
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第三、四章 函数的概念与性质和指数函数与对数函数测评卷 2021-2022学年数学必修第一册人教A版2019(Word含解析)
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这是一份2020-2021学年全册综合课后作业题,共13页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
第三章 函数的概念与性质
第四章 指数函数与对数函数
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021北京一零一中学高一上期末)已知函数f(x)=lg(4-x)的定义域为M,函数g(x)=x-4的定义域为N,则M∩N= ( )
A.M B.N
C.{4} D.⌀
2.(2021四川眉山高一上期末)已知函数f(x)=log3(-x),x<0,f(x-5),x≥0,则f(2)= ( )
A.-1 B.1
C.0 D.2
3.(2021重庆缙云教育联盟高一上期末)函数f(x)=log12(-x2-2x+3)的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,-1] B.(-3,-1]
C.[-1,1) D.[-1,+∞)
4.(2021江苏扬州高一上期末)若方程x3-12x=0的解在区间[k,k+1](k∈Z)内,则k的值是 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
5.(2021天津六校高一上期末)设a=log0.50.6,b=log0.61.2,c=1.20.6,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a 6.(2021广东广雅中学高一上期末)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) ( )
A.1.2天 B.1.8天
C.2.5天 D.3.5天
7.(2021安徽师大附中高一上期末)已知函数f(x)=2x-1,x>0,-x2-2x,x≤0,若实数m∈(0,1),则函数g(x)=f(x)-m的零点个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
8.(2021湖北第五届高考测评高一上期末)若定义在R上的函数y=f(x-1)的图象关于图象上的点(1,0)对称,f(x)对任意的实数x都有f(x+4)=-f(x),且f(3)=0,则函数y=f(x)在区间[0,2 019]上的零点最少有 ( )
A.2 020个 B.1 768个 C.1 515个 D.1 514个
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2021山东泰安高一上期末)函数f(x)=2x+a2x(a∈R)的图象可能为 ( )
10.(2021山东菏泽高一上期末)某同学在研究函数f(x)=x1-|x|时,给出下面几个结论,其中正确的有 ( )
A. f(x)的图象关于点(0,0)对称
B.若x1≠x2,则f(x1)≠f(x2)
C.函数g(x)=f(x)+x有三个零点
D. f(x)的值域为R
11.(2021山东烟台高一上期末)已知函数f(x)=logax+loga(a-x)(a>0,且a≠1),则 ( )
A. f(x)的定义域为(0,a)
B. f(x)的最大值为2-2loga2
C.若f(x)在(0,2)上单调递增,则1 D. f(x)的图象关于直线x=a2对称
12.(2021山东济宁高一上期末)已知实数x1,x2(x1
A.(x1-2)(x2-2)∈(-∞,0) B.(x1-1)(x2-1)∈(0,1)
C.(x1-1)(x2-1)=1 D.(x1-1)(x2-1)∈(1,+∞)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021湖南永州高一上期末)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2),则f(4)= .
14.(2021江苏南京高一上期末)已知函数f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,x≥1,若f(f(0))=3a,则实数a等于 .
15.(2021天津耀华中学高一上期末)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为 .
16.(2021吉林高一上期末)已知函数f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,其中m>0.若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则m的取值范围是 ;若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的实根,则m的取值范围是 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2021河北唐山高一上期末)计算下列各式的值:
(1)1412+38-8114;
(2)2log32-log336+log25×log54.
18.(12分)(2021福建厦门高一上期末)已知函数f(x)=x2+bx+c,且g(x)=f(x)+2x为偶函数,从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件,求f(x)的解析式.
条件①:函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5;
条件②:函数f(x)≤0的解集为{1};
条件③:方程f(x)=0有两根x1,x2,且x12+x22=10.
19.(12分)(2021海南高一上期末)已知二次函数f(x)=x2+(3t+1)x+3t-1.
(1)若f(x)是偶函数,求t的值;
(2)若函数f(x)在区间(-2,-1)和(0,1)上各有一个零点,求t的取值范围.
20.(12分)(2021黑龙江大庆实验中学高一上期末)设函数f(x)=a-22x+1.
