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河南省商丘市夏邑县2020-2021学年上学期期末考试九年级 数学试卷（word版 含答案）
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这是一份河南省商丘市夏邑县2020-2021学年上学期期末考试九年级 数学试卷（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省商丘市夏邑县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．窗棂是中国技术木构建筑的构架结构设计，使窗成为传统建筑中最重要的构成要素之一，成为建筑的审美中心．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是3个白球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球
D．摸出的是2个黑球、1个白球
3．若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，则这两个相等的实数根是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
4．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
6．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
7．矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P是CD上的动点，当∠APB＝90°时，DP的长是（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．2或8
8．如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（ ）
A．不小于h B．不大于h C．不小于h D．不大于h
9．如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
10．已知∠PAQ＝36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；
②作直线MN交射线AP于点D，连接BD；
③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP于点C．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠CDB＝72° B．△ADB∽△ABC C．CD：AD＝2：1 D．∠ABC＝3∠ACB
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．“彩缕碧筠粽，香梗白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白糖粽2个，其中豆沙棕和红枣棕是甜粽．小明任意选取一个，选到甜棕的概率是 ．
12．若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣1的值为 ．
13．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于 ．
14．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
15．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是 ．
16．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点C，若BG＝3，CG＝2，则CE的长为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分）
17．解下列方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝12；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）．
（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．
19．一只不透明的袋子中有4个小球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和．记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：
摸球总次数
10
20
30
60
90
120
180
240
230
450
“和为7”出现的频数
1
9
14
24
26
37
58
82
109
150
“和为7”出现的频率
0.10
0.45
0.47
0.40
0.29
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
解答下列问题：
（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；
（2）根据（1），若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．
20．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y＝图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y＝的图象没有公共点．
21．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．
（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．
（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．
①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．
②若DE＝7，AM+MF＝17，求△ADF的面积．
22．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
23．如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC；AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）求证：BD＝DE+CE；
（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请给予证明．
（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；
（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE在不同位置时BD与DE，CE的位置关系．
2020-2021学年河南省商丘市夏邑县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．窗棂是中国技术木构建筑的构架结构设计，使窗成为传统建筑中最重要的构成要素之一，成为建筑的审美中心．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意．
故选：C．
2．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是3个白球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球
D．摸出的是2个黑球、1个白球
【分析】根据白色的只有两个，不可能摸出三个进行解答．
【解答】解：A．摸出的是3个白球是不可能事件；
B．摸出的是3个黑球是随机事件；
C．摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件；
D．摸出的是2个黑球、1个白球是随机事件，
故选：A．
3．若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，则这两个相等的实数根是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
【分析】根据根的判别式，令△＝0，建立关于a的不等式，据此求出a的值，再将函数值代入解析式，求出x的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即（﹣2）2﹣4a×2＝0，
解得，a＝，
原方程可化为x2﹣2x+2＝0，
整理得，x2﹣4x+4＝0，
解得x1＝x2＝2，
故选：C．
4．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x﹣2），
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故选项A错误；
当x＝0时，y＝﹣8，即该函数与y轴交于点（0，﹣8），故选项B错误；
当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C错误；
