2021-2022学年人教A版（2019）数学高一上学期期末学业水平测评卷（Word含解析）

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册全册综合课时作业，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

期末学业水平检测
山东省济南市2020—2021
学年高一上学期期末考试
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　
1.下列集合与集合A={1,3}相等的是 (　　)
A.(1,3)　　　 B.{(1,3)}
C.{x|x2-4x+3=0}　　　　D.{(x,y)|x=1,y=3}
2.命题“∃x∈R,x2-1>0”的否定为 (　　)
A.∃x∈R,x2-1≤0　　　　　　　B.∀x∈R,x2-1≤0
C.∃x∈R,x2-1<0　　　　　　　 D.∀x∈R,x2-1<0
3.“α是锐角”是“α是第一象限角”的 (　　)
A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件
4.sin 20°cos 10°+sin 10°sin 70°的值是 (　　)
A.14　　　　B.32　　　　
C.12　　　　D.34
5.已知f(x)=|ln x|,若a=f 15,b=f 14,c=f(3),则 (　　)
A.a C.c 6.要得到函数y=cos3x+π5的图象,需将函数y=cos 3x的图象 (　　)
A.向左平移π15个单位长度　　　　　　　B.向左平移π5个单位长度
C.向右平移π15个单位长度　　　　　　　D.向右平移π5个单位长度
7.我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数图象来研究函数性质,也常用函数解析式来分析函数图象的特征.函数y=2|x|sin 2x的图象大致是 (　　)

8.质数也叫素数,17世纪法国数学家马林·梅森曾对“2p-1”(p是素数)型素数进行过较系统而深入的研究,因此数学界将“2p-1”(p是素数)形式的素数称为梅森素数.已知第12个梅森素数为M=2127-1,第14个梅森素数为N=2607-1,则下列各数中与NM最接近的数为 (　　)
(参考数据:lg 2≈0.301)
A.10140　　　　　　　B.10142
C.10144　　　　　　　D.10146
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.若函数f(x)=-x2+2ax(a∈Z)在区间[0,1]上单调递增,在区间[3,4]上单调递减,则a的值可能为 (　　)
A.4　　　　　　　B.3
C.2　　　　　　　D.1
10.若a>b>0,则下列不等式一定成立的是 (　　)
A.1a<1b　　　　　　 　B.ba C.a+1b>b+1a　　　　　　　D.a+1a>b+1b
11.下列说法中正确的是 (　　)
A.函数y=sinx+π2是偶函数
B.存在实数α,使 sin αcos α=1
C.直线x=π8是函数f(x)=sin2x+5π4的图象的一条对称轴
D.若α,β都是第一象限角,且α>β,则sin α>sin β
12.已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2-x+1,01,则下列说法中正确的是 (　　)
A.当-12f(x2)
B.若x∈(0,m]时,f(x)的最小值为34,则m的取值范围为12,76
C.不存在实数k,使函数F(x)=f(x)-kx有5个零点
D.若关于x的方程f(x)-34[f(x)-a]=0的所有实数根之和为0,则a=-34
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.823+lg 2+12lg 25的值为　　　　. 
14.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则f π4的值为　　　. 

15.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,对任意x∈R都有f(x+3)=-f(x),当x∈-32,0时,f(x)=-2x,则f(100)的值为　　　　. 
16.设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数k,使对任意的x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x-a|-2a,若f(x)为R上的“2 021型增函数”,则实数a的取值范围是　　　　. 
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知集合A={x|-50}.
(1)求A∪B,A∩(∁RB);
(2)若C={x|m-1




18.(12分)在①2sin α=3sin 2α,②cos α2=63,③tan α=22这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决问题.
已知α∈0,π2,β∈0,π2,cos(α+β)=-14,　　　　,求cos β的值. 
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.









19.(12分)设函数f(x)=cos x·cosx-π6+3sin 2x-334.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈π12,π2时,求函数f(x)的最大值和最小值.











