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    第三、四章 函数的概念与性质和指数函数与对数函数测评卷 2021-2022学年数学必修第一册人教A版2019(Word含解析)
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    第三、四章 函数的概念与性质和指数函数与对数函数测评卷 2021-2022学年数学必修第一册人教A版2019(Word含解析)

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    这是一份2020-2021学年全册综合课后作业题,共13页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    第三章 函数的概念与性质
    第四章 指数函数与对数函数
    (全卷满分150分,考试用时120分钟)
    一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)                        
    1.(2021北京一零一中学高一上期末)已知函数f(x)=lg(4-x)的定义域为M,函数g(x)=x-4的定义域为N,则M∩N= (  )
    A.M       B.N
    C.{4}       D.⌀
    2.(2021四川眉山高一上期末)已知函数f(x)=log3(-x),x<0,f(x-5),x≥0,则f(2)= (  )
    A.-1       B.1
    C.0       D.2
    3.(2021重庆缙云教育联盟高一上期末)函数f(x)=log12(-x2-2x+3)的单调递减区间为 (  )
    A.(-∞,-1]       B.(-3,-1]
    C.[-1,1)       D.[-1,+∞)
    4.(2021江苏扬州高一上期末)若方程x3-12x=0的解在区间[k,k+1](k∈Z)内,则k的值是 (  )
    A.-1       B.0
    C.1       D.2
    5.(2021天津六校高一上期末)设a=log0.50.6,b=log0.61.2,c=1.20.6,则a,b,c的大小关系为 (  )
    A.a 6.(2021广东广雅中学高一上期末)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) (  )
    A.1.2天       B.1.8天
    C.2.5天       D.3.5天
    7.(2021安徽师大附中高一上期末)已知函数f(x)=2x-1,x>0,-x2-2x,x≤0,若实数m∈(0,1),则函数g(x)=f(x)-m的零点个数为 (  )
    A.0       B.1
    C.2       D.3
    8.(2021湖北第五届高考测评高一上期末)若定义在R上的函数y=f(x-1)的图象关于图象上的点(1,0)对称,f(x)对任意的实数x都有f(x+4)=-f(x),且f(3)=0,则函数y=f(x)在区间[0,2 019]上的零点最少有 (  )
    A.2 020个    B.1 768个    C.1 515个    D.1 514个
    二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
    9.(2021山东泰安高一上期末)函数f(x)=2x+a2x(a∈R)的图象可能为 (  )






    10.(2021山东菏泽高一上期末)某同学在研究函数f(x)=x1-|x|时,给出下面几个结论,其中正确的有 (  )
    A. f(x)的图象关于点(0,0)对称
    B.若x1≠x2,则f(x1)≠f(x2)
    C.函数g(x)=f(x)+x有三个零点
    D. f(x)的值域为R
    11.(2021山东烟台高一上期末)已知函数f(x)=logax+loga(a-x)(a>0,且a≠1),则 (  )
    A. f(x)的定义域为(0,a)
    B. f(x)的最大值为2-2loga2
    C.若f(x)在(0,2)上单调递增,则1 D. f(x)的图象关于直线x=a2对称
    12.(2021山东济宁高一上期末)已知实数x1,x2(x1 A.(x1-2)(x2-2)∈(-∞,0) B.(x1-1)(x2-1)∈(0,1)
    C.(x1-1)(x2-1)=1 D.(x1-1)(x2-1)∈(1,+∞)
    三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
    13.(2021湖南永州高一上期末)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2),则f(4)=    . 
    14.(2021江苏南京高一上期末)已知函数f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,x≥1,若f(f(0))=3a,则实数a等于    . 
    15.(2021天津耀华中学高一上期末)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为    . 
    16.(2021吉林高一上期末)已知函数f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,其中m>0.若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则m的取值范围是    ;若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的实根,则m的取值范围是    . 
    四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    17.(10分)(2021河北唐山高一上期末)计算下列各式的值:
    (1)1412+38-8114;
    (2)2log32-log336+log25×log54.













