河南省济源市 2020-2021学年九年级上学期 期末数学试题（含答案）

这是一份河南省济源市 2020-2021学年九年级上学期 期末数学试题（含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．任意一个五边形外角和等于540°
B．投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次．
C．正月十五雪打灯．
D．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个人的生日是同月同日．
3．如图，把图①中的倒立圆锥切下一个小圆锥后摆在图②所示的位置，则图②中的几何体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
4．方程x（x-2）=2x的解是 （ ）
A．x=2B．x=4C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=4
5．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB'C'，连接CC'，若CC'//AB， 则∠CAB'的度数为 （ ）
A．45°B．60°C．70°D．90
6．如图，PA、PB分别与O相切于A、B两点，点C为0上一点，连接．AC、BC，若∠P=50°，∠ACB的度数为 （ ）
A．115°B．130°C．65°D．75°
7．对于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线B．函数的最小值是3
C．当时，随的增大而增大D．开口向下，顶点坐标
8．半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（ ）
A．2B．1C．D．
9．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是 （ ）
A．ac<0B．b2-4ac>0C．4a+2b+c>0D．3b<2c
10．如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD，对角线AC、BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动，设点P的运动路径为x，△AOP的面积为y，图②是y关于x的函数关系图象，则AB边的长为( )
A．3B．4C．5D．6
二、填空题
11．已知关于x的一元二次方程（m-1）²x2+（2m-1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________．
12．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形，做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积（侧面与底面面积的和）为__________．
13．“无偿献血，让你我血脉相连”，会宁县某中学有5名教师自愿献血，其中3人血型为O型，2人血型为A型，现从他们当中随机挑选2人参与献血，抽到的两人均为O型血的概率为_________．
14．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为______．
15．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC=4，点E是边BC上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当△CE为直角三角形时，BE的长为__________．
三、解答题
16．先化简，再求代数式的值，其中x=sin 60°+cs 30°×tan 60°
17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
18．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD=∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD=2，CA=4，求弦AB的长．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0，x>0）的图象相交于Ａ（1，5），B（m、1）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D，连接OA，OB．
（1）求反比例函数（k≠0，x>0）和一次函数y=ax+b（a≠0）的表达式；
（2）当ax+b>时，自变量的范围是什么；
（3）求△AOB的面积．
20．某校数学兴趣小组的同学测量一架无人飞机P的高度，如图，A，B两个观测点相距，在A处测得P在北偏东71°方向上，同时在B处测得P在北偏东35°方向上．求无人飞机P离地面的高度.(结果精确到1米，参考数据：，，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90)
21．每年九月开学前后是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜李经理记录了天的销售数量和销售单价，其中销售单价(元/个)与时间第天(为整数)的数量关系如图所示，日销量(个)与时间第天(为整数)的函数关系式为:
直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
设日销售额为(元) ，求(元)关于(天)的函数解析式;在这天中，哪一天销售额(元)达到最大，最大销售额是多少元；
由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于元，文具盒专柜将亏损，直接写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态
22．已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．
23．已知，△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，线段EC绕点E顺时针旋转得到线段EF，且∠CEF=∠CAB，连接FG，FD．
（1）如图1，当∠BAC=60°时，请直接写出的值；
（2）如图2，当∠BAC=90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）如图3，若AB=13，BC=10，点E在线段AD上运动，当AE的值为 时，的值最小，最小值是
参考答案
1．A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．D
【分析】
根据必然事件的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A.任意一个五边形外角和等于360°≠540°，故本选项为不可能事件，故不符合题意；
B.投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次为随机事件，故不符合题意；
C.正月十五雪打灯为随机事件，故不符合题意；
D.367个同学参加一个集会，他们中至少有两个人的生日是同月同日为必然事件，故符合题意．
故选D．
【点睛】
此题考查的是必然事件的判断，掌握必然事件的定义和多边形的外角和是解题关键．
3．D
【分析】