20.(12分)2020年11月5日至10日,第三届中国国际进口博览会(简称进博会)在上海举行,经过三年发展,进博会让展品变商品、让展商变投资商,交流创意和理念,联通中国和世界,成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台,成为全球共享的国际公共产品.
在消费品展区,某企业带来了一款新型节能环保产品参展,并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元,每生产一台需另投入380元.设该企业一年内生产该产品x(x>0)万台且能全部售完,每万台的销售收入为R(x)万元,且R(x)=500-2x,020.
(1)写出年利润S(x)(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式;(利润=销售收入-成本)
(2)当年产量为多少万台时,该企业获得的利润最大?并求出最大利润.





















21.(12分)已知函数f(x)=1-a·3x3x+1(2b-6 (1)求a,b的值;
(2)证明:f(x)是区间(2b-6,b)上的减函数;
(3)若f(m-2)+f(2m+1)>0,求实数m的取值范围.










22.(12分)已知函数f(x)=mx2-mx+2.
(1)若f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)设函数g(x)=f(x)-2x,若g(ln x)≤0对任意的x∈[e,e2]恒成立,求实数m的取值范围.











答案全解全析
1.C　∵{x|x2-4x+3=0}={1,3},∴与集合A={1,3}相等的是{x|x2-4x+3=0}.故选C.
2.B　命题“∃x∈R,x2-1>0”的否定为“∀x∈R,x2-1≤0”,故选B.
3.A　若α是锐角,则0°<α<90°,则α一定是第一象限角,若α是第一象限角,则α不一定是锐角,所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件.故选A.
4.C　sin 20°cos 10°+sin 10°sin 70°=cos 70°cos 10°+sin 70°sin 10°
=cos(70°-10°)=cos 60°=12.故选C.
5.D　a=f15=ln 15=ln 5,b=f14=ln 14=ln 4,c=f(3)=|ln 3|=ln 3,
∵函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,且3<4<5,
∴ln 3 6.A　将函数y=cos 3x的图象向左平移π15个单位长度,可得函数y=cos3x+π5的图象,故选A.
7.D　易知f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)=2|-x|sin(-2x)=-2|x|sin 2x=-f(x),则f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除A,B.当π2 8.C　NM=2607-12127-1≈2480,令2480=k,两边同时取常用对数得lg 2480=lg k,
∴lg k=480lg 2≈144.48,∴k=10144.48,结合选项知与NM最接近的数为10144,故选C.
9.BCD　易知函数f(x)=-x2+2ax(a∈Z)的图象开口向下,对称轴为直线x=a,
因为函数f(x)=-x2+2ax(a∈Z)在区间[0,1]上单调递增,在区间[3,4]上单调递减,所以1≤a≤3,又a∈Z,所以a的可能取值为1,2,3,故选BCD.
10.ABC　若a>b>0,则1a<1b,故A正确;
ba-b+1a+1=b-aa(a+1),由a>b>0,可得b-a<0,所以b-aa(a+1)<0,即ba 由A可知1b>1a,又a>b>0,所以a+1b>b+1a,故C正确;
令a=12,b=13,则a+1a=52,b+1b=103,此时a+1a 故选ABC.
11.AC　对于A,函数y=sinx+π2=cos x,故该函数是偶函数,故A正确;
对于B,sin αcos α=12sin 2α,其最大值为12,故不存在实数α,使 sin αcos α=1,故B错误;
对于C,当x=π8时, f π8=sinπ4+5π4=-1,故C正确;
对于D,令α=13π6,β=π3,此时α,β都是第一象限角,且α>β,但sin β>sin α,故D错误.
故选AC.
12.BC　因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,且f(x)的图象关于原点对称,由x>0时, f(x)=x2-x+1,01,作出函数f(x)在R上的图象,如图所示:

对于A,当-12f(x2)不一定成立,故A错误.
对于B,令12x-1=34,解得x=76,结合图象可知,若x∈(0,m]时, f(x)的最小值为34,则m的取值范围为12,76,故B正确.
对于C,考虑y=kx与y=x2-x+1的图象在(0,1]上有2个交点的情况.当x∈(0,1]时, f(x)∈34,1,函数F(x)=f(x)-kx=x2-(k+1)x+1,则[-(k+1)]2-4=k2+2k-3>0,解得k>1或k<-3.若k<-3,则当x∈(0,1]时,y=kx<00,故k<-3不符合题意,当k>1时,设x1是方程F(x)=0的较大根,则x1=k+1+k2+2k-32>1+1+12+2-32=1,故k>1不符合题意.
考虑y=kx与y=x2-x+1的图象在(0,1]上有1个交点,与y=12x-1的图象在(1,+∞)上有1 个交点的情况.因为y=kx与y=x2-x+1的图象有一个交点,所以[-(k+1)]2-4=k2+2k-3=0,解得k=1或k=-3(舍去),又当x∈(0,+∞)时,y=kx与y=12x-1的图象只有1个交点(1,1),故不符合题意.
综上,不存在实数k,使函数F(x)=f(x)-kx有5个零点.
对于D,由f(x)-34[f(x)-a]=0,可得f(x)=34或f(x)=a,当f(x)=34时,x=12或x=76,
若关于x的方程f(x)-34[f(x)-a]=0的所有实数根之和为0,
则f(x)=a的根可能为-12+76=-53,则a=f-53=-f53=-37,满足条件,但此时a=-37≠-34,故D错误.
故选BC.
13.答案　5
解析　原式=23×23+lg 2+lg 5=22+1=5.
14.答案　3
解析　由题中图象得A=2,T2=π3--π6=π2,故T=π,故ω=2ππ=2,
由fπ3=2sin2×π3+φ=2,得2π3+φ=π2+2kπ,k∈Z,解得φ=-π6+2kπ,k∈Z,又-π<φ<0,所以φ=-π6,故f(x)=2sin2x-π6,
所以fπ4=2sin2×π4-π6=2sin π3=2×32=3.
15.答案　2
解析　由对任意x∈R都有f(x+3)=-f(x),得f(x+6)=-f(x+3)=f(x),则函数f(x)是周期为6的周期函数,则f(100)=f(4+6×16)=f(4)=-f(1)=f(-1),因为当x∈-32,0时, f(x)=-2x,所以f(-1)=2,故f(100)=2.
16.答案　-∞,2 0216
解析　若a≤0,则当x>0时, f(x)=x-3a,由函数为奇函数,得f(x)的图象如图所示:

此时f(x+2 021)的图象始终在f(x)图象的上方,故a≤0满足题意,
若a>0,则当0 由函数为奇函数,得f(x)的图象如图所示:

若f(x+2 021)>f(x)恒成立,则由图象可知a>0,6a<2 021,所以0 综上,a<2 0216.故实数a的取值范围为-∞,2 0216.
17.解析　(1)∵A={x|-50}={x|x<-1或x>4}, (2分)
∴A∪B={x|x<2或x>4}, (3分)
∁RB={x|-1≤x≤4},∴A∩(∁RB)={x|-1≤x<2}. (5分)
(2)∵B∩C≠⌀,∴m-1<-1或m+1>4, (7分)
解得m<0或m>3, (9分)
∴实数m的取值范围为(-∞,0)∪(3,+∞). (10分)
18.解析　选择条件①.
由2sin α=3sin 2α,得sin α=3sin αcos α, (2分)
因为α∈0,π2,所以sin α>0,所以cos α=13, (4分)
所以sin α=1-cos 2α=1-132=223. (6分)
因为α∈0,π2,β∈0,π2,所以α+β∈(0,π), (8分)
所以sin(α+β)=1-cos 2(α+β)=1--142=154, (10分)
所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-14×13+154×223=230-112. (12分)
选择条件②.
由cos α2=63,得cos α=2cos2α2-1=2×632-1=13. (4分)
以下解法同条件①.
选择条件③.
因为α∈0,π2,所以sin α>0,cos α>0,
由tan α=22,可得sinαcosα=22,又sin 2α+cos 2α=1, (2分)
所以cos α=13,sin α=223. (6分)
以下解法同条件①.
19. 解析　(1)f(x)=cos x·cosx-π6+3sin 2x-334
=cos x32cosx+12sinx+3(1-cos 2x)-334
=12sin xcos x-32cos 2x+34
=14sin 2x-34cos 2x=12sin2x-π3, (2分)
所以f(x)的最小正周期是2π2=π. (4分)
由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,解得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为-π12+kπ,5π12+kπ,k∈Z. (6分)
(2)当x∈π12,π2时,2x-π3∈-π6,2π3, (8分)
所以sin2x-π3∈-12,1, (10分)
所以f(x)∈-14,12,综上, f(x)的最大值为12,最小值为-14. (12分)
20.解析　(1)当0 =500x-2x2-380x-150=-2x2+120x-150, (2分)
当x>20时,S(x)=xR(x)-(380x+150)
=370x+2 140-6 250x-380x-150=-10x-6 250x+1 990, (4分)
∴S(x)=-2x2+120x-150,020. (6分)
(2)当0 ∴函数S(x)在(0,20]上单调递增,
∴当x=20时,S(x)取得最大值,最大值为1 450. (8分)
当x>20时,S(x)=-10x-6 250x+1 990=-10x+6 250x+1 990
≤-210x·6 250x+1 990=-500+1 990=1 490, (10分)
当且仅当10x=6 250x,即x=25(负值舍去)时,等号成立,此时S(x)取得最大值,最大值为1 490, (11分)
∵1 490>1 450,∴当年产量为25万台时,该企业获得的利润最大,最大利润为1 490万元. (12分)
21.解析　(1)因为函数f(x)=1-a·3x3x+1(2b-6 所以f(-x)=-f(x),即1-a·3-x3-x+1=-1-a·3x3x+1, (2分)
解得a=2, (3分)
易得2b-6+b=0,解得b=2,所以a=2,b=2. (4分)
(2)证明:由(1)得f(x)=1-2·3x3x+1,x∈(-2,2),
任取x1,x2∈(-2,2),且x1 则f(x1)-f(x2)=1-2·3x13x1+1-1-2·3x23x2+1=2(3x2-3x1)(3x1+1)(3x2+1), (6分)
因为x10,又3x2+1>0,3x1+1>0,所以2(3x2-3x1)(3x1+1)(3x2+1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)是区间(2b-6,b)上的减函数. (8分)
(3)因为f(m-2)+f(2m+1)>0,所以f(m-2)>-f(2m+1),
因为函数f(x)=1-2·3x3x+1(-2f(-2m-1), (10分)
因为函数f(x)是区间(-2,2)上的减函数,
所以m-2<-2m-1,-2 所以实数m的取值范围是0,13. (12分)
22.解析　(1)函数f(x)的定义域为R,即mx2-mx+2≥0在R上恒成立, (2分)
当m=0时,2≥0恒成立,符合题意, (3分)
当m≠0时,有m>0,(-m)2-8m≤0,解得0 综上,实数m的取值范围是[0,8]. (6分)
(2)因为g(x)=f(x)-2x=mx2-mx+2-2x,所以g(x)≤0即mx2-mx+2-2x≤0,即mx2-mx+2≤2x2,
所以g(ln x)≤0对任意的x∈[e,e2]恒成立等价于0≤m(ln x)2-mln x+2≤2(ln x)2在x∈[e,e2]上恒成立,
即m(lnx)2-mlnx+2≥0,m(lnx)2-mlnx+2≤2(lnx)2(*)在x∈[e,e2]上恒成立, (7分)
设t=ln x,因为x∈[e,e2],所以t∈[1,2],
不等式组(*)化为m(t2-t)+2≥0,m(t2-t)+2≤2t2,
t∈[1,2]时,t2-t≥0(当且仅当t=1时取等号). (8分)
(i)当t=1时,不等式组(*)化为2≥0,2≤2,恒成立, (9分)
(ii)当t∈(1,2]时,t2-t>0,所以m≥-2t2-t,m≤2t2-2t2-t恒成立, (10分)
因为-2t2-t=2-t-122+14≤-1,所以m≥-1,
因为2t2-2t2-t=2(t+1)t=2+2t,且函数y=2+2t在t∈(1,2]上单调递减,所以m≤2+22=3,
综上,-1≤m≤3,即实数m的取值范围为[-1,3]. (12分)