当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确；
故选：D．
5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
【分析】连接OC，OD．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论．
【解答】解：连接OC，OD．
在正五边形ABCDE中，∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
6．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
【分析】根据∠1＝∠2可得∠DAE＝∠BAC，再结合相似三角形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加可利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
D、添加不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
7．矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P是CD上的动点，当∠APB＝90°时，DP的长是（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．2或8
【分析】以AB的中点O为圆心，AB的一半5为半径作圆，交CD于点P，点P即为所求；设PC＝x，则PD＝10﹣x，证△ADP∽△PCB得＝，即＝，解之可得答案．
【解答】解：如图，以AB的中点O为圆心，AB的一半5为半径作圆，交CD于点P，点P即为所求；
设PC＝x，则PD＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAP+∠APD＝90°，
∵∠APB＝90°，
∴∠APD+∠BPC＝90°，
∴∠DAP＝∠CPB，
∴△ADP∽△PCB，
∴＝，即＝，
解得：x＝2或8，
PD＝10﹣x＝2或8，即PD＝2或8．
故选：D．
8．如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（ ）
A．不小于h B．不大于h C．不小于h D．不大于h
【分析】首先确定函数解析式，然后根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可．
【解答】解：设函数解析式为T＝，
∵经过点（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴函数解析式为T＝，
当T≤2℃时，t≥h，
故选：C．
9．如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【分析】观察函数y1＝x+1与函数的图象，即可得出当y1＞y2时，相应的自变量x的取值范围．
【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：D．
10．已知∠PAQ＝36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；
②作直线MN交射线AP于点D，连接BD；
③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP于点C．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠CDB＝72° B．△ADB∽△ABC C．CD：AD＝2：1 D．∠ABC＝3∠ACB
【分析】根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及判定、相似三角形的判定及三角形的内角和一一判断即可．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分AB，AB＝BC，
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠PAQ＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠DBA＝72°，故A正确；
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，故B正确；
∵∠A＝∠ACB＝36°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝108°，
∴∠ABC＝3∠ACB，故D正确；
∵∠ABD＝36°，∠ABC＝108°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝72°，
∴∠CBD＝∠CDB＝72°，
∴CD＝BC，
∵∠A＝∠ACB＝36°，
∴AB＝BC，
∴CD＝AB，
∵AD+DB＞AB，AD＝DB，
∴2AD＞AB，
∴2AD＞CD，故C错误．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．“彩缕碧筠粽，香梗白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白糖粽2个，其中豆沙棕和红枣棕是甜粽．小明任意选取一个，选到甜棕的概率是 ．
【分析】粽子总共有11个，其中甜粽有6个，根据概率公式即可求出答案．
【解答】解：由题意可得：粽子总数为11个，其中6个为甜粽，
所以选到甜粽的概率为：，
故答案为：．
12．若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣1的值为 2 ．
【分析】根据点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，可以求得ab的值，从而可以得到所求式子的值．
【解答】解：∵点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，
∴b＝，得ab＝3，
∴ab﹣1＝3﹣1＝2，
故答案为：2
13．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于 70° ．
【分析】根据切线的性质得∠OBC＝90°，则利用OC⊥OA得到∠AOC＝90°，则可计算出∠OAP＝20°，由于∠OBA＝∠OAB＝20°，则可利用互余计算出∠ABC的度数．
【解答】解：∵BC为切线，
∴OB⊥OB，
∴∠OBC＝90°，
∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠OPA＝∠BPC＝70°，
∴∠OAP＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣∠OBA＝90°﹣20°＝70°．
故答案为70°．
14．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 10 ．
【分析】设P（x，x2﹣x﹣4）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+10．根据二次函数的性质来求最值即可．
【解答】解：设P（x，x2﹣x﹣4），
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．
故答案为10．
15．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是 26 ．
【分析】利用△AFH∽△ADE得到＝（）2＝，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【解答】解：如图，设最小的三角形的底边为a，
∴FH＝3a，DE＝4a，
根据题意得△AFH∽△ADE，
∴＝（）2＝（）2＝，
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．
故答案为：26．
16．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点C，若BG＝3，CG＝2，则CE的长为 ．
【分析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝EG＝8﹣x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即可得到CE的长．
【解答】解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，
∴EG＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，
即x2+22＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴CE的长为，
故答案为：．
三．解答题
17．解下列方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝12；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）先计算出判别式的值，然后利用求根公式求方程的解．
【解答】解：（1）x2+2x﹣15＝0，
（x+5）（x﹣3）＝0，
x+5＝0或x＝3，
所以x1＝3，x2＝﹣5；