根据三视图的特点知道，俯视图从图形的上边向下看，看到一个大圆，下面的小圆是看不到的，只能画虚线，由此得到答案．
【详解】
解：俯视图从图形的上边向下看，看到一个大圆的底面，由于下面的小圆看不到，所以需要画虚线．
故选D．
【点睛】
本题考查了空间图形的三视图．注意：看不到的部分需要用虚线表示出来．
4．D
【分析】
先移项，然后提取公因式x，对等式的左边进行因式分解．
【详解】
解：∵x（x﹣2）＝2x，
∴x（x﹣2）﹣2x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
则x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
5．B
【分析】
先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=100°，AB=AB′，∠BAC=∠B′AC′，根据等腰三角形的性质易得∠ACC′=40°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠BAC=∠ACC′=40°，然后利用∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′进行计算．
【详解】
解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l00°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=100°，AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′
∴∠ACC′=（180°-100°）=40°，
又∵CC′∥AB，
∴∠B′AC′=∠BAC=∠ACC′=40°，
∴∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=100°-40°=60°．
故选择：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质，平行线性质，旋转的性质，旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角．
6．A
【分析】
连接OA、OB，求出∠AOB，在圆上取点Q，由圆周角定理即可求出∠Q=∠AOB，再由圆内四边形对角互补即可求解．
【详解】
解：如下图所示，连接OA、OB，在圆上取点Q，连接AQ和BQ，
∵PA、PB分别为圆的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，由四边形内角和为360°可知：
∠AOB=180°-50°=130°，
由圆周角定理可知：∠Q=∠AOB=65°，
由圆内接四边形对角互补可知：∠ACB=180°-∠Q=180°-65°=115°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理及其推论，切线的性质等，属于基础题，熟练掌握基本定理是解决本题的关键．
7．D
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
∵抛物线，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝5，故选项A正确；
函数有最小值，最小值y＝3，故选项B正确；
当x＞5时，y随x的增大而增大，故选项C正确；
开口向上，顶点坐标为（5，3），故选项D错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．C
【分析】
首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH的长即可求解．
【详解】
解：如图所示：
连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝×360°＝60°，
∴中心角是：60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝2，∠OBC＝60°，
∴sin∠OBC＝，
∴OH＝
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9．D
【分析】
抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：A、由抛物线的开口方向向下知a＜0，抛物线与y轴交于正半轴知c＞0，则ac＜0，故本选项结论正确．
B、由抛物线与x轴有两个交点知b24ac＞0，故本选项结论正确．
C、由抛物线图的轴对称性质知，抛物线与x轴的另一个交点坐标是点（2，0）的右侧，所以当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故本选项结论正确．
D、由抛物线的轴对称性质知，当x=3时，y＜0，即y=9a+3b+c＜0，且对称轴是直线，即，代入得9（）+3b+c＜0，得3b＞2c，故本选项结论错误；
故选：D．
【点睛】
考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
10．B
【分析】
根据图形，分情况分析：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3，推出AB•BC＝12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，可推出AB.
【详解】
解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，
因为AB＞BC，所以AB＝4．
故选B．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值.
11．且
【分析】
根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到△＞0，由此即可求出m的取值范围，需要注意二次项系数不为0即可．
【详解】
解：由题意可知，一元二次方程（m-1）²x2+（2m-1）x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，且二次项系数m-1≠0，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了一元二次方程判别式与根的个数问题，属于基础题，计算过程中细心，特别注意一元二次方程的二次项系数不为0．
12．
【分析】
设圆锥的底面圆的半径为r，利用弧长公式得到，解得r=，然后计算底面积与侧面积的和即可．
【详解】
解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得，解得r=，
所以这个圆锥的全面积=π×（）2+．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．
【分析】
根据题意画出树状图得出所有等可能的结果，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：画树状图如下：
∵共有20种等可能的结果，其中抽到的两人均为O型血的结果有6种，
∴抽到的两人均为O型血的概率为．
故答案为．
【点睛】
本题考查的是用树状图求概率．树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．
【分析】
连接BG、CG可得正三角形BCG，根据即可得出答案.
