则W＝（x﹣10）（40﹣x）＝﹣x2+50x﹣400＝﹣（x﹣25）2+225
所以产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润为225元；
根据题意可得﹣（x﹣25）2+225＜125，且x≥10，
解得：10≤x＜15或35＜x≤40．
22．（11分）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求AC的长度．

【分析】（1）由切线的性质得出AF⊥OA，求出∠F＝30°，得出∠AOF＝60°，由等腰三角形的性质得出∠ADB＝∠OAD＝30°．
（2）证出OA⊥BC，由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB，由直角三角形的性质得出OE＝OB，BE＝OE＝4，求出OE＝，即可得出AC＝AB＝OB＝2OE＝．
【解答】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，
∴AF⊥OA，
∵∠F＝30°，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OD，∠AOF＝∠ADB+∠OAD，
∴∠ADB＝∠OAD＝30°．
（2）∵∠ACB＝∠ADB＝30°，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴，
∴OA⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝4，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∵∠OBE＝30°，
∴OE＝OB，BE＝OE＝4，
∴OE＝，
∴AC＝AB＝OB＝2OE＝．
23．（11分）我们定义：如图1，在△ABC看，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝　　BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 　4　．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD＝AB′即可解决问题；②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
（2）如图1中，延长AD到Q，使得AD＝DQ，连接B′Q，C′Q，根据∠QB'A＝∠BAC，QB'＝AC'＝AC，AB'＝AB，即可得到△AQB'≌△BAC，即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；

理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，
∵DB′＝DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝120°，
∴∠B′＝∠C′＝30°，
∴AD＝AB′＝BC，
故答案为．

②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为4．

理由：∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC＝B′C′，
∵B′D＝DC′，
∴AD＝B′C′＝BC＝4，
故答案为4．

（2）猜想．
证明：如图，延长AD至点Q，使得DQ＝DA，连接B′Q，C′Q，则△DQB'≌△DAC'，

∴QB'＝AC'，QB'∥AC'，
∴∠QB'A+∠B'AC'＝180°，
∵∠BAC+∠B'AC'＝180°，
∴∠QB'A＝∠BAC，
又由题意得到QB'＝AC'＝AC，AB'＝AB，
∴△AQB'≌△BCA，
∴AQ＝BC＝2AD，
即．