高中数学人教版新课标A选修1-13.3导数在研究函数中的应用第2课时教案

教学环节

教学活动

设计意图

一、复习引入

1．  两个向量的数量积如何运算？

2．  向量的模与向量的数量积是什么关系？

3．  向量的加法法则。

为探索新知识做准备.

二、探究与练习

一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）

二、例题

例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？

解：如图1，设

化为向量问题

依据向量的加法法则，

进行向量运算

    回到图形问题

    这个晶体的对角线        的长是棱长的 倍。

思考：

（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？

分析:

    （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于  , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?

分析:

∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。

    （3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）

    分析：面面距离   点面距离    向量的模    回归图形

解：

练习:

如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA， BC的中点，连结DE，计算DE的长

例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为

a和b,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值

解：如图

    化为向量问题

    根据向量的加法法则

进行向量运算

 设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。

因此

回到图形问题

库底与水坝所成二面角的余弦值为

思考：

    （1）本题中如果夹角   可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？

分析：

∴ 可算出 AB 的长。

（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？

    分析：如图，设以顶点A为端点的对角线长为d，三条棱长分别为            a,b,c,各棱间夹角为.

（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等a，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？

    分析：二面角    平面角     向量的夹角    回归图形

解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1E⊥AB 于点 E，在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。

    ∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。

练习：

    （1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长。

     2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。

让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。

例1的图形比较规范，容易把握，可以让学生很好地体会向量解题的优势。

提醒学生不能缺少这一步。

转化为向量。

这是例题1的推广，方法类似，学生进一步体会.

让学生体会空间距离的转化。

及时进行类比训练，巩固所学方法和技能。

例2是关于角的有关问题，引导学生找到相应的向量进行转化。

以下设计与例1类似。

三、小结

1．   用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。

2．   面面距离点面距离向量的模回归图形

   二面角平面角向量的夹角回归图形

反思归纳

四、作业

课本P112     第 2、4 题。