【详解】
解：如图所示，连接BG、CG，
∵BG=BC=CG，
∴△BGC是等边三角形，
∴∠GBC＝∠G CB＝60°，
∴∠G CD＝90°-60°=30°，
∵,
∴.
故答案为.
【点睛】
本题考查了扇形的面积.找出求阴影部分面积的关系式：是解题的关键.
15．或3
【分析】
当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，②当点落在边上时，分别求解．
【详解】
解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如答图1所示．
连结，
在中，，，
，
沿折叠，使点落在点处，
，
当为直角三角形时，只能得到，
点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，
，，
，
设，则，，
在中，
，
，解得，
；
②当点落在边上时，如答图2所示．
此时为正方形，
．
综上所述，的长为或3．
故答案为：或3．
【点睛】
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
16．，．
【分析】
先把分子分母分别因式分解，再把除法运算化为乘法运算，再约分即可得到原式＝，接着根据特殊角的三角函数值计算出x＝，然后把x＝代入中运算即可．
【详解】
解：原式＝
＝
＝，
∵x＝sin 60°+cs 30°×tan 60°，
∴x＝
＝
当x＝时，
原式＝
＝．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．本题还考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的计算．
17．（1）见解析（2）
【详解】
试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC==，∴sin∠ACB===，即sin∠A2C2B2=．
考点：作图﹣位似变换；作图﹣平移变换；解直角三角形．
18．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）如图，连接OA，由圆周角定理可得∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠CAD=∠ABC，可得∠OAC=90°，可得结论；
（2）由勾股定理可求OA=OD=3，由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长．
【详解】
（1）直线AC是⊙O的切线，
理由如下：如图，连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC，
又∵∠CAD=∠ABC，
∴∠OAB=∠CAD=∠ABC，
∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC，
∴AC⊥OA，
又∵OA是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD于E，
∵OC2=AC2+AO2，
∴(OA+2)2=16+OA2，
∴OA=3，
∴OC=5，BC=8，
∵S△OAC=OAAC=OCAE，
∴AE=，
∴OE=，
∴BE=BO+OE=，
∴AB=．
【点睛】
本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键．
19．（1），y=-x+6；（2）1【分析】
（1）先把A点带入反比例函数求出解析式，再求出B点坐标，从而求出一次函数解析式；
（2）观察图像即可得出自变量的范围；
（3）先求出D，C坐标，再根据面积的加减法即可求出面积．
【详解】
解：（1）∵A（1，5），B（m、1）两点都在反比例函数图像上
∴ 解得，得反比例函数
∴ 解得，得B（5、1）
把A，B两点带入y=ax+b 得 解得 既y=−x+6
（2）由图像可知，当ax+b>时，自变量的范围是1（3）∵直线AB解析式y=−x+6，当=0时，y=6，得D (0,6)，则OD =6
当y=0时， x=6,得C(6,0)，则CO=6
∵S△OAB = S△ODC - S△OAD -S△OBC,
∴S△OAB==12
【点睛】
本题主要考察了一次函数，反比例函数解析式求法及与面积相关的求解方法，准确求出解析式及观察出面积之间的关系是解题关键．
20．无人飞机P离地面的高度约为136米．
【分析】
过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，根据直角三角形的三角函数解答即可．
【详解】
过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，
根据题意，得AB＝300m，∠APC＝71°，∠BPC＝35°，
设PC＝xm，
在Rt△PBC中，BC＝CP×tan35°≈0.70x（m），
在Rt△PAC中，AC＝CP×tan71°≈2.90x（m），
∴300+0.70x＝2.90x，
∴x＝，
答：无人飞机P离地面的高度约为136米．
【点睛】
此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个直角三角形，再利用三角函数值解答．