(1)用定义证明f(x)为增函数;
(2)若f(x)为奇函数,求实数a的值,并求出f(x)的值域.
21.(12分)(2021江苏苏州高一上期末)经多次试验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)、百公里耗油量W(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40≤v≤120)的部分数据关系如下表:
v
40
60
90
100
120
Q
5.2
6
8.325
10
15.6
W
13
9.25
为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:Q(v)=0.5v+a,Q(v)=av+b,Q(v)=av3+bv2+cv.
(1)请填写表格空白处的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)已知某高速公路共有三条车道,分别是外侧车道、中间车道和内侧车道,车速范围分别是[60,90),[90,110),[110,120](单位:km/h),问:该型号汽车应在哪条车道以什么速度行驶时W最小?
22.(12分)(2021广东广州越秀高一上期末)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).
(1)若0
(2)若a>1,且A(t,f(t)),B(t+2,f(t+2)),C(t+4,f(t+4))(t≥2)三点在函数y=f(x)的图象上,记△ABC的面积为S,求S=g(t)的表达式,并求g(t)的值域.
答案全解全析
1.D 根据题意得,M={x|x<4},N={x|x≥4},∴M∩N=⌀.故选D.
2.B ∵f(x)=log3(-x),x<0,f(x-5),x≥0,∴f(2)=f(-3)=log3[-(-3)]=1.故选B.
3.B 由-x2-2x+3>0,解得-3
∴函数f(x)=log12(-x2-2x+3)的定义域为(-3,1),
令t=-x2-2x+3,则g(t)=log12t为单调递减函数,
由复合函数的单调性可知, f(x)的单调递减区间为t=-x2-2x+3在(-3,1)上的单调递增区间.
t=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,其图象开口向下,对称轴为直线x=-1,
∴t=-x2-2x+3在(-3,1)上的单调递增区间为(-3,-1].故选B.
4.B 设f(x)=x3-12x,则f(0)=0-1=-1<0, f(1)=1-12=12>0,
由函数零点存在定理知, f(x)在区间(0,1)内一定有零点,即方程x3-12x=0在区间(0,1)上有解,所以k的值是0,故选B.
5.B 01,
所以a,b,c的大小关系为b 6.B 把R0=3.28,T=6代入R0=1+rT,可得r=0.38,∴I(t)=e0.38t,
设初始阶段累计感染病例数增加1倍需要t天,
则I(t)=2I(0),即e0.38t=2,
两边取自然对数得0.38t=ln 2,解得t=ln20.38≈1.8.故选B.
7.D 画出函数f(x)=2x-1,x>0,-x2-2x,x≤0的图象,如图所示:
函数g(x)=f(x)-m的零点个数即函数f(x)的图象与直线y=m,m∈(0,1)的交点个数,所以函数g(x)有3个零点.故选D.
8.C 因为函数y=f(x-1)的图象关于图象上的点(1,0)对称,所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,故f(x)为奇函数.
又f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=f[(x+4)+4]=-f(x+4)=f(x).
因为f(0)=0, f(3)=0, f(-3)=-f(3)=0,
所以f(-3+4)=-f(-3)=0,即f(1)=0, f(4)=-f(0)=0, f(5)=f(1+4)=-f(1)=0, f(7)=f(3+4)=-f(3)=0, f(8)=f(0)=0,
故在[0,8)上,0,1,3,4,5,7为函数f(x)的零点,
又2 019=252×8+3, f(2 016)=f(0)=0,
f(2 017)=f(1)=0, f(2 019)=f(3)=0,
故函数在区间[0,2 019]上的零点最少有252×6+3=1 515个,故选C.
9.ABD 当a=0时, f(x)=2x,A中图象满足;
当a=1时, f(x)=2x+12x, f(0)=2,且f(-x)=f(x),定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,B中图象满足;
当a=-1时, f(x)=2x-12x, f(0)=0,且f(-x)=-f(x),定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,D中图象满足;
C中图象过点(0,1),此时a=0,故C中图象不满足.故选ABD.
