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高中数学人教版新课标B必修11.1.1集合的概念第1课时导学案及答案
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这是一份高中数学人教版新课标B必修11.1.1集合的概念第1课时导学案及答案，共9页。学案主要包含了集合概念的理解，元素与集合的关系，元素特点的应用等内容，欢迎下载使用。
1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合的概念
学习目标 1.了解集合和元素的含义.2.理解集合中元素的特点.3.体会元素与集合的“属于”和“不属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.4.理解集合相等的概念．
知识点一 元素与集合的概念
1．集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．
2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．
3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅.
知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”．
2．不属于：如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”．
知识点三 集合元素的特点
1．确定性：集合的元素必须是确定的．
2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．
3．无序性：集合中的元素可以任意排列．
思考 我们班“个子比较高的同学”能不能构成一个集合？
答案 不能，因为违反了集合中元素的确定性，也就是“个子比较高的同学”没有明确的标准．
知识点四 集合相等
给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B.
知识点五 集合的分类
1．有限集：含有有限个元素的集合．
2．无限集：含有无限个元素的集合．
知识点六 几种常见的数集
1．组成集合的元素一定是数．( × )
2．接近于0的数可以组成一个集合．( × )
3．0∈N，但0∉N＋.( √ )
4．一个集合中可以找到两个相同的元素．( × )
一、集合概念的理解
例1 (多选)下列说法正确的是( )
A．不超过20的所有自然数构成的集合有21个元素
B．方程x2－9＝0的所有实数解能构成一个含有两个元素的集合
C．由实数－1,0和方程x2＝1的解能构成四个元素组成的集合
D．由2,3,4,5构成的集合和3,2,5,4构成的集合是相等的集合
答案 ABD
解析 对于A，不超过20的所有自然数有0,1，…，20，所以它们能够构成一个含有21个元素的集合；对于B，方程x2－9＝0的实数解有－3和3，它们能够构成一个集合，且含有两个元素；对于C，由于x2＝1的解有－1和1，它们同－1,0构成集合时－1只能算作一个元素，所以该选项不正确；对于D，由元素的无序性，可以知道这两个集合是相等的，所以D正确．
反思感悟 集合中元素的三个特点
(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
跟踪训练1 下列说法中，正确的有________．(填序号)
①单词bk的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②当今世界上的高科技产品构成一个集合；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到的两个集合相等．
答案 ③
解析 ①不正确．bk的字母有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.
②不正确．
③正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．
二、元素与集合的关系
例2 (多选)下列关系中正确的为( )
A.eq \r(2)∈Q B．－1∉N
C．π∉R D．|－4|∈Z
答案 BD
解析 ∵eq \r(2)是无理数，∴eq \r(2)∉Q，故A错误；－1∉N，故B正确；∵π是实数，∴π∈R，故C错误；∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故D正确．
反思感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
跟踪训练2 给出下列关系：①eq \f(1,4)∈R；②|－1|∉N；③|－3|∈Q；④0∉N.其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①③正确；②④不正确．
三、元素特点的应用
例3 已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.
解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－eq \f(3,2).
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－eq \f(3,2)时，a－2＝－eq \f(7,2)，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性．
∴a＝－eq \f(3,2).
延伸探究
若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值．
解 由a∈A，可得a－2＝a，或2a2＋5a＝a，或12＝a，
当a－2＝a时，－2＝0，这显然不可能，
当2a2＋5a＝a时，a＝0或a＝－2，
若a＝0，三个元素分别为－2,0,12，适合；
若a＝－2，三个元素分别为－4，－2,12，适合．
当12＝a时，这三个元素是10,348,12，适合．
综上所述，a的值为0或－2或12.
反思感悟 集合中元素求参数时要注意
(1)注意分类讨论思想的应用．
(2)根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验．
跟踪训练3 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
解 ∵－3∈A，
∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意；
综上所述，a＝0或a＝－1.