21．（1）y＝，（2）w＝，在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是3600元，（3）第13天、第14天、第15天这3天，专柜处于亏损状态．
【分析】
（1）用待定系数法可求与的函数关系式；
（2）利用总销售额=销售单价×销售量，分三种情况，找到(元)关于(天)的函数解析式，然后根据函数的性质即可找到最大值．
（3）先根据第（2）问的结论判断出在这三段内哪一段内会出现亏损，然后列出不等式求出x的范围，即可找到答案．
【详解】
解：（1）当 时，设直线的表达式为
将 代入到表达式中得
解得
∴当时，直线的表达式为
∴ y＝，
（2）由已知得：w＝py．
当1≤x≤5时，w＝py＝（－x＋15）（20x＋180）＝－20x2＋120x＋2700
＝－20（x－3）2＋2880，当x＝3时，w取最大值2880，
当5＜x≤9时，w＝10（20x＋180）＝200x＋1800，
∵x是整数，200＞0，
∴当5＜x≤9时，w随x的增大而增大，
∴当x＝9时，w有最大值为200×9＋1800＝3600，
当9＜x≤15时，w＝10（－60x＋900）＝－600x＋9000，
∵－600＜0，∴w随x的增大而减小，
又∵x＝9时，w＝－600×9＋9000＝3600．
∴当9＜x≤15时，W的最大值小于3600
综合得：w＝，
在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是3600元．
（3）当时，
当 时，y有最小值，最小值为
∴不会有亏损
当时，
当 时，y有最小值，最小值为
∴不会有亏损
当时，

解得
∵x为正整数
∴
∴第13天、第14天、第15天这3天，专柜处于亏损状态．
【点睛】
本题主要考查二次函数和一次函数的实际应用，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
22．（1）；（2）点P（﹣1，3）或（﹣3，3）
【分析】
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出点A，点B，点D坐标，由相似三角形的性质可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x；
（2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣4x，
∴x1＝﹣4，x2＝0，
∴点A（﹣4，0），点B（0，0），
∴对称轴为x＝﹣2，
∴点D（﹣2，4），
如图，设对称轴与x轴的交点为H，过点P作PQ⊥DH于Q，设点P（m，﹣m2﹣4m），
∵△PEF∽△DAB，
∴，
∴PQ＝×4＝1，
∴|m+2|＝1，
∴m＝﹣1或﹣3，
∴点P（﹣1，3）或（﹣3，3）．
【点睛】
本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的性质、坐标与图形的性质、解二元一次方程、解绝对值方程，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，利用相似三角形的性质：高之比等于相似比求解是解答的关键．
23．（1）1；（2）不成立，，理由见解析；（3）6，．
【分析】
（1）连接BF，可知△ABC和△EFC都是等边三角形，证明△ACE≌△BCF（SAS），可得结论．
（2）连接BF，证明△ACE∽△BCF，可得∠CBF＝∠CAE，证明△BDF∽△AME可得结论．
（3）连接BF，取AC的中点M，连接EM，证明△BAC∽△FEC，得出∠ACB＝∠BCF，，证明△ACE∽△BCF，得出sin∠CAE，则得出sin∠CAE，求出sin∠CAE即可．
【详解】
解：（1）连接BF，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，
∴EC＝EF，∠CEF＝60°，
∴△EFC都是等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，
∴1；
（2）不成立，结论：．
证明：连接BF，
∵E是AD的中点，
∴EM∥BC，
∴∠AEM＝∠ADC，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AEM＝90°，
当∠BAM＝∠CEF＝90°时，
∵△ABC和△CEF为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴，
∴△ACE∽△BCF，
∴∠CBF＝∠CAE，
∴．
（3）连接BF，取AC的中点M，连接EM，
同（2）可知EC＝EF，∠BAC＝∠FEC，
∵，
∴△BAC∽△FEC，
∴∠ACB＝∠BCF，，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE∽△BCF，
∵D为BC的中点，M为AC的中点，
∴，
∴，
∵E为AD中点，M为AC的中点，
∴EM∥DC，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AE⊥EM，
∴sin∠CAE，
∴sin∠CAE，
∵AB＝13，BC＝10，
∴BD＝DC＝5，
∴AD＝12，
∴AE＝6，
∴sin∠CAE，
∴．
故答案为：6；．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．