10.ACD 画出函数f(x)=x1-|x|的图象,如图所示:
对于A:根据函数的图象可知,函数的图象关于原点对称,故A正确;
对于B:根据函数的图象知,存在x1≠x2,f(x1)=f(x2),故B错误;
对于C:令g(x)=0,画出函数y=-x的图象(图略),易知函数y=f(x)的图象与y=-x的图象有三个交点,故函数g(x)=f(x)+x有三个零点,故C正确;
对于D:根据函数的图象知函数的值域为R,故D正确.故选ACD.
11.AD 对于选项A,令x>0且a-x>0,解得0
对于选项B, f(x)=logax+loga(a-x)=loga[(a-x)x]=loga(-x2+ax),
因为y=-x2+ax的图象开口向下,故y有最大值,
但若0 对于选项C,若f(x)在(0,2)上单调递增,则
①当0 ②当a>1时,则y=-x2+ax在(0,2)上单调递增,故a2≥2,解得a≥4,故选项C错误;
对于选项D, f(x)=logax+loga(a-x), f(a-x)=loga(a-x)+logax=f(x),
所以f(x)的图象关于直线x=a2对称,故选项D正确.故选AD.
12.AB 令f(x)=0,则12x=|log2(x-1)|,在同一直角坐标系中作出函数y=12x与y=|log2(x-1)|的图象,如图所示:
由图可得1
由于log2[(x1-1)(x2-1)]=log2(x1-1)+log2(x2-1)=-12x1+12x2<0,
所以0<(x1-1)(x2-1)<1,故B正确,C、D错误.故选AB.
13.答案 2
解析 设幂函数y=f(x)=xα,α∈R,∵其图象过点(2,2),
∴2α=2,解得α=12,∴f(x)=x12,∴f(4)=412=2.
14.答案 4
解析 由f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,x≥1得f(f(0))=f(20+1)=f(2)=4+2a=3a,
解得a=4,故答案为4.
15.答案 14
解析 由a-3b+6=0,可得3b=a+6,
则2a+18b=2a+12a+6=2a+126·2a≥22a·126·2a=14,
当且仅当2a=12a+6,即a=-3时取等号.因此2a+18b的最小值为14.
16.答案 (0,3];(3,+∞)
解析 当m>0时,函数f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m的大致图象如图:
要使f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则m≤4m-m2,解得0≤m≤3,
又m>0,∴0
要使关于x的方程f(x)=b有三个不同的实根,则4m-m23m,
解得m>3,则m的取值范围是(3,+∞).
17.解析 (1)原式=12+2-3=-12. (5分)
(2)原式=log34-log336+log24 (7分)
=log319+2=-2+2=0. (10分)
18.解析 函数f(x)=x2+bx+c,则g(x)=f(x)+2x=x2+(b+2)x+c, (2分)
因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),
即(-x)2-(b+2)x+c=x2+(b+2)x+c,可得b=-2, (4分)
所以f(x)=x2-2x+c,其图象开口向上,对称轴为直线x=1. (6分)
若选条件①,函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5,
则f(-2)=4+4+c=5,解得c=-3, (10分)
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3. (12分)
若选条件②,函数f(x)≤0的解集为{1},
则f(1)=0,即1-2+c=0,解得c=1, (10分)
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+1. (12分)
若选条件③,方程f(x)=0有两根x1,x2,且x12+x22=10,
则由根与系数的关系可得x1+x2=2,x1x2=c, (8分)
又(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2, (10分)
所以4=10+2c,解得c=-3,
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3. (12分)
19.解析 (1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),
∴(-x)2-(3t+1)x+3t-1=x2+(3t+1)x+3t-1, (3分)
即2(3t+1)x=0对x∈R恒成立,∴t=-13. (6分)
(2)函数f(x)在区间(-2,-1)和(0,1)上各有一个零点,所以f(-2)>0,f(-1)<0,f(0)<0,f(1)>0, (9分)
即4-2(3t+1)+3t-1>0,1-(3t+1)+3t-1<0,3t-1<0,1+3t+1+3t-1>0,解得-16
故t的取值范围为-16,13. (12分)
20.解析 (1)证明:由题意知,x∈R,
任取x1,x2∈R,且x1
∵x10, (4分)
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
∴函数f(x)是增函数. (6分)
(2)由题意可知, f(x)+f(-x)=2a-22x+1-22-x+1=0, (8分)
∴a=12x+1+12-x+1=1, (10分)
故f(x)=1-22x+1,
∵2x+1>1,∴0<22x+1<2,
∴-2<-22x+1<0,∴-1
故f(x)的值域是(-1,1). (12分)
21.解析 (1)填表如下:
v
40
60
90
100
120
Q
5.2
6
8.325
10
15.6
W
13
10
9.25
10
13
由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时有意义,且在[40,120]上为增函数.