（2）解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8，
∴，
即，．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）．
（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．
【分析】（1）依据顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0），可得点C的坐标为（﹣1，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1），把A（1，﹣4）代入，可得二次函数解析式；
（2）当函数值为正数时，观察x轴上方部分的抛物线，即可得到自变量的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
【解答】解：（1）∵顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（﹣1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1），
把A（1，﹣4）代入，可得
﹣4＝a（1﹣3）（1+1），
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）（x+1），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由图可得，当函数值为正数时，自变量的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
19．一只不透明的袋子中有4个小球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和．记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：
摸球总次数
10
20
30
60
90
120
180
240
230
450
“和为7”出现的频数
1
9
14
24
26
37
58
82
109
150
“和为7”出现的频率
0.10
0.45
0.47
0.40
0.29
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
解答下列问题：
（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；
（2）根据（1），若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．
【分析】由于大量试验中“和为7”出现的频数稳定在0.3附近，据图表，可估计“和为7”出现的概率为3.1，3.2，3.3等均可．
【解答】解：（1）出现和为7的概率是：0.33（或0.31，0.32，0.34均正确）；
（2）如图，可知一共有4×3＝12种可能的结果，由（1）知，出现和为7的概率约为0.33，
2
3
4
x
2
﹣
5
6
2+x
3
5
﹣
7
3+x
4
6
7
﹣
4+x
x
2+x
3+x
4+x
﹣
∴和为7出现的次数为0.33×12＝3.96≈4（用另外三个概率估计值说明亦可）；
若2+x＝7，则x＝5，此时P（和为7）＝≈0.33，符合题意．
若3+x＝7，则x＝4，不符合题意．
若4+x＝7，则x＝3，不符合题意．
所以x＝5．
20．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y＝图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y＝的图象没有公共点．
【分析】（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），将（2，3）代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，联立①②即可求解；
（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，联立①③并整理得：kx2+5x﹣6﹣0，则△＝25+24k＜0，解得：k＜﹣，即可求解．
【解答】解：（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），
将（2，3）代入反比例函数表达式并解得：k＝2×3＝6，
故反比例函数表达式为：y＝①；
（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，
联立①②并解得：，
故交点坐标为（﹣2，﹣3）和（3，2）；
（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，
联立①③并整理得：kx2+5x﹣6＝0，
∵两个函数没有公共点，故△＝25+24k＜0，解得：k＜﹣，
故可以取k＝﹣2（答案不唯一），
故一次函数表达式为：y＝﹣2x+5（答案不唯一）．
21．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．
（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．
（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．
①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．
②若DE＝7，AM+MF＝17，求△ADF的面积．
【分析】（1）如图1，利用AB＝CD得到＝，则＝，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，然后根据等腰三角形的判定得到结论；
（2）①连接AC，如图，由弧BE＝弧BC得到∠CAB＝∠EAB，再根据等腰三角形的判定方法得到AC＝AF，则∠ACF＝∠AFC，然后圆周角定理、对顶角和等量代换得到∠DFE＝∠E；
②由∠DFE＝∠E得DF＝DE＝7，再利用AM＝DM得到AM＝MF+7，加上AM+MF＝17，于是可求出AM，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】（1）证明：如图1，
∵AB＝CD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠A＝∠D，
∴AM＝DM；
（2）①∠E与∠DFE相等．
理由如下：
连接AC，如图，
∵弧BE＝弧BC，
∴∠CAB＝∠EAB，
∵AB⊥CD，
∴AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∵∠ACF＝∠E，∠AFC＝∠DFE，
∴∠DFE＝∠E；
②∵∠DFE＝∠E，
∴DF＝DE＝7，
∵AM＝DM，
∴AM＝MF+7，
∵AM+MF＝17，
∴MF+7+MF＝17，解得MF＝5，
∴AM＝12，
∴S△ADF＝×7×12＝42．
22．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；
（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；
②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴＝＝，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴＝，
解得：BE＝4；
②∵＝，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
23．如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC；AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）求证：BD＝DE+CE；
（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请给予证明．
（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；
（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE在不同位置时BD与DE，CE的位置关系．
【分析】（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD＝EAC，又有AB＝AC，则有一个角及斜边相等，则可判定Rt△BAD≌Rt△AEC，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；
（2）由题中条件同样可得出Rt△BAD≌Rt△AEC，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
（4）利用（1）（2）（3）即可得出结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE+CE．
（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE﹣CE．
（3）同（2）的方法得出，BD＝DE﹣CE．
