高中数学3.3导数在研究函数中的应用当堂达标检测题

2021年高中数学选修《函数的单调性与导数》

基础练习卷

一、选择题

1.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　 　)

A.y=sinx       B.y=xe2          C.y=x3－x       D.y=lnx－x

2.已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一，且其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　 　)

3.函数f(x)=2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　 　)

A.0　　       B.1         C.2　　       D.3

4.函数f(x)=ax3－x在R上为减函数，则(　 　)

A.a≤0       B.a<1         C.a<2       D.a≤

5.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)(　　)

A．有最大值，但无最小值         B．有最大值，也有最小值

C．无最大值，但有最小值         D．既无最大值，也无最小值

6.若函数f(x)=x3-3x2-9x＋k在区间[-4,4]上的最大值为10，则其最小值为(　　)

A．-10         B．-71         C．-15         D．-22

7.函数y=2x3-3x2-12x＋5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是(　　)

A．12，-8         B．1，-8         C．12，-15         D．5，-16

8.函数f(x)=x3-3x2＋1的单调递减区间为(　　)

A．(2，＋∞)       B．(-∞，2)       C．(-∞，0)       D．(0,2)

9.函数y=x2-ln x的单调递减区间为(　　)

A．(-1,1]        B．(0,1]       C．[1，＋∞)       D．(0，＋∞)

10.函数f(x)=x3＋ax-2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．[3，＋∞)       B．[-3，＋∞)       C．(-3，＋∞)       D．(-∞，-3)

11.若函数f(x)=x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)

A.a≥1        B.a=1     C.a≤1           D.0<a<1

12.函数y=xln x在(0,5)上的单调性是(　　)

A．单调递增

B．单调递减

C．在上单调递减，在上单调递增

D．在上单调递增，在上单调递减

二、填空题

13.函数f(x)=＋x2-3x-4在[0,2]上的最小值是________．

14.若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m-n=________.

15.若函数y=x2-2bx＋6在(2,8)内是增函数，则实数b的取值范围是________．

16.已知函数f(x)=x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是       .

三、解答题

17.已知函数f(x)=x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.

(1)求a、b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间.

18.已知函数f(x)=(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.

(1)若a=1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若a=－1，求f(x)的单调区间.

19.已知函数f(x)=alnx＋＋x(a>0).若函数y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y=0垂直.

(1)求实数a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间.

20.已知函数f(x)=2x3-6x2＋a在[-2,2]上有最小值-37，求a的值，并求f(x)在[-2,2]上的最大值．

21.已知函数f(x)=x3＋ax2＋bx，且f′(-1)=-4，f′(1)=0.

(1)求a和b；

(2)试确定函数f(x)的单调区间．

22.已知a≥0，函数f(x)=(x2-2ax)ex.

设f(x)在区间[-1,1]上是单调函数，求a的取值范围．

23.已知函数f(x)=x2＋2alnx.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数g(x)=＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围.

0.答案解析

1.答案为：B.

解析：对于B，y=xe2，则y′=e2，

∴y=xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B.

2.答案为：B.

解析：由导函数图象可知函数在[－1,1]上为增函数，又因导函数值在[－1,0]递增，

原函数在[－1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，

原函数在[0,1]上切线的斜率递减，选B.

3.答案为：B.

解析：本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力.

∵f(x)=2x＋x3－2,0<x<1，∴f ′(x)=2xln2＋3x2>0在(0,1)上恒成立，

∴f(x)在(0,1)上单调递增.

又f(0)=20＋0－2=－1<0，f(1)=2＋1－2=1>0，f(0)f(1)<0，

则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，

又函数y=f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点.

4.答案为：A.

解析：f ′(x)=3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.

5.答案为：D；

解析：f′(x)=3x2-3=3(x＋1)(x-1)，当x∈(-1,1)时，f′(x)<0，

所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．

6.答案为：B；

解析：f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x＋1)．由f′(x)=0，得x=3或x=-1.

又f(-4)=k-76，f(3)=k-27，f(-1)=k＋5，f(4)=k-20.

由f(x)max=k＋5=10，得k=5，∴f(x)min=k-76=-71.

7.答案为：A；

解析：y′=6x2-6x-12，由y′=0⇒x=-1或x=2(舍去)．

x=-2时，y=1；x=-1时，y=12；x=1时，y=-8. ∴ymax=12，ymin=-8.故选A.

8.答案为：D；

解析：f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，

令f′(x)<0，得0<x<2.∴函数f(x)的单调递减区间为(0,2)．

9.答案为：B；

解析：函数y=x2-ln x的定义域为(0，＋∞)，y′=x-=，

令y′≤0，可得0＜x≤1.