Q(v)=0.5v+a在[40,120]上是减函数,不符合题意, (2分)
若选择Q(v)=av+b,代入(40,5.2),(60,6),
得5.2=40a+b,6=60a+b,解得a=0.04,b=3.6, (3分)
则Q(v)=0.04v+3.6,此时Q(90)=7.2,Q(100)=7.6,Q(120)=8.4,
与实际数据相差较大,所以不符合, (5分)
经观察,函数模型Q(v)=av3+bv2+cv最符合实际,代入(40,5.2),(60,6),(100,10),
则a×403+b×402+c×40=5.2,a×603+b×602+c×60=6,a×1003+b×1002+c×100=10,解得a=0.000 025,b=-0.004,c=0.25,
∴Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v. (8分)
(2)∵W=100v×Q=0.002 5v2-0.4v+25=0.002 5(v-80)2+9, (10分)
∴当v=80时,W取得最小值9,
故该型号汽车在外侧车道以80 km/h的速度行驶时W最小. (12分)
22.解析 (1)设K=fx1+x22-f(x1)+f(x2)2=logax1+x22-logax1+logax22
=logax1+x22-logax1x2=logax1x2+x2x12, (3分)
因为x1x2+x2x1≥2x1x2·x2x1=2(当且仅当x1=x2时等号成立),
又x2≠x1,所以x1x2+x2x1>2,所以x1x2+x2x12>1. (4分)
当a>1时,K>0, fx1+x22> f(x1)+f(x2)2;
当0 (2)分别过A、B、C作x轴的垂线交x轴于M、N、P,
则S=g(t)=S梯形AMNB+S梯形BNPC-S梯形AMPC
=12[f(t)+f(t+2)]·2+12[f(t+2)+f(t+4)]·2-12[f(t)+f(t+4)]·4 (8分)
=2loga(t+2)-logat-loga(t+4)=loga(t+2)2t(t+4)=loga1+4t(t+4)(t≥2), (10分)
当t≥2时,t(t+4)∈[12,+∞),
所以4t(t+4)∈0,13,
所以1+4t(t+4)∈1,43,
所以loga1+4t(t+4)∈0,loga43,
故g(t)的值域为0,loga43. (12分)
第三章 函数的概念与性质
第四章 指数函数与对数函数
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021北京一零一中学高一上期末)已知函数f(x)=lg(4-x)的定义域为M,函数g(x)=x-4的定义域为N,则M∩N= ( )
A.M B.N
C.{4} D.⌀
2.(2021四川眉山高一上期末)已知函数f(x)=log3(-x),x<0,f(x-5),x≥0,则f(2)= ( )
A.-1 B.1
C.0 D.2
3.(2021重庆缙云教育联盟高一上期末)函数f(x)=log12(-x2-2x+3)的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,-1] B.(-3,-1]
C.[-1,1) D.[-1,+∞)
4.(2021江苏扬州高一上期末)若方程x3-12x=0的解在区间[k,k+1](k∈Z)内,则k的值是 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
5.(2021天津六校高一上期末)设a=log0.50.6,b=log0.61.2,c=1.20.6,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a 6.(2021广东广雅中学高一上期末)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) ( )
A.1.2天 B.1.8天
C.2.5天 D.3.5天
7.(2021安徽师大附中高一上期末)已知函数f(x)=2x-1,x>0,-x2-2x,x≤0,若实数m∈(0,1),则函数g(x)=f(x)-m的零点个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
8.(2021湖北第五届高考测评高一上期末)若定义在R上的函数y=f(x-1)的图象关于图象上的点(1,0)对称,f(x)对任意的实数x都有f(x+4)=-f(x),且f(3)=0,则函数y=f(x)在区间[0,2 019]上的零点最少有 ( )
A.2 020个 B.1 768个 C.1 515个 D.1 514个
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2021山东泰安高一上期末)函数f(x)=2x+a2x(a∈R)的图象可能为 ( )
10.(2021山东菏泽高一上期末)某同学在研究函数f(x)=x1-|x|时,给出下面几个结论,其中正确的有 ( )
A. f(x)的图象关于点(0,0)对称
B.若x1≠x2,则f(x1)≠f(x2)
C.函数g(x)=f(x)+x有三个零点
D. f(x)的值域为R
11.(2021山东烟台高一上期末)已知函数f(x)=logax+loga(a-x)(a>0,且a≠1),则 ( )
A. f(x)的定义域为(0,a)
B. f(x)的最大值为2-2loga2
C.若f(x)在(0,2)上单调递增,则1 D. f(x)的图象关于直线x=a2对称
12.(2021山东济宁高一上期末)已知实数x1,x2(x1
C.(x1-1)(x2-1)=1 D.(x1-1)(x2-1)∈(1,+∞)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021湖南永州高一上期末)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2),则f(4)= .