（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE．
当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．
2020-2021学年河南省商丘市夏邑县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．窗棂是中国技术木构建筑的构架结构设计，使窗成为传统建筑中最重要的构成要素之一，成为建筑的审美中心．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是3个白球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球
D．摸出的是2个黑球、1个白球
3．若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，则这两个相等的实数根是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
4．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
6．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
7．矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P是CD上的动点，当∠APB＝90°时，DP的长是（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．2或8
8．如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（ ）
A．不小于h B．不大于h C．不小于h D．不大于h
9．如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
10．已知∠PAQ＝36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；
②作直线MN交射线AP于点D，连接BD；
③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP于点C．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠CDB＝72° B．△ADB∽△ABC C．CD：AD＝2：1 D．∠ABC＝3∠ACB
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．“彩缕碧筠粽，香梗白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白糖粽2个，其中豆沙棕和红枣棕是甜粽．小明任意选取一个，选到甜棕的概率是 ．
12．若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣1的值为 ．
13．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于 ．
14．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
15．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是 ．
16．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点C，若BG＝3，CG＝2，则CE的长为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分）
17．解下列方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝12；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）．
（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．
19．一只不透明的袋子中有4个小球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和．记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：
摸球总次数
10
20
30
60
90
120
180
240
230
450
“和为7”出现的频数
1
9
14
24
26
37
58
82
109
150
“和为7”出现的频率
0.10
0.45
0.47
0.40
0.29
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
解答下列问题：
（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；
（2）根据（1），若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．
20．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y＝图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y＝的图象没有公共点．
21．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．
（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．
（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．
①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．
②若DE＝7，AM+MF＝17，求△ADF的面积．
22．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
23．如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC；AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）求证：BD＝DE+CE；
（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请给予证明．
（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；
（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE在不同位置时BD与DE，CE的位置关系．
2020-2021学年河南省商丘市夏邑县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．窗棂是中国技术木构建筑的构架结构设计，使窗成为传统建筑中最重要的构成要素之一，成为建筑的审美中心．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意．
故选：C．
2．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是3个白球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球
D．摸出的是2个黑球、1个白球
【分析】根据白色的只有两个，不可能摸出三个进行解答．
【解答】解：A．摸出的是3个白球是不可能事件；
B．摸出的是3个黑球是随机事件；
C．摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件；
D．摸出的是2个黑球、1个白球是随机事件，
故选：A．
3．若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，则这两个相等的实数根是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
【分析】根据根的判别式，令△＝0，建立关于a的不等式，据此求出a的值，再将函数值代入解析式，求出x的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即（﹣2）2﹣4a×2＝0，
解得，a＝，
原方程可化为x2﹣2x+2＝0，
整理得，x2﹣4x+4＝0，
解得x1＝x2＝2，
故选：C．
4．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x﹣2），
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故选项A错误；
当x＝0时，y＝﹣8，即该函数与y轴交于点（0，﹣8），故选项B错误；
当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C错误；
当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确；
故选：D．
5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
【分析】连接OC，OD．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论．