    18.(12分)(2021福建厦门高一上期末)已知函数f(x)=x2+bx+c,且g(x)=f(x)+2x为偶函数,从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件,求f(x)的解析式.
    条件①:函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5;
    条件②:函数f(x)≤0的解集为{1};
    条件③:方程f(x)=0有两根x1,x2,且x12+x22=10.





    19.(12分)(2021海南高一上期末)已知二次函数f(x)=x2+(3t+1)x+3t-1.
    (1)若f(x)是偶函数,求t的值;
    (2)若函数f(x)在区间(-2,-1)和(0,1)上各有一个零点,求t的取值范围.






    20.(12分)(2021黑龙江大庆实验中学高一上期末)设函数f(x)=a-22x+1.
    (1)用定义证明f(x)为增函数;
    (2)若f(x)为奇函数,求实数a的值,并求出f(x)的值域.








    21.(12分)(2021江苏苏州高一上期末)经多次试验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)、百公里耗油量W(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40≤v≤120)的部分数据关系如下表:
    v
    40
    60
    90
    100
    120
    Q
    5.2
    6
    8.325
    10
    15.6
    W
    13

    9.25


    为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:Q(v)=0.5v+a,Q(v)=av+b,Q(v)=av3+bv2+cv.
    (1)请填写表格空白处的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;
    (2)已知某高速公路共有三条车道,分别是外侧车道、中间车道和内侧车道,车速范围分别是[60,90),[90,110),[110,120](单位:km/h),问:该型号汽车应在哪条车道以什么速度行驶时W最小?






    22.(12分)(2021广东广州越秀高一上期末)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).
    (1)若0 (2)若a>1,且A(t,f(t)),B(t+2,f(t+2)),C(t+4,f(t+4))(t≥2)三点在函数y=f(x)的图象上,记△ABC的面积为S,求S=g(t)的表达式,并求g(t)的值域.









    答案全解全析
    1.D 根据题意得,M={x|x<4},N={x|x≥4},∴M∩N=⌀.故选D.
    2.B ∵f(x)=log3(-x),x<0,f(x-5),x≥0,∴f(2)=f(-3)=log3[-(-3)]=1.故选B.
    3.B 由-x2-2x+3>0,解得-3 ∴函数f(x)=log12(-x2-2x+3)的定义域为(-3,1),
    令t=-x2-2x+3,则g(t)=log12t为单调递减函数,
    由复合函数的单调性可知, f(x)的单调递减区间为t=-x2-2x+3在(-3,1)上的单调递增区间.
    t=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,其图象开口向下,对称轴为直线x=-1,
    ∴t=-x2-2x+3在(-3,1)上的单调递增区间为(-3,-1].故选B.
    4.B 设f(x)=x3-12x,则f(0)=0-1=-1<0, f(1)=1-12=12>0,
    由函数零点存在定理知, f(x)在区间(0,1)内一定有零点,即方程x3-12x=0在区间(0,1)上有解,所以k的值是0,故选B.
    5.B 01,
    所以a,b,c的大小关系为b 6.B 把R0=3.28,T=6代入R0=1+rT,可得r=0.38,∴I(t)=e0.38t,
    设初始阶段累计感染病例数增加1倍需要t天,
    则I(t)=2I(0),即e0.38t=2,
    两边取自然对数得0.38t=ln 2,解得t=ln20.38≈1.8.故选B.
    7.D 画出函数f(x)=2x-1,x>0,-x2-2x,x≤0的图象,如图所示:

    函数g(x)=f(x)-m的零点个数即函数f(x)的图象与直线y=m,m∈(0,1)的交点个数,所以函数g(x)有3个零点.故选D.
    8.C 因为函数y=f(x-1)的图象关于图象上的点(1,0)对称,所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,故f(x)为奇函数.
    又f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=f[(x+4)+4]=-f(x+4)=f(x).
    因为f(0)=0, f(3)=0, f(-3)=-f(3)=0,
    所以f(-3+4)=-f(-3)=0,即f(1)=0, f(4)=-f(0)=0, f(5)=f(1+4)=-f(1)=0, f(7)=f(3+4)=-f(3)=0, f(8)=f(0)=0,
    故在[0,8)上,0,1,3,4,5,7为函数f(x)的零点,
    又2 019=252×8+3, f(2 016)=f(0)=0,
    f(2 017)=f(1)=0, f(2 019)=f(3)=0,
    故函数在区间[0,2 019]上的零点最少有252×6+3=1 515个,故选C.
    9.ABD 当a=0时, f(x)=2x,A中图象满足;
    当a=1时, f(x)=2x+12x, f(0)=2,且f(-x)=f(x),定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,B中图象满足;
    当a=-1时, f(x)=2x-12x, f(0)=0,且f(-x)=-f(x),定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,D中图象满足;
    C中图象过点(0,1),此时a=0,故C中图象不满足.故选ABD.
    10.ACD 画出函数f(x)=x1-|x|的图象,如图所示:

    对于A:根据函数的图象可知,函数的图象关于原点对称,故A正确;
    对于B:根据函数的图象知,存在x1≠x2,f(x1)=f(x2),故B错误;
    对于C:令g(x)=0,画出函数y=-x的图象(图略),易知函数y=f(x)的图象与y=-x的图象有三个交点,故函数g(x)=f(x)+x有三个零点,故C正确;
    对于D:根据函数的图象知函数的值域为R,故D正确.故选ACD.
    11.AD 对于选项A,令x>0且a-x>0,解得0 对于选项B, f(x)=logax+loga(a-x)=loga[(a-x)x]=loga(-x2+ax),
    因为y=-x2+ax的图象开口向下,故y有最大值,
    但若0 对于选项C,若f(x)在(0,2)上单调递增,则
    ①当0 ②当a>1时,则y=-x2+ax在(0,2)上单调递增,故a2≥2,解得a≥4,故选项C错误;
    对于选项D, f(x)=logax+loga(a-x), f(a-x)=loga(a-x)+logax=f(x),
    所以f(x)的图象关于直线x=a2对称,故选项D正确.故选AD.
    12.AB 令f(x)=0,则12x=|log2(x-1)|,在同一直角坐标系中作出函数y=12x与y=|log2(x-1)|的图象,如图所示:

    由图可得1 由于log2[(x1-1)(x2-1)]=log2(x1-1)+log2(x2-1)=-12x1+12x2<0,
    所以0<(x1-1)(x2-1)<1,故B正确,C、D错误.故选AB.
    13.答案 2
    解析 设幂函数y=f(x)=xα,α∈R,∵其图象过点(2,2),
    ∴2α=2,解得α=12,∴f(x)=x12,∴f(4)=412=2.
    14.答案 4
    解析 由f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,x≥1得f(f(0))=f(20+1)=f(2)=4+2a=3a,
    解得a=4,故答案为4.
    15.答案 14
    解析 由a-3b+6=0,可得3b=a+6,
    则2a+18b=2a+12a+6=2a+126·2a≥22a·126·2a=14,
    当且仅当2a=12a+6,即a=-3时取等号.因此2a+18b的最小值为14.
    16.答案 (0,3];(3,+∞)
    解析 当m>0时,函数f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m的大致图象如图:

    要使f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则m≤4m-m2,解得0≤m≤3,
    又m>0,∴0 要使关于x的方程f(x)=b有三个不同的实根,则4m-m23m,
    解得m>3,则m的取值范围是(3,+∞).
    17.解析 (1)原式=12+2-3=-12. (5分)
    (2)原式=log34-log336+log24 (7分)
    =log319+2=-2+2=0. (10分)
    18.解析 函数f(x)=x2+bx+c,则g(x)=f(x)+2x=x2+(b+2)x+c, (2分)
    因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),
    即(-x)2-(b+2)x+c=x2+(b+2)x+c,可得b=-2, (4分)
    所以f(x)=x2-2x+c,其图象开口向上,对称轴为直线x=1. (6分)
    若选条件①,函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5,
    则f(-2)=4+4+c=5,解得c=-3, (10分)
    所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3. (12分)
    若选条件②,函数f(x)≤0的解集为{1},
    则f(1)=0,即1-2+c=0,解得c=1, (10分)
    所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+1. (12分)
    若选条件③,方程f(x)=0有两根x1,x2,且x12+x22=10,
    则由根与系数的关系可得x1+x2=2,x1x2=c, (8分)
    又(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2, (10分)
    所以4=10+2c,解得c=-3,
    所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3. (12分)
    19.解析 (1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),
    ∴(-x)2-(3t+1)x+3t-1=x2+(3t+1)x+3t-1, (3分)
    即2(3t+1)x=0对x∈R恒成立,∴t=-13. (6分)
    (2)函数f(x)在区间(-2,-1)和(0,1)上各有一个零点,所以f(-2)>0,f(-1)<0,f(0)<0,f(1)>0, (9分)
    即4-2(3t+1)+3t-1>0,1-(3t+1)+3t-1<0,3t-1<0,1+3t+1+3t-1>0,解得-16 故t的取值范围为-16,13. (12分)
    20.解析 (1)证明:由题意知,x∈R,
    任取x1,x2∈R,且x1 ∵x10, (4分)
    ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴函数f(x)是增函数. (6分)
    (2)由题意可知, f(x)+f(-x)=2a-22x+1-22-x+1=0, (8分)
    ∴a=12x+1+12-x+1=1, (10分)
    故f(x)=1-22x+1,
    ∵2x+1>1,∴0<22x+1<2,
    ∴-2<-22x+1<0,∴-1 故f(x)的值域是(-1,1). (12分)
    21.解析 (1)填表如下:
    v
    40
    60
    90
    100
    120
    Q
    5.2
    6
    8.325
    10
    15.6
    W
    13
    10
    9.25
    10
    13
    由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时有意义,且在[40,120]上为增函数.
    Q(v)=0.5v+a在[40,120]上是减函数,不符合题意, (2分)
    若选择Q(v)=av+b,代入(40,5.2),(60,6),
    得5.2=40a+b,6=60a+b,解得a=0.04,b=3.6, (3分)
    则Q(v)=0.04v+3.6,此时Q(90)=7.2,Q(100)=7.6,Q(120)=8.4,
    与实际数据相差较大,所以不符合, (5分)
    经观察,函数模型Q(v)=av3+bv2+cv最符合实际,代入(40,5.2),(60,6),(100,10),
    则a×403+b×402+c×40=5.2,a×603+b×602+c×60=6,a×1003+b×1002+c×100=10,解得a=0.000 025,b=-0.004,c=0.25,
    ∴Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v. (8分)
    (2)∵W=100v×Q=0.002 5v2-0.4v+25=0.002 5(v-80)2+9, (10分)
    ∴当v=80时,W取得最小值9,
    故该型号汽车在外侧车道以80 km/h的速度行驶时W最小. (12分)
    22.解析 (1)设K=fx1+x22-f(x1)+f(x2)2=logax1+x22-logax1+logax22
    =logax1+x22-logax1x2=logax1x2+x2x12, (3分)
    因为x1x2+x2x1≥2x1x2·x2x1=2(当且仅当x1=x2时等号成立),
    又x2≠x1,所以x1x2+x2x1>2,所以x1x2+x2x12>1. (4分)
    当a>1时,K>0, fx1+x22> f(x1)+f(x2)2;
    当0 (2)分别过A、B、C作x轴的垂线交x轴于M、N、P,

    则S=g(t)=S梯形AMNB+S梯形BNPC-S梯形AMPC
    =12[f(t)+f(t+2)]·2+12[f(t+2)+f(t+4)]·2-12[f(t)+f(t+4)]·4 (8分)
    =2loga(t+2)-logat-loga(t+4)=loga(t+2)2t(t+4)=loga1+4t(t+4)(t≥2), (10分)
    当t≥2时,t(t+4)∈[12,+∞),
    所以4t(t+4)∈0,13,
    所以1+4t(t+4)∈1,43,
    所以loga1+4t(t+4)∈0,loga43,
    故g(t)的值域为0,loga43. (12分)

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