14.(2021江苏南京高一上期末)已知函数f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,x≥1,若f(f(0))=3a,则实数a等于 .
15.(2021天津耀华中学高一上期末)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为 .
16.(2021吉林高一上期末)已知函数f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,其中m>0.若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则m的取值范围是 ;若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的实根,则m的取值范围是 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2021河北唐山高一上期末)计算下列各式的值:
(1)1412+38-8114;
(2)2log32-log336+log25×log54.
18.(12分)(2021福建厦门高一上期末)已知函数f(x)=x2+bx+c,且g(x)=f(x)+2x为偶函数,从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件,求f(x)的解析式.
条件①:函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5;
条件②:函数f(x)≤0的解集为{1};
条件③:方程f(x)=0有两根x1,x2,且x12+x22=10.
19.(12分)(2021海南高一上期末)已知二次函数f(x)=x2+(3t+1)x+3t-1.
(1)若f(x)是偶函数,求t的值;
(2)若函数f(x)在区间(-2,-1)和(0,1)上各有一个零点,求t的取值范围.
20.(12分)(2021黑龙江大庆实验中学高一上期末)设函数f(x)=a-22x+1.
(1)用定义证明f(x)为增函数;
(2)若f(x)为奇函数,求实数a的值,并求出f(x)的值域.
21.(12分)(2021江苏苏州高一上期末)经多次试验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)、百公里耗油量W(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40≤v≤120)的部分数据关系如下表:
v
40
60
90
100
120
Q
5.2
6
8.325
10
15.6
W
13
9.25
为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:Q(v)=0.5v+a,Q(v)=av+b,Q(v)=av3+bv2+cv.
(1)请填写表格空白处的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)已知某高速公路共有三条车道,分别是外侧车道、中间车道和内侧车道,车速范围分别是[60,90),[90,110),[110,120](单位:km/h),问:该型号汽车应在哪条车道以什么速度行驶时W最小?
22.(12分)(2021广东广州越秀高一上期末)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).
(1)若0
答案全解全析
1.D 根据题意得,M={x|x<4},N={x|x≥4},∴M∩N=⌀.故选D.
2.B ∵f(x)=log3(-x),x<0,f(x-5),x≥0,∴f(2)=f(-3)=log3[-(-3)]=1.故选B.
3.B 由-x2-2x+3>0,解得-3
令t=-x2-2x+3,则g(t)=log12t为单调递减函数,
由复合函数的单调性可知, f(x)的单调递减区间为t=-x2-2x+3在(-3,1)上的单调递增区间.
t=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,其图象开口向下,对称轴为直线x=-1,
∴t=-x2-2x+3在(-3,1)上的单调递增区间为(-3,-1].故选B.
4.B 设f(x)=x3-12x,则f(0)=0-1=-1<0, f(1)=1-12=12>0,
由函数零点存在定理知, f(x)在区间(0,1)内一定有零点,即方程x3-12x=0在区间(0,1)上有解,所以k的值是0,故选B.