【解答】解：连接OC，OD．
在正五边形ABCDE中，∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
6．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
【分析】根据∠1＝∠2可得∠DAE＝∠BAC，再结合相似三角形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加可利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
D、添加不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
7．矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P是CD上的动点，当∠APB＝90°时，DP的长是（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．2或8
【分析】以AB的中点O为圆心，AB的一半5为半径作圆，交CD于点P，点P即为所求；设PC＝x，则PD＝10﹣x，证△ADP∽△PCB得＝，即＝，解之可得答案．
【解答】解：如图，以AB的中点O为圆心，AB的一半5为半径作圆，交CD于点P，点P即为所求；
设PC＝x，则PD＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAP+∠APD＝90°，
∵∠APB＝90°，
∴∠APD+∠BPC＝90°，
∴∠DAP＝∠CPB，
∴△ADP∽△PCB，
∴＝，即＝，
解得：x＝2或8，
PD＝10﹣x＝2或8，即PD＝2或8．
故选：D．
8．如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（ ）
A．不小于h B．不大于h C．不小于h D．不大于h
【分析】首先确定函数解析式，然后根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可．
【解答】解：设函数解析式为T＝，
∵经过点（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴函数解析式为T＝，
当T≤2℃时，t≥h，
故选：C．
9．如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【分析】观察函数y1＝x+1与函数的图象，即可得出当y1＞y2时，相应的自变量x的取值范围．
【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：D．
10．已知∠PAQ＝36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；
②作直线MN交射线AP于点D，连接BD；
③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP于点C．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠CDB＝72° B．△ADB∽△ABC C．CD：AD＝2：1 D．∠ABC＝3∠ACB
【分析】根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及判定、相似三角形的判定及三角形的内角和一一判断即可．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分AB，AB＝BC，
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠PAQ＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠DBA＝72°，故A正确；
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，故B正确；
∵∠A＝∠ACB＝36°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝108°，
∴∠ABC＝3∠ACB，故D正确；
∵∠ABD＝36°，∠ABC＝108°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝72°，
∴∠CBD＝∠CDB＝72°，
∴CD＝BC，
∵∠A＝∠ACB＝36°，
∴AB＝BC，
∴CD＝AB，
∵AD+DB＞AB，AD＝DB，
∴2AD＞AB，
∴2AD＞CD，故C错误．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．“彩缕碧筠粽，香梗白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白糖粽2个，其中豆沙棕和红枣棕是甜粽．小明任意选取一个，选到甜棕的概率是 ．
【分析】粽子总共有11个，其中甜粽有6个，根据概率公式即可求出答案．
【解答】解：由题意可得：粽子总数为11个，其中6个为甜粽，
所以选到甜粽的概率为：，
故答案为：．
12．若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣1的值为 2 ．
【分析】根据点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，可以求得ab的值，从而可以得到所求式子的值．
【解答】解：∵点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，
∴b＝，得ab＝3，
∴ab﹣1＝3﹣1＝2，
故答案为：2
13．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于 70° ．
【分析】根据切线的性质得∠OBC＝90°，则利用OC⊥OA得到∠AOC＝90°，则可计算出∠OAP＝20°，由于∠OBA＝∠OAB＝20°，则可利用互余计算出∠ABC的度数．
【解答】解：∵BC为切线，
∴OB⊥OB，
∴∠OBC＝90°，
∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠OPA＝∠BPC＝70°，
∴∠OAP＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣∠OBA＝90°﹣20°＝70°．
故答案为70°．
14．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 10 ．
【分析】设P（x，x2﹣x﹣4）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+10．根据二次函数的性质来求最值即可．
【解答】解：设P（x，x2﹣x﹣4），
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．
故答案为10．
15．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是 26 ．
【分析】利用△AFH∽△ADE得到＝（）2＝，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【解答】解：如图，设最小的三角形的底边为a，
∴FH＝3a，DE＝4a，
根据题意得△AFH∽△ADE，
∴＝（）2＝（）2＝，
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．
故答案为：26．
16．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点C，若BG＝3，CG＝2，则CE的长为 ．
【分析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝EG＝8﹣x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即可得到CE的长．
【解答】解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，
∴EG＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，
即x2+22＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴CE的长为，
故答案为：．
三．解答题
17．解下列方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝12；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）先计算出判别式的值，然后利用求根公式求方程的解．
【解答】解：（1）x2+2x﹣15＝0，
（x+5）（x﹣3）＝0，
x+5＝0或x＝3，
所以x1＝3，x2＝﹣5；
（2）解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8，
∴，
即，．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）．