10.答案为：B；

解析：f′(x)=3x2＋a，令3x2＋a≥0，∴a≥-3x2，∵x∈(1，＋∞)，∴a≥-3.

11.答案为：A；

解析：因为f′(x)=3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，

所以不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，所以f′(0)≤0，且f′(1)≤0，所以a≥1.

12.答案为：C；

解析：由已知得函数的定义域为(0，＋∞)．∵y′=ln x＋1，令y′＞0，得x＞.

令y′＜0，得x＜.∴函数 y=xln x在上单调递减，在上单调递增．

13.答案为：- ；

解析：f′(x)=x2＋2x-3，令f′(x)=0，得x=1(x=-3舍去)，

又f(0)=-4，f(1)=-，f(2)=-，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)=-.

14.答案为：20；

解析：∵f′(x)=3x2-3，∴当x＞1或x＜-1时，f′(x)＞0；

当-1＜x＜1时，f′(x)＜0.∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．

∴f(x)min=f(1)=1-3-a=-2-a=n.

又∵f(0)=-a，f(3)=18-a，∴f(0)＜f(3)．∴f(x)max=f(3)=18-a=m，

∴m-n=18-a-(-2-a)=20.

15.答案为：(-∞，2]；

解析：y′=2x-2b≥0在(2,8)内恒成立，即b≤x在(2,8)内恒成立，∴b≤2.

16.答案为：(－∞，0].

解析：∵f(x)=x3－ax2－3x，∴f ′(x)=3x2－2ax－3，

又因为f(x)=x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，

f ′(x)=3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，

∴解得a≤0，

17.解：(1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，

∴f(1)=2.∴a＋b=1.①

又函数图象在点P处的切线斜率为8，

∴f ′(1)=8，

又f ′(x)=3x2＋2ax＋b，

∴2a＋b=5.②

解由①②组成的方程组，

可得a=4，b=－3.

(2)由(1)得f ′(x)=3x2＋8x－3，

令f ′(x)>0，可得x<－3或x>；

令f ′(x)<0，可得－3<x<.

∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(，＋∞)，单调减区间为(－3，).

18.解：(1)因为f(x)=(x2＋x－1)ex，

所以f′(x)=(2x＋1)ex＋(x2＋x－1)ex=(x2＋3x)ex，

所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e.

又因为f(1)=e，

所以所求切线方程为y－e=4e(x－1)，

即4ex－y－3e=0.

(2)f(x)=(－x2＋x－1)ex，因为f′(x)=－x(x＋1)ex，令f′(x)<0，

得x<－1或x>0；f′(x)>0

得－1<x<0.

所以f(x)的减区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，增区间为(－1,0).

19.解：(1)f ′(x)=－＋1，

∵f ′(1)=－2，∴2a2－a－3=0，∵a>0，∴a=.

(2)f ′(x)=－＋1==，

∵当x∈(0，)时，f ′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，f ′(x)>0，

∴f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞).

20.解：f′(x)=6x2-12x=6x(x-2)，由f′(x)=0，得x=0或x=2.

当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：

∴当x=-2时，f(x)min=-40＋a=-37，得a=3.当x=0时，f(x)最大值是3.

21.解：

(1)∵f(x)=x3＋ax2＋bx，∴f′(x)=x2＋2ax＋b，

由得解得a=1，b=-3.

(2)由(1)得f(x)=x3＋x2-3x.f′(x)=x2＋2x-3=(x-1)(x＋3)．

由f′(x)>0得x>1或x<-3；由f′(x)<0得-3<x<1.

∴f(x)的单调递增区间为(-∞，-3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(-3,1)．

22.解：

f′(x)=(2x-2a)ex＋(x2-2ax)ex=ex[x2＋2(1-a)x-2a]．

令f′(x)=0，即x2＋2(1-a)x-2a=0.

解得x1=a-1-，x2=a-1＋，

令f′(x)＞0，得x＞x2或x＜x1，

令f′(x)＜0，得x1＜x＜x2.

∵a≥0，∴x1<-1，x2≥0.

由此可得f(x)在[-1,1]上是单调函数的充要条件为x2≥1，

即a-1＋≥1，解得a≥.故所求a的取值范围为.

23.解：(1)f ′(x)=2x＋=，

函数f(x)的定义域为(0，＋∞).

①当a≥0时，f ′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；

②当a<0时f ′(x)=.

当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：

由表格可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，＋∞).

(2)由g(x)=＋x2＋2alnx，得g′(x)=－＋2x＋，

由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，

则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，

即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立.

即a≤－x2在[1,2]上恒成立.

令h(x)=－x2，x∈[1,2]，则h′(x)=－－2x=－(＋2x)<0，

∴h(x)在[1,2]上为减函数.h(x)min=h(2)=－，

∴a≤－，故a的取值范围为{a|a≤－}.