5.B 01,
所以a,b,c的大小关系为b 6.B 把R0=3.28,T=6代入R0=1+rT,可得r=0.38,∴I(t)=e0.38t,
设初始阶段累计感染病例数增加1倍需要t天,
则I(t)=2I(0),即e0.38t=2,
两边取自然对数得0.38t=ln 2,解得t=ln20.38≈1.8.故选B.
7.D 画出函数f(x)=2x-1,x>0,-x2-2x,x≤0的图象,如图所示:
函数g(x)=f(x)-m的零点个数即函数f(x)的图象与直线y=m,m∈(0,1)的交点个数,所以函数g(x)有3个零点.故选D.
8.C 因为函数y=f(x-1)的图象关于图象上的点(1,0)对称,所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,故f(x)为奇函数.
又f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=f[(x+4)+4]=-f(x+4)=f(x).
因为f(0)=0, f(3)=0, f(-3)=-f(3)=0,
所以f(-3+4)=-f(-3)=0,即f(1)=0, f(4)=-f(0)=0, f(5)=f(1+4)=-f(1)=0, f(7)=f(3+4)=-f(3)=0, f(8)=f(0)=0,
故在[0,8)上,0,1,3,4,5,7为函数f(x)的零点,
又2 019=252×8+3, f(2 016)=f(0)=0,
f(2 017)=f(1)=0, f(2 019)=f(3)=0,
故函数在区间[0,2 019]上的零点最少有252×6+3=1 515个,故选C.
9.ABD 当a=0时, f(x)=2x,A中图象满足;
当a=1时, f(x)=2x+12x, f(0)=2,且f(-x)=f(x),定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,B中图象满足;
当a=-1时, f(x)=2x-12x, f(0)=0,且f(-x)=-f(x),定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,D中图象满足;
C中图象过点(0,1),此时a=0,故C中图象不满足.故选ABD.
10.ACD 画出函数f(x)=x1-|x|的图象,如图所示:
对于A:根据函数的图象可知,函数的图象关于原点对称,故A正确;
对于B:根据函数的图象知,存在x1≠x2,f(x1)=f(x2),故B错误;
对于C:令g(x)=0,画出函数y=-x的图象(图略),易知函数y=f(x)的图象与y=-x的图象有三个交点,故函数g(x)=f(x)+x有三个零点,故C正确;
对于D:根据函数的图象知函数的值域为R,故D正确.故选ACD.
11.AD 对于选项A,令x>0且a-x>0,解得0
因为y=-x2+ax的图象开口向下,故y有最大值,
但若0 对于选项C,若f(x)在(0,2)上单调递增,则
①当0 ②当a>1时,则y=-x2+ax在(0,2)上单调递增,故a2≥2,解得a≥4,故选项C错误;
对于选项D, f(x)=logax+loga(a-x), f(a-x)=loga(a-x)+logax=f(x),
所以f(x)的图象关于直线x=a2对称,故选项D正确.故选AD.
12.AB 令f(x)=0,则12x=|log2(x-1)|,在同一直角坐标系中作出函数y=12x与y=|log2(x-1)|的图象,如图所示:
由图可得1
所以0<(x1-1)(x2-1)<1,故B正确,C、D错误.故选AB.
13.答案 2
解析 设幂函数y=f(x)=xα,α∈R,∵其图象过点(2,2),
∴2α=2,解得α=12,∴f(x)=x12,∴f(4)=412=2.
14.答案 4
解析 由f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,x≥1得f(f(0))=f(20+1)=f(2)=4+2a=3a,
解得a=4,故答案为4.
15.答案 14
解析 由a-3b+6=0,可得3b=a+6,
则2a+18b=2a+12a+6=2a+126·2a≥22a·126·2a=14,
当且仅当2a=12a+6,即a=-3时取等号.因此2a+18b的最小值为14.
16.答案 (0,3];(3,+∞)
解析 当m>0时,函数f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m的大致图象如图:
要使f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则m≤4m-m2,解得0≤m≤3,
又m>0,∴0
解得m>3,则m的取值范围是(3,+∞).