根据集合相等求参数值
典例 若集合A中有三个元素x，x＋1,1，集合B中也有三个元素，x，x2＋x，x2，且A＝B，则实数x的值为________．
答案 －1
解析 ∵A＝B，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝x2，,1＝x2＋x))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝x2＋x，,1＝x2.))
解得x＝±1.
经检验，x＝1不适合集合元素的互异性，而x＝－1适合．
∴x＝－1.
[素养提升] 由集合相等，列方程组求解，最后再代回检验，要让元素符合元素的互异性，这是解决集合相等的常用方法，既体现了方程思想，又通过一系列的推理提升了逻辑推理的核心素养．
1．(多选)下列各组对象可以组成集合的是( )
A．数学必修第一册课本中所有的难题
B．小于8的所有质数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．参加我市新冠肺炎抗疫的所有医护人员
答案 BD
解析 A中“难题”的标准不确定，因而不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中参加我市新冠肺炎抗疫的所有医护人员是确定的，所以能构成集合．
2．若x满足x－1A．3∈A且－3∉A B．3∈A且－3∈A
C．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A
答案 D
解析 ∵3－1＝2>eq \r(3)，∴3∉A.
又－3－1＝－43．已知1，x，x2三个实数构成一个集合，则x满足的条件是( )
A．x≠0 B．x≠1
C．x≠±1 D．x≠0且x≠±1
答案 D
解析 根据集合中元素的互异性，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≠x，,x≠x2，,x2≠1，))解得x≠0且x≠±1.
4．下列说法中：
①集合N与集合N＋是同一个集合；
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的有________．(填序号)
答案 ②④
解析 因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
5．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2答案 6
解析 由x∈N,2易知a＝6.
1．知识清单：
(1)元素与集合的概念及关系．
(2)集合的分类．
(3)集合中元素的特点及应用．
(4)常用数集的表示．
2．方法归纳：分类讨论、检验法．
3．常见误区：(1)不注意讨论或讨论不全．
(2)忽视集合中元素的互异性．
1．以下各组对象不能组成集合的是( )
A．中国古代的四大发明
B．地球上的小河流
C．方程x2－1＝0的实数解
D．周长为10 cm的三角形
答案 B
解析 选项B中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能组成集合．
2．下列结论中，不正确的是( )
A．若a∈N，则eq \f(1,a)∉N B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则eq \r(3,a)∈R
答案 A
解析 A不正确．反例：a＝1∈N，eq \f(1,a)＝1∈N.
3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．
4．(多选)下面几个说法中正确的是( )
A．N＋中最小的数是1
B．若－a∉N＋，则a∈N＋
C．若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b最小值是2
D．x2＋4＝4x的实数解构成的集合中含有2个元素
答案 AC
解析 N＋是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－a∉N＋，且a∉N＋，故B错；若a∈N＋，则a的最小值是1，又b∈N＋，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的．
5．(多选)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a可以为( )
A．2 B．6 C．4 D．0
答案 AC
解析 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.
6．已知集合A中的元素x满足x≥2，若a∉A，则实数a的取值范围是________．
答案 a<2
解析 由题意知a不满足不等式x≥2，即a<2.
7．下列集合中，是空集的是________，是有限集的是________．(填序号)
①集合A中元素是既满足x>8，又满足x<5的实数；
②集合B中的元素是方程x2＋1＝0在R内的根；
③集合C中只有一个元素0；
④集合D中有0个元素．
答案 ①②④ ①②③④
8．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“∉”)
答案 ∉ ∈
解析 因为a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.
9．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)2，eq \f(3,2)，eq \f(6,4)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))，eq \f(1,3)这些数组成的集合有5个元素；
(2)方程(x－3)(x＋1)2＝0的解组成的集合有3个元素．
解 (1)不正确．∵eq \f(3,2)＝eq \f(6,4)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝eq \f(1,3)，∴这个集合有3个元素．
(2)不正确．方程(x－3)(x＋1)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝－1，因此这个集合只有3，－1两个元素．
10．由三个数a，eq \f(b,a)，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合相等，求a2 021＋b2 021的值．
解 由a，eq \f(b,a)，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝1，,a＝a＋b，,\f(b,a)＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝a，,a＋b＝1，,\f(b,a)＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0))(不满足集合元素的互异性，舍去)．
所以a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋0＝－1.
