人教版新课标B必修1第一章 集合综合与测试导学案

微专题1　利用数轴、维恩图解决集合问题

在集合的运算中，特别是涉及到集合的交集、并集、补集时，往往要对集合的可能情况进行分类讨论，运算较大，容易出错，而若能巧用数轴、维恩图化解集合问题，就可避免分类讨论，使解题显得直观、形象，从而简化解题步骤，提高解题效率．

一、利用数轴解决集合的运算问题

例1　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)．

解　如图，首先在数轴上表示出全集U和集合A，B.

这样A∩B＝{x|－2≤x≤2}，∁UA＝{x|x<－2或3<x≤4}，∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3<x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2<x≤3}，(∁UA)∪(∁UB)＝{x|x<－2或2<x≤4}．

反思感悟　利用数轴表示数集是化解集合运算的常用手段，求解补集等问题时更要注意全集U及区间端点的取舍等问题．

二、利用数轴解决集合的逆运算问题

例2　设全集为I＝R，集合M＝{x|x≤1}，N＝{x|－1≤x≤2}，则{x|1<x≤2}等于(　　)

A．M∪N   B．M∩N

C．(∁IM)∪N   D．(∁IM)∩N

答案　D

解析　如图所示，在数轴上标好集合M与集合N，这样结合已知条件逐一分析后可得到答案为D.

反思感悟　此题是一个集合的逆向运算问题，借助于数轴可对集合的本质属性了解得更加清楚，有助于问题的化解．

三、利用数轴解决求参数范围问题

例3　已知集合A＝(－3,4]，集合B＝[k＋1,2k－1]．

(1)若A∪B＝A，求k的取值范围；

(2)若A∩B＝A，求k的取值范围．

解　(1)∵A∪B＝A，∴B⊆A，

①当B＝∅时，k＋1>2k－1，∴k<2.

②当B≠∅时，则根据题意如图所示：

根据数轴可得

解得2≤k≤.

综合①②可得k的取值范围为.

(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B.

又A＝(－3,4]，B＝[k＋1,2k－1]，

可知B≠∅.

由数轴可知

解得k∈∅，

即当A∩B＝A时，k不存在．

反思感悟　利用数轴解决集合问题，关键要能够正确画出集合在数轴的范围表示，特别要注意区间端点是否包含．

四、利用维恩图解决集合中元素问题

例4　设全集U＝{不大于20的质数}，M，P是U的两个子集，且满足M∩(∁UP)＝{3,5}，(∁UM)∩P＝{7,19}，(∁UM)∩(∁UP)＝{2,17}，求集合M，P.

解　根据题意，已知全集U＝{不大于20的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，

由M∩(∁UP)＝{3,5}可知，

3∈M,5∈M且3∉P,5∉P；

由(∁UM)∩P＝{7,19}可知，

7∈P,19∈P且7∉M,19∉M；

又由(∁UM)∩(∁UP)＝{2,17}可知，

2∉M,17∉M,2∉P,17∉P.

这样依次可画出维恩图，结合图示对11,13分别进行分析，

可知11,13在两个集合的交集内．

因此集合M＝{3,5,11,13}，P＝{7,11,13,19}．

反思感悟　在集合的确定过程中，往往要用检验法进行验证，以得到正确答案．维恩图的优点在于，可使问题形象、直观，因此借助于维恩图化解有关集合问题是一个有效的手段与方法．