17.解析 (1)原式=12+2-3=-12. (5分)
(2)原式=log34-log336+log24 (7分)
=log319+2=-2+2=0. (10分)
18.解析 函数f(x)=x2+bx+c,则g(x)=f(x)+2x=x2+(b+2)x+c, (2分)
因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),
即(-x)2-(b+2)x+c=x2+(b+2)x+c,可得b=-2, (4分)
所以f(x)=x2-2x+c,其图象开口向上,对称轴为直线x=1. (6分)
若选条件①,函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5,
则f(-2)=4+4+c=5,解得c=-3, (10分)
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3. (12分)
若选条件②,函数f(x)≤0的解集为{1},
则f(1)=0,即1-2+c=0,解得c=1, (10分)
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+1. (12分)
若选条件③,方程f(x)=0有两根x1,x2,且x12+x22=10,
则由根与系数的关系可得x1+x2=2,x1x2=c, (8分)
又(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2, (10分)
所以4=10+2c,解得c=-3,
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3. (12分)
19.解析 (1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),
∴(-x)2-(3t+1)x+3t-1=x2+(3t+1)x+3t-1, (3分)
即2(3t+1)x=0对x∈R恒成立,∴t=-13. (6分)
(2)函数f(x)在区间(-2,-1)和(0,1)上各有一个零点,所以f(-2)>0,f(-1)<0,f(0)<0,f(1)>0, (9分)
即4-2(3t+1)+3t-1>0,1-(3t+1)+3t-1<0,3t-1<0,1+3t+1+3t-1>0,解得-16
20.解析 (1)证明:由题意知,x∈R,
任取x1,x2∈R,且x1
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
(2)由题意可知, f(x)+f(-x)=2a-22x+1-22-x+1=0, (8分)
∴a=12x+1+12-x+1=1, (10分)
故f(x)=1-22x+1,
∵2x+1>1,∴0<22x+1<2,
∴-2<-22x+1<0,∴-1
21.解析 (1)填表如下:
v
40
60
90
100
120
Q
5.2
6
8.325
10
15.6
W
13
10
9.25
10
13
由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时有意义,且在[40,120]上为增函数.
Q(v)=0.5v+a在[40,120]上是减函数,不符合题意, (2分)
若选择Q(v)=av+b,代入(40,5.2),(60,6),
得5.2=40a+b,6=60a+b,解得a=0.04,b=3.6, (3分)
则Q(v)=0.04v+3.6,此时Q(90)=7.2,Q(100)=7.6,Q(120)=8.4,
与实际数据相差较大,所以不符合, (5分)
经观察,函数模型Q(v)=av3+bv2+cv最符合实际,代入(40,5.2),(60,6),(100,10),
则a×403+b×402+c×40=5.2,a×603+b×602+c×60=6,a×1003+b×1002+c×100=10,解得a=0.000 025,b=-0.004,c=0.25,
∴Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v. (8分)
(2)∵W=100v×Q=0.002 5v2-0.4v+25=0.002 5(v-80)2+9, (10分)
∴当v=80时,W取得最小值9,
故该型号汽车在外侧车道以80 km/h的速度行驶时W最小. (12分)
22.解析 (1)设K=fx1+x22-f(x1)+f(x2)2=logax1+x22-logax1+logax22
=logax1+x22-logax1x2=logax1x2+x2x12, (3分)
因为x1x2+x2x1≥2x1x2·x2x1=2(当且仅当x1=x2时等号成立),
又x2≠x1,所以x1x2+x2x1>2,所以x1x2+x2x12>1. (4分)
当a>1时,K>0, fx1+x22> f(x1)+f(x2)2;
当0 (2)分别过A、B、C作x轴的垂线交x轴于M、N、P,
则S=g(t)=S梯形AMNB+S梯形BNPC-S梯形AMPC
=12[f(t)+f(t+2)]·2+12[f(t+2)+f(t+4)]·2-12[f(t)+f(t+4)]·4 (8分)
=2loga(t+2)-logat-loga(t+4)=loga(t+2)2t(t+4)=loga1+4t(t+4)(t≥2), (10分)
当t≥2时,t(t+4)∈[12,+∞),
所以4t(t+4)∈0,13,
所以1+4t(t+4)∈1,43,
所以loga1+4t(t+4)∈0,loga43,
故g(t)的值域为0,loga43. (12分)