11．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
答案 D
解析 由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等．
12．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．小于或等于1
答案 C
解析 由y∈N且y＝－x2＋1≤1，所以y＝0或y＝1.
又因为t∈A，所以t＝0或t＝1.
13．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
答案 3
解析 当a>0且b>0时，eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)＝2；
当a·b<0时，eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)＝0；
当a<0且b<0时，eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)＝－2.
所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3.
14．集合A中含有元素1，x，y，集合B中含有元素1，x2,2y，若A＝B，则x－y＝________.
答案 eq \f(1,4)
解析 设x＝x2，y＝2y，则x＝0，y＝0或x＝1，y＝0，不满足条件，设x＝2y，y＝x2，则x＝0，y＝0(舍)或x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,4)(满足题意)，所以x－y＝eq \f(1,4).
15．已知集合A是由所有形如3a＋eq \r(2)b(a∈Z，b∈Z)的数组成的，则可以断定－6＋2eq \r(2)________集合A中的元素．(填“是”或者“不是”)
答案 是
解析 因为－2∈Z且2∈Z，所以－6＋2eq \r(2)＝3×(－2)＋eq \r(2)×2是形如3a＋eq \r(2)b(a∈Z，b∈Z)的数，即－6＋2eq \r(2)是集合A中的元素．
16．设集合A中的元素是实数，且满足1∉A，且若a∈A，则eq \f(1,1－a)∈A.若2∈A，写出集合A中的元素．
解 因为2∈A，所以eq \f(1,1－2)＝－1∈A，
所以eq \f(1,1－－1)＝eq \f(1,2)∈A，所以eq \f(1,1－\f(1,2))＝2，
再求下去仍然只得到2，－1，eq \f(1,2)这三个数，
所以集合A中的元素只有三个－1，eq \f(1,2)，2.数集
自然数集
(非负整数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合的概念
学习目标 1.了解集合和元素的含义.2.理解集合中元素的特点.3.体会元素与集合的“属于”和“不属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.4.理解集合相等的概念．
知识点一 元素与集合的概念
1．集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．
2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．
3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅.
知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”．
2．不属于：如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”．
知识点三 集合元素的特点
1．确定性：集合的元素必须是确定的．
2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．
3．无序性：集合中的元素可以任意排列．
思考 我们班“个子比较高的同学”能不能构成一个集合？
答案 不能，因为违反了集合中元素的确定性，也就是“个子比较高的同学”没有明确的标准．
知识点四 集合相等
给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B.
知识点五 集合的分类
1．有限集：含有有限个元素的集合．
2．无限集：含有无限个元素的集合．
知识点六 几种常见的数集
1．组成集合的元素一定是数．( × )
2．接近于0的数可以组成一个集合．( × )
3．0∈N，但0∉N＋.( √ )
4．一个集合中可以找到两个相同的元素．( × )
一、集合概念的理解
例1 (多选)下列说法正确的是( )
A．不超过20的所有自然数构成的集合有21个元素
B．方程x2－9＝0的所有实数解能构成一个含有两个元素的集合
C．由实数－1,0和方程x2＝1的解能构成四个元素组成的集合
D．由2,3,4,5构成的集合和3,2,5,4构成的集合是相等的集合
答案 ABD
解析 对于A，不超过20的所有自然数有0,1，…，20，所以它们能够构成一个含有21个元素的集合；对于B，方程x2－9＝0的实数解有－3和3，它们能够构成一个集合，且含有两个元素；对于C，由于x2＝1的解有－1和1，它们同－1,0构成集合时－1只能算作一个元素，所以该选项不正确；对于D，由元素的无序性，可以知道这两个集合是相等的，所以D正确．
反思感悟 集合中元素的三个特点
(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
跟踪训练1 下列说法中，正确的有________．(填序号)
①单词bk的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②当今世界上的高科技产品构成一个集合；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到的两个集合相等．
答案 ③
解析 ①不正确．bk的字母有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.
