2022年高考数学一轮复习考点练习13《导数与函数的单调性》(含答案详解)

一轮复习考点练习13《导数与函数的单调性》

一、选择题

1.下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A.f(x)=sin 2x　   B.f(x)=xex      C.f(x)=x3－x    D.f(x)=－x＋ln x

2.函数f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y=ax2＋bx＋的单调递增区间是(　　)

A.(－∞，－2]     B.[,+∞)   C.[－2,3]    D.[,+∞)

3.函数f(x)=x－ln x的单调递减区间为(　　)

A.(0，1)    B.(0，＋∞)    C.(1，＋∞)   D.(－∞，0)∪(1，＋∞)

4.已知函数f(x)=x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是(　　)

6.若函数f(x)=kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)

A.(－∞，－2]   B.(－∞，－1]   C.[2，＋∞)  D.[1，＋∞)

7.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)

A.(－3，0)∪(3，＋∞)

B.(－3，0)∪(0，3)

C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D.(－∞，－3)∪(0，3)

8.若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是(　　)

A.f(x)=2－x      B.f(x)=x2           C.f(x)=3－x        D.f(x)=cos x

9.已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)<0，若a<b，则一定有(　　)

A.af(a)<bf(b)        B.af(b)<bf(a)

C.af(a)>bf(b)        D.af(b)>bf(a)

10.定义域为R的函数f(x)满足f(1)=1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)<x＋1的x的集合为(　　)

A.{x|－1<x<1}      B.{x|x<1}   C.{x|x<－1或x>1}    D.{x|x>1}

11.设函数f(x)=x2－9ln x 在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,2]        B.(4，＋∞)     C.(－∞，2)        D.(0,3]

12.已知函数f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0=(3－x0)(x－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调递增区间是(　　)

A.(－1，1)，(3，＋∞)        B.(－∞，－1)，(1，3)

C.(－1，1)∪(3，＋∞)        D.(－∞，－1)∪(1，3)

二、填空题

13.若函数y=－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________.

14.已知函数f(x)=－x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围_______.

15.已知函数f(x)的导函数为f ′(x)=5＋cos x，x∈(－1,1)，且f(0)=0，如果f(1－x)＋f(1－x2)＜0，则实数x的取值范围为__________.

16.已知函数f(x)=x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数.若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________.

0.答案解析

1.答案为：B；

解析：对于A，f(x)=sin 2x的单调递增区间是(k∈Z)；

对于B，f′(x)=ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，

∴函数f(x)=xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)=3x2－1，

令f′(x)>0，得x>或x<－，

∴函数f(x)=x3－x在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增；

对于D，f′(x)=－1＋=－，令f′(x)>0，得0<x<1，

∴函数f(x)=－x＋ln x在区间(0,1)上单调递增.综上所述，应选B.

2.答案为：D；

解析：由题图可知d=0.不妨取a=1，∵f(x)=x3＋bx2＋cx，∴f′(x)=3x2＋2bx＋c.

由图可知f′(－2)=0，f′(3)=0，∴12－4b＋c=0,27＋6b＋c=0，∴b=－，c=－18.

∴y=x2－x－6，y′=2x－.当x≥时，y′≥0，

∴y=x2－x－6的单调递增区间为[,+∞).故选D.

3.答案为：A；

解析：函数的定义域是(0，＋∞)，

且f′(x)=1－=，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，

所以函数f(x)的单调递减区间是(0，1).

4.答案为：A；

解析：f′(x)=x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，

故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.

5.答案为：D；

解析：不妨设导函数y=f′(x)的零点依次为x1，x2，x3，其中x1＜0＜x2＜x3，由导函数图象可知，y=f(x)在(－∞，x1)上为减函数，在(x1，x2)上为增函数，在(x2，x3)上为减函数，在(x3，＋∞)上为增函数，从而排除A，C.y=f(x)在x=x1，x=x3处取到极小值，在x=x2处取到极大值，又x2＞0，排除B，故选D.

6.答案为：D；

解析：由于f′(x)=k－，则f(x)=kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增

⇒f′(x)=k－≥0在(1，＋∞)上恒成立.

由于k≥，而0<<1，所以k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞).

7.答案为：D；

解析：因为当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即[f(x)g(x)]′>0，

所以f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增，

又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(x)g(x)为奇函数，关于原点对称，所以f(x)g(x)在(0，＋∞)上也是增函数.因为f(3)g(3)=0，所以f(－3)g(－3)=0.所以f(x)g(x)<0的解集为x<－3或0<x<3.

8.答案为：A；

解析：当f(x)=2－x时，ex·f(x)=ex·2－x=，

令y=，则y′=()′==(1－ln 2).

∵ex＞0，2x＞0，ln 2＜1，∴y′＞0.

∴当f(x)=2－x时，ex·f(x)在f(x)的定义域上单调递增，故具有M性质，经验证B、C、D不具有M性质，故选A.

9.答案为：C；

解析：[x·f(x)]′=x′f(x)＋x·f′(x)=f(x)＋x·f′(x)<0，

∴函数x·f(x)是R上的减函数，∵a<b，∴af(a)>bf(b).

10.答案为：B；

解析：令g(x)=2f(x)－x－1，∵f′(x)>，∴g′(x)=2f′(x)－1>0，

∴g(x)为单调增函数，∵f(1)=1，∴g(1)=2f(1)－1－1=0，

∴当x<1时，g(x)<0，即2f(x)<x＋1，故选B.

11.答案为：A；

解析：∵f(x)=x2－9ln x，∴f′(x)=x－(x>0)，由x－≤0，得0<x≤3，

∴f(x)在(0,3]上是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0,3]，

∴a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2.

12.答案为：B；

解析：因为函数f(x)的图象上任一点(x0，y0)的切线方程为y－y0=(3－x0)(x－1)(x－x0)，即函数图象在点(x0，y0)的切线斜率k=(3－x0)(x－1)，所以f′(x)=(3－x)(x2－1).

由f′(x)=(3－x)(x2－1)＞0，解得x＜－1或1＜x＜3，

即函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(1，3).故选B.

13.答案为：(0，＋∞)

解析：因为y′=－4x2＋a，且y有三个单调区间，

所以方程y′=－4x2＋a=0有两个不等的实根，

所以Δ=02－4×(－4)×a＞0，所以a＞0.

14.答案为：(0，1)∪(2，3)

解析：由题意知f′(x)=－x＋4－=－，

由f′(x)=0，得函数f(x)的两个极值点为1和3，

则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，

函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，

由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.

15.答案为：(1，)

解析：∵f ′(x)是偶函数，且f(0)=0，

∴原函数f(x)是奇函数，且定义域为(－1,1).又导函数值恒大于0，

∴原函数在定义域上单调递增， ∴所求不等式可变形为f(1－x)＜f(x2－1)，

∴－1＜1－x＜x2－1＜1，解得1＜x＜，∴实数x的取值范围是(1，).

16.答案为：[-1,].

解析：函数f(x)的定义域关于原点对称.

∵f(x)=x3－2x＋ex－，

∴f(－x)=(－x)3－2(－x)＋e－x－=－x3＋2x＋－ex=－f(x)，

∴f(x)为奇函数，又f′(x)=3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2=3x2≥0(当且仅当x=0时，取“=”)，从而f(x)在R上单调递增，

所以f(a－1)＋f(2a2)≤0⇔f(a－1)≤f(－2a2)⇔－2a2≥a－1，解得－1≤a≤.