（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．
【分析】（1）依据顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0），可得点C的坐标为（﹣1，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1），把A（1，﹣4）代入，可得二次函数解析式；
（2）当函数值为正数时，观察x轴上方部分的抛物线，即可得到自变量的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
【解答】解：（1）∵顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（﹣1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1），
把A（1，﹣4）代入，可得
﹣4＝a（1﹣3）（1+1），
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）（x+1），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由图可得，当函数值为正数时，自变量的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
19．一只不透明的袋子中有4个小球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和．记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：
摸球总次数
10
20
30
60
90
120
180
240
230
450
“和为7”出现的频数
1
9
14
24
26
37
58
82
109
150
“和为7”出现的频率
0.10
0.45
0.47
0.40
0.29
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
解答下列问题：
（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；
（2）根据（1），若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．
【分析】由于大量试验中“和为7”出现的频数稳定在0.3附近，据图表，可估计“和为7”出现的概率为3.1，3.2，3.3等均可．
【解答】解：（1）出现和为7的概率是：0.33（或0.31，0.32，0.34均正确）；
（2）如图，可知一共有4×3＝12种可能的结果，由（1）知，出现和为7的概率约为0.33，
2
3
4
x
2
﹣
5
6
2+x
3
5
﹣
7
3+x
4
6
7
﹣
4+x
x
2+x
3+x
4+x
﹣
∴和为7出现的次数为0.33×12＝3.96≈4（用另外三个概率估计值说明亦可）；
若2+x＝7，则x＝5，此时P（和为7）＝≈0.33，符合题意．
若3+x＝7，则x＝4，不符合题意．
若4+x＝7，则x＝3，不符合题意．
所以x＝5．
20．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y＝图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y＝的图象没有公共点．
【分析】（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），将（2，3）代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，联立①②即可求解；
（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，联立①③并整理得：kx2+5x﹣6﹣0，则△＝25+24k＜0，解得：k＜﹣，即可求解．
【解答】解：（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），
将（2，3）代入反比例函数表达式并解得：k＝2×3＝6，
故反比例函数表达式为：y＝①；
（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，
联立①②并解得：，
故交点坐标为（﹣2，﹣3）和（3，2）；
（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，
联立①③并整理得：kx2+5x﹣6＝0，
∵两个函数没有公共点，故△＝25+24k＜0，解得：k＜﹣，
故可以取k＝﹣2（答案不唯一），
故一次函数表达式为：y＝﹣2x+5（答案不唯一）．
21．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．
（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．
（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．
①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．
②若DE＝7，AM+MF＝17，求△ADF的面积．
【分析】（1）如图1，利用AB＝CD得到＝，则＝，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，然后根据等腰三角形的判定得到结论；
（2）①连接AC，如图，由弧BE＝弧BC得到∠CAB＝∠EAB，再根据等腰三角形的判定方法得到AC＝AF，则∠ACF＝∠AFC，然后圆周角定理、对顶角和等量代换得到∠DFE＝∠E；
②由∠DFE＝∠E得DF＝DE＝7，再利用AM＝DM得到AM＝MF+7，加上AM+MF＝17，于是可求出AM，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】（1）证明：如图1，
∵AB＝CD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠A＝∠D，
∴AM＝DM；
（2）①∠E与∠DFE相等．
理由如下：
连接AC，如图，
∵弧BE＝弧BC，
∴∠CAB＝∠EAB，
∵AB⊥CD，
∴AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∵∠ACF＝∠E，∠AFC＝∠DFE，
∴∠DFE＝∠E；
②∵∠DFE＝∠E，
∴DF＝DE＝7，
∵AM＝DM，
∴AM＝MF+7，
∵AM+MF＝17，
∴MF+7+MF＝17，解得MF＝5，
∴AM＝12，
∴S△ADF＝×7×12＝42．
22．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；
（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；
②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴＝＝，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴＝，
解得：BE＝4；
②∵＝，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
23．如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC；AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）求证：BD＝DE+CE；
（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请给予证明．
（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；
（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE在不同位置时BD与DE，CE的位置关系．
【分析】（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD＝EAC，又有AB＝AC，则有一个角及斜边相等，则可判定Rt△BAD≌Rt△AEC，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；
（2）由题中条件同样可得出Rt△BAD≌Rt△AEC，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
（4）利用（1）（2）（3）即可得出结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE+CE．
（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE﹣CE．
（3）同（2）的方法得出，BD＝DE﹣CE．
（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE．
当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．
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