②不正确．
③正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．
二、元素与集合的关系
例2 (多选)下列关系中正确的为( )
A.eq \r(2)∈Q B．－1∉N
C．π∉R D．|－4|∈Z
答案 BD
解析 ∵eq \r(2)是无理数，∴eq \r(2)∉Q，故A错误；－1∉N，故B正确；∵π是实数，∴π∈R，故C错误；∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故D正确．
反思感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
跟踪训练2 给出下列关系：①eq \f(1,4)∈R；②|－1|∉N；③|－3|∈Q；④0∉N.其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①③正确；②④不正确．
三、元素特点的应用
例3 已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.
解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－eq \f(3,2).
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－eq \f(3,2)时，a－2＝－eq \f(7,2)，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性．
∴a＝－eq \f(3,2).
延伸探究
若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值．
解 由a∈A，可得a－2＝a，或2a2＋5a＝a，或12＝a，
当a－2＝a时，－2＝0，这显然不可能，
当2a2＋5a＝a时，a＝0或a＝－2，
若a＝0，三个元素分别为－2,0,12，适合；
若a＝－2，三个元素分别为－4，－2,12，适合．
当12＝a时，这三个元素是10,348,12，适合．
综上所述，a的值为0或－2或12.
反思感悟 集合中元素求参数时要注意
(1)注意分类讨论思想的应用．
(2)根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验．
跟踪训练3 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
解 ∵－3∈A，
∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意；
综上所述，a＝0或a＝－1.
根据集合相等求参数值
典例 若集合A中有三个元素x，x＋1,1，集合B中也有三个元素，x，x2＋x，x2，且A＝B，则实数x的值为________．
答案 －1
解析 ∵A＝B，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝x2，,1＝x2＋x))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝x2＋x，,1＝x2.))
解得x＝±1.
经检验，x＝1不适合集合元素的互异性，而x＝－1适合．
∴x＝－1.
[素养提升] 由集合相等，列方程组求解，最后再代回检验，要让元素符合元素的互异性，这是解决集合相等的常用方法，既体现了方程思想，又通过一系列的推理提升了逻辑推理的核心素养．
1．(多选)下列各组对象可以组成集合的是( )
A．数学必修第一册课本中所有的难题
B．小于8的所有质数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．参加我市新冠肺炎抗疫的所有医护人员
答案 BD
解析 A中“难题”的标准不确定，因而不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中参加我市新冠肺炎抗疫的所有医护人员是确定的，所以能构成集合．
2．若x满足x－1
C．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A
答案 D
解析 ∵3－1＝2>eq \r(3)，∴3∉A.
又－3－1＝－4
A．x≠0 B．x≠1
C．x≠±1 D．x≠0且x≠±1
答案 D
解析 根据集合中元素的互异性，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≠x，,x≠x2，,x2≠1，))解得x≠0且x≠±1.
4．下列说法中：
①集合N与集合N＋是同一个集合；
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的有________．(填序号)
答案 ②④
解析 因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
5．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2
解析 由x∈N,2
1．知识清单：
(1)元素与集合的概念及关系．
(2)集合的分类．
(3)集合中元素的特点及应用．
(4)常用数集的表示．
2．方法归纳：分类讨论、检验法．
3．常见误区：(1)不注意讨论或讨论不全．
(2)忽视集合中元素的互异性．
1．以下各组对象不能组成集合的是( )
A．中国古代的四大发明
B．地球上的小河流
C．方程x2－1＝0的实数解
D．周长为10 cm的三角形
答案 B
解析 选项B中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能组成集合．
2．下列结论中，不正确的是( )
A．若a∈N，则eq \f(1,a)∉N B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则eq \r(3,a)∈R
答案 A
解析 A不正确．反例：a＝1∈N，eq \f(1,a)＝1∈N.
