选修1-13.3导数在研究函数中的应用教案及反思

教学环节

教学活动

设计意图

(1)复习导数概念及其几何意义

作业讲评及提问,回忆导数定义,

为课题引入作铺垫.

(2)如何求函数的导数?

回顾分析导数定义,明确根据定义求导数的方法.

课题引入.

(3)求函数的导数.

以教师计算演示为主,说明根据定义求导数这种方法的具体操作过程.

展示两个例子计算过程,让学生体会根据定义求导数的方法.

(4)概括根据定义求导数的具体步骤.

教师引导学生概括求以上函数导数的具体步骤:

(1)求,化简;

(2)观察:”当时, 化简结果于哪

个定值?”

(3)定值即为函数的导数.

将方法具体化为程序性步骤,以便能快捷地根据定义求导数.

(5)根据概括的具体步骤求函数的导数.

学生亲自动手计算,并展示结果,教师给予评价和点评出现的问题.

让学生模仿, 根据具体步骤亲自尝试求导过程.

(6)函数的几何意义是什么?从物体运动角度看,他们各自的物理意义是什么?

让学生画图象,引导学生从几何和物理角度两方面解释导数的意义,理解导数的内涵.

将导数各方面的意义联系起来,相互转化,让学生进一步理解导数的内涵.

(7)教科书P13探究一.

教师指导学生分组进行探究性学习,分别展示研究结论,教师分析点评并小结.

(1)  学生通过练习进一步熟悉方法.

(2)  数形结合,进一步理解导数内涵.

(3)  为1.3作铺垫.

(8)求①的导数?

②求的导数?

③猜想的导数?

学生板演,教师巡堂;(2)小结点评更正;(3)教师展示: ()

证明：=

∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=

=+Δx+(Δx)2+…+－=Δx+ (Δx)2+…+,=+Δx+…+∴===

+Δx+…+·)==n

∴=.

类比归纳,扩展提升.

说明：实际上，此公式对都成立，但证明较复杂，所以课本只给出了

的证明.

注：针对平行班的情况，可省去()

的证明过程。

(9)如何求的导数?

学生讨论,研究.可以从代数的四则运算谈起,顺便回故所学过的代数运算,强调运算法则的必要性和合理性和实用性.

探讨导数应该有哪些运算法则?

(10) 求的导数．

解： .

熟悉运算法则

(11)课堂小结

(1)求函数的导数的一般方法：

①求函数的改变量.

②求平均变化率.

③取极限，得导数＝.

(2)常见函数的导数公式：； .

(3)运算法则1  两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和

(或差)，即.

(12)作业布置:教科书P13探究二(函数变式: ),P18A组1,2,5

注:如果环节(8) ③中未完成则课后做作业.

练习与测试：

1.求下列函数的导数：(1)   (2) .

2.质点的运动方程是s = t3，(s单位m，t单位s)，求质点在t=3时的速度.

3.物体自由落体的运动方程是s = s(t )=gt2，(s单位m，t单位s，g=9.8 m/s2)，求t=3时的速度.

4.求曲线y=x4在点P(2，16)处的切线方程.

5. 求曲线在点A的切线方程．

6.求曲线y=x4在点P(2，16)处的切线方程.

参考答案:

1． (1) y′= ()′= (x－3)′= －3x－3－1 = －3x－4

(2)

2．解：v =s′=(t3)′=3t3－1=3t2, ∴当t=3时，v=3×32=27 m/s，∴质点在t=3时的速度为27 m/s.

3．解：v=s′(t)=(gt2)′=g·2t2－1=gt. ∴t=3时，v=g·3=9.8·3=29.4 m/s，

∴t=3时的速度为29.4 m/s.

4．解：y′=(x4)′=4x4－1=4x3.∴y′|x=2=4·23=32,∴点P(2，16)处的切线方程为y－16=32(x－2)，

即32x－y－48=0.

5．∵　　　　∴　∴　　　

∴　所求切线的斜率　∴　所求切线的方程为　，

即　　　

答：曲线在点A的切线方程为．

6.y′=(x4)′=4x4－1=4x3.∴y′|x=2=4·23=32

∴点P(2，16)处的切线方程为y－16=32(x－2)，即32x－y－48=0.