3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．
4．(多选)下面几个说法中正确的是( )
A．N＋中最小的数是1
B．若－a∉N＋，则a∈N＋
C．若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b最小值是2
D．x2＋4＝4x的实数解构成的集合中含有2个元素
答案 AC
解析 N＋是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－a∉N＋，且a∉N＋，故B错；若a∈N＋，则a的最小值是1，又b∈N＋，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的．
5．(多选)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a可以为( )
A．2 B．6 C．4 D．0
答案 AC
解析 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.
6．已知集合A中的元素x满足x≥2，若a∉A，则实数a的取值范围是________．
答案 a<2
解析 由题意知a不满足不等式x≥2，即a<2.
7．下列集合中，是空集的是________，是有限集的是________．(填序号)
①集合A中元素是既满足x>8，又满足x<5的实数；
②集合B中的元素是方程x2＋1＝0在R内的根；
③集合C中只有一个元素0；
④集合D中有0个元素．
答案 ①②④ ①②③④
8．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“∉”)
答案 ∉ ∈
解析 因为a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.
9．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)2，eq \f(3,2)，eq \f(6,4)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))，eq \f(1,3)这些数组成的集合有5个元素；
(2)方程(x－3)(x＋1)2＝0的解组成的集合有3个元素．
解 (1)不正确．∵eq \f(3,2)＝eq \f(6,4)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝eq \f(1,3)，∴这个集合有3个元素．
(2)不正确．方程(x－3)(x＋1)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝－1，因此这个集合只有3，－1两个元素．
10．由三个数a，eq \f(b,a)，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合相等，求a2 021＋b2 021的值．
解 由a，eq \f(b,a)，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝1，,a＝a＋b，,\f(b,a)＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝a，,a＋b＝1，,\f(b,a)＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0))(不满足集合元素的互异性，舍去)．
所以a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋0＝－1.
11．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
答案 D
解析 由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等．
12．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．小于或等于1
答案 C
解析 由y∈N且y＝－x2＋1≤1，所以y＝0或y＝1.
又因为t∈A，所以t＝0或t＝1.
13．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
答案 3
解析 当a>0且b>0时，eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)＝2；
当a·b<0时，eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)＝0；
当a<0且b<0时，eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)＝－2.
所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3.
14．集合A中含有元素1，x，y，集合B中含有元素1，x2,2y，若A＝B，则x－y＝________.
答案 eq \f(1,4)
解析 设x＝x2，y＝2y，则x＝0，y＝0或x＝1，y＝0，不满足条件，设x＝2y，y＝x2，则x＝0，y＝0(舍)或x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,4)(满足题意)，所以x－y＝eq \f(1,4).
15．已知集合A是由所有形如3a＋eq \r(2)b(a∈Z，b∈Z)的数组成的，则可以断定－6＋2eq \r(2)________集合A中的元素．(填“是”或者“不是”)
答案 是
解析 因为－2∈Z且2∈Z，所以－6＋2eq \r(2)＝3×(－2)＋eq \r(2)×2是形如3a＋eq \r(2)b(a∈Z，b∈Z)的数，即－6＋2eq \r(2)是集合A中的元素．
16．设集合A中的元素是实数，且满足1∉A，且若a∈A，则eq \f(1,1－a)∈A.若2∈A，写出集合A中的元素．
解 因为2∈A，所以eq \f(1,1－2)＝－1∈A，
所以eq \f(1,1－－1)＝eq \f(1,2)∈A，所以eq \f(1,1－\f(1,2))＝2，
再求下去仍然只得到2，－1，eq \f(1,2)这三个数，
所以集合A中的元素只有三个－1，eq \f(1,2)，2.数集
自然数